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1.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$, $DE ⊥ AB$.若$AC=2,DE=1$,则$S_{△ ACD}=$
1
.答案
1. 1
解析
【分析】
要计算$S_{△ACD}$，已知底$AC=2$，只需先求出$AC$边上的高即可。结合已知条件AD平分$∠BAC$，$DE⊥AB$，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作AC的垂线，该垂线长度就等于DE的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作$DF⊥AC$，垂足为F。
∵AD平分$∠BAC$，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴根据角平分线的性质可得$DF=DE=1$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入$AC=2$，$DF=1$得：
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用，解题关键是通过作AC边上的高，结合角平分线性质得到高的长度，掌握角平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算$S_{△ACD}$，已知底$AC=2$，只需先求出$AC$边上的高即可。结合已知条件AD平分$∠BAC$，$DE⊥AB$，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作AC的垂线，该垂线长度就等于DE的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作$DF⊥AC$，垂足为F。
∵AD平分$∠BAC$，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴根据角平分线的性质可得$DF=DE=1$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入$AC=2$，$DF=1$得：
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用，解题关键是通过作AC边上的高，结合角平分线性质得到高的长度，掌握角平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,E,F分别为边AB,AC上的点,且$∠ EDF + ∠ BAF = 180°$.求证:$DE=DF$.
答案
证明：
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵ AD是$∠ BAC$的平分线，
∴ $DM = DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 四边形AEDF的内角和为$360°$，且$∠ EDF + ∠ BAF = 180°$，
∴ $∠ AED + ∠ AFD = 360° - 180° = 180°$。
又∵ $∠ AFD + ∠ DFN = 180°$，
∴ $∠ AED = ∠ DFN$，即$∠ MED = ∠ NFD$。
在$△ DME$和$△ DNF$中：
$\begin{cases}∠ DME = ∠ DNF = 90° \\∠ MED = ∠ NFD \\DM = DN\end{cases}$
∴ $△ DME ≌ △ DNF$（AAS），
∴ $DE = DF$。
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵ AD是$∠ BAC$的平分线，
∴ $DM = DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 四边形AEDF的内角和为$360°$，且$∠ EDF + ∠ BAF = 180°$，
∴ $∠ AED + ∠ AFD = 360° - 180° = 180°$。
又∵ $∠ AFD + ∠ DFN = 180°$，
∴ $∠ AED = ∠ DFN$，即$∠ MED = ∠ NFD$。
在$△ DME$和$△ DNF$中：
$\begin{cases}∠ DME = ∠ DNF = 90° \\∠ MED = ∠ NFD \\DM = DN\end{cases}$
∴ $△ DME ≌ △ DNF$（AAS），
∴ $DE = DF$。
解析
【分析】
要证明$DE=DF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知AD是$∠ BAC$的平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作AB、AC的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形。再结合已知$∠ EDF + ∠ BAF = 180°$，利用四边形内角和推导得到等角，进而证明两个直角三角形全等，即可得到$DE=DF$的结论。
【解析】
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵ AD是$∠ BAC$的平分线，
∴ $DM = DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 四边形AEDF的内角和为$360°$，且$∠ EDF + ∠ BAF = 180°$，
∴ $∠ AED + ∠ AFD = 360° - 180° = 180°$。
又
∵ $∠ AFD + ∠ DFN = 180°$，
∴ $∠ AED = ∠ DFN$，即$∠ MED = ∠ NFD$。
在$△ DME$和$△ DNF$中：
$\begin{cases}∠ DME = ∠ DNF = 90° \\∠ MED = ∠ NFD \\DM = DN\end{cases}$
∴ $△ DME ≌ △ DNF$（AAS），
∴ $DE = DF$。
【答案】
$DE=DF$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，四边形内角和
【点评】
本题是角平分线辅助线的典型应用，通过向角两边作垂线构造全等三角形是解决此类问题的常用方法，需要熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定定理，灵活运用补角的性质推导等角关系。
【难度系数】
0.7
要证明$DE=DF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知AD是$∠ BAC$的平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作AB、AC的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形。再结合已知$∠ EDF + ∠ BAF = 180°$，利用四边形内角和推导得到等角，进而证明两个直角三角形全等，即可得到$DE=DF$的结论。
【解析】
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵ AD是$∠ BAC$的平分线，
∴ $DM = DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 四边形AEDF的内角和为$360°$，且$∠ EDF + ∠ BAF = 180°$，
∴ $∠ AED + ∠ AFD = 360° - 180° = 180°$。
又
∵ $∠ AFD + ∠ DFN = 180°$，
∴ $∠ AED = ∠ DFN$，即$∠ MED = ∠ NFD$。
在$△ DME$和$△ DNF$中：
$\begin{cases}∠ DME = ∠ DNF = 90° \\∠ MED = ∠ NFD \\DM = DN\end{cases}$
∴ $△ DME ≌ △ DNF$（AAS），
∴ $DE = DF$。
【答案】
$DE=DF$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，四边形内角和
【点评】
本题是角平分线辅助线的典型应用，通过向角两边作垂线构造全等三角形是解决此类问题的常用方法，需要熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定定理，灵活运用补角的性质推导等角关系。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=60°$，$∠ C=40°$，$∠ BAC$与$∠ ABC$的平分线$AD$，$BE$分别交边$BC$，$AC$于点$D$，$E$。
(1)求证：$△ BCE$是等腰三角形；
(2)[一题多解题]用等式表示线段$AB$，$AC$，$BD$之间的数量关系，并证明。
(1)求证：$△ BCE$是等腰三角形；
(2)[一题多解题]用等式表示线段$AB$，$AC$，$BD$之间的数量关系，并证明。
答案
3.(1)证明略。
(2)$AB+BD=AC$，证明略。
(2)$AB+BD=AC$，证明略。
解析
【分析】
(1)要证明△BCE是等腰三角形，可通过等角对等边推导：首先利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义得到∠EBC的度数，对比∠EBC和∠C的度数即可完成证明。
(2)探究线段和差关系常用截长补短法构造全等三角形：①截长法：在AC上截取和AB相等的线段，利用角平分线构造全等三角形，将BD转化为和FC相等的线段，即可推导出三者数量关系；②补短法：延长AB至点F使BF=BD，结合角平分线证明△AFD和△ACD全等，即可得到结论。
【解析】
(1)证明：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ C=180°-60°-40°=80°$，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=40°$，
∴$∠ EBC=∠ C=40°$，
∴$BE=CE$，即△BCE是等腰三角形。
(2)线段数量关系为$AB+BD=AC$，证明如下（截长法）：
在AC上截取$AF=AB$，连接DF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴$∠ BAD=∠ FAD$，
在△ABD和△AFD中：
$\begin{cases}AB=AF\\∠ BAD=∠ FAD\\AD=AD\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ AFD(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=DF$，$∠ AFD=∠ ABC=80°$，
∵∠AFD是△DFC的外角，
∴$∠ FDC=∠ AFD-∠ C=80°-40°=40°$，
∴$∠ FDC=∠ C$，
∴$DF=FC$，即$BD=FC$，
∵$AC=AF+FC$，
∴$AB+BD=AC$。
【答案】
(1)证明略，△BCE为等腰三角形；
(2)$AB+BD=AC$，证明略。
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形判定与性质；全等三角形判定与性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，第一问直接考查等腰三角形的判定，难度较低；第二问是线段和差关系的典型题型，截长补短法是解决这类问题的通用辅助线思路，需要熟练掌握结合角平分线构造全等三角形的方法。
【难度系数】
0.6
(1)要证明△BCE是等腰三角形，可通过等角对等边推导：首先利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义得到∠EBC的度数，对比∠EBC和∠C的度数即可完成证明。
(2)探究线段和差关系常用截长补短法构造全等三角形：①截长法：在AC上截取和AB相等的线段，利用角平分线构造全等三角形，将BD转化为和FC相等的线段，即可推导出三者数量关系；②补短法：延长AB至点F使BF=BD，结合角平分线证明△AFD和△ACD全等，即可得到结论。
【解析】
(1)证明：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ C=180°-60°-40°=80°$，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=40°$，
∴$∠ EBC=∠ C=40°$，
∴$BE=CE$，即△BCE是等腰三角形。
(2)线段数量关系为$AB+BD=AC$，证明如下（截长法）：
在AC上截取$AF=AB$，连接DF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴$∠ BAD=∠ FAD$，
在△ABD和△AFD中：
$\begin{cases}AB=AF\\∠ BAD=∠ FAD\\AD=AD\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ AFD(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=DF$，$∠ AFD=∠ ABC=80°$，
∵∠AFD是△DFC的外角，
∴$∠ FDC=∠ AFD-∠ C=80°-40°=40°$，
∴$∠ FDC=∠ C$，
∴$DF=FC$，即$BD=FC$，
∵$AC=AF+FC$，
∴$AB+BD=AC$。
【答案】
(1)证明略，△BCE为等腰三角形；
(2)$AB+BD=AC$，证明略。
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形判定与性质；全等三角形判定与性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，第一问直接考查等腰三角形的判定，难度较低；第二问是线段和差关系的典型题型，截长补短法是解决这类问题的通用辅助线思路，需要熟练掌握结合角平分线构造全等三角形的方法。
【难度系数】
0.6
