1. [2024·合肥庐阳区期末]如图，△ABE和△AFC是等边三角形，AE⊥AF，连接BF，CE交于点D。有以下结论：①∠BAC=150°；②连接BC，BC=BF；③连接EF，EF=2AF；④连接AD，AD平分∠BDC；⑤连接AD，BD=AD+ED，其中正确的结论个数是（）

A.2
B.3
C.4
D.5

1.C

【分析】
本题为等边三角形手拉手模型的应用，解题思路如下：1. 利用周角定义计算∠BAC验证结论①；2. 通过SAS证明△BAF≌△BAC验证结论②；3. 结合Rt△EAF的边长关系判断是否满足EF=2AF，验证结论③；4. 先证△EAC≌△BAF，利用全等三角形面积、对应边相等推出点A到CE、BF的距离相等，结合角平分线判定验证结论④；5. 用截长补短法构造等边三角形，证全等验证结论⑤，最后统计正确结论个数。
【解析】
已知△ABE、△AFC为等边三角形，因此∠BAE=∠CAF=60°，AB=AE，AC=AF，又AE⊥AF，故∠EAF=90°。
1. 验证①：∠BAC=360°-∠BAE-∠EAF-∠CAF=360°-60°-90°-60°=150°，①正确。
2. 验证②：∠BAF=∠BAE+∠EAF=60°+90°=150°，即∠BAF=∠BAC，又AB=AB，AF=AC，故△BAF≌△BAC（SAS），得BC=BF，②正确。
3. 验证③：Rt△EAF中，EF=√(AE²+AF²)，题目未给出两个等边三角形边长相等，AE与AF长度关系不确定，无法推出EF=2AF，③错误。
4. 验证④：∠EAC=∠EAF+∠CAF=90°+60°=150°，即∠EAC=∠BAF，又AE=AB，AC=AF，故△EAC≌△BAF（SAS），得S△EAC=S△BAF，CE=BF，因此点A到CE、BF的距离相等，根据角平分线的判定，点A在∠BDC的平分线上，即AD平分∠BDC，④正确。
5. 验证⑤：由△EAC≌△BAF得∠AEC=∠ABF，根据八字形角度关系，∠EDB=∠EAB=60°，由AD平分∠BDC得∠ADB=60°。在BD上截取DG=AD，则△ADG为等边三角形，AG=AD，∠DAG=60°，因此∠BAE-∠EAG=∠DAG-∠EAG，即∠BAG=∠EAD，又AB=AE，故△BAG≌△EAD（SAS），得BG=ED，因此BD=BG+GD=ED+AD，⑤正确。
综上，正确结论共4个。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题以等边三角形手拉手模型为载体，综合考查全等证明、角平分线判定、线段和差关系的证明，解题关键是熟练掌握手拉手全等的构造方法，灵活运用截长补短法处理线段和差问题。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,则∠AOB的度数为.

2. 120°

【分析】
本题属于等边三角形“手拉手”模型的应用，解题思路如下：1. 先利用等边三角形的性质，得到两组相等的边和一组相等的60°角，通过角的和差得到证明全等所需的夹角相等；2. 利用SAS证明△ACE和△DCB全等，得到对应角相等；3. 结合三角形外角的性质，将所求角∠AOB转化为等边三角形两个内角的和，即可求出度数。
【解析】
解：
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ ACD=∠ BCE=∠ CAD=∠ ADC=60°$，
∴$∠ ACD+∠ ACB=∠ BCE+∠ ACB$，即$∠ ACE=∠ DCB$，
在$△ ACE$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AC=DC \\∠ ACE=∠ DCB \\CE=CB\end{cases}$
∴$△ ACE≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ CAE=∠ CDB$，
∵$∠ AOB$是$△ AOD$的外角，
∴$∠ AOB=∠ OAD+∠ ADO$
$=∠ OAD+∠ ADC+∠ CDB$
$=∠ OAD+∠ ADC+∠ CAE$
$=(∠ OAD+∠ CAE)+∠ ADC$
$=∠ CAD+∠ ADC$
$=60°+60°=120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等几何题，解题核心是通过等边三角形的性质构造全等三角形，再通过角的等量转化求解未知角，熟练掌握全等判定定理和特殊三角形的性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

3.如图，$△ ADE$和$△ ABC$都是等边三角形，$M$，$N$分别是$CE$，$BD$的中点，连接$AM$，$AN$，$MN$.求证：
(1)$△ ABD ≌ △ ACE$；
(2)$△ AMN$是等边三角形.

3.证明:(1)证明略.
(2)
∵△ABD≌△ACE,M,N分别是CE,BD的中点，
∴∠AEM=∠ADN,EM=DN.
∵AE=AD,
∴△AME≌△AND(SAS),
∴∠EAM=∠DAN,AM=AN,
∴∠MAN = ∠DAM + ∠DAN = ∠DAM + ∠EAM =
∠DAE=60°,
∴△AMN是等边三角形.

【分析】
(1)要证明△ABD≌△ACE，首先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等，再通过角度和差推导得到两组边的夹角相等，即可用SAS判定两个三角形全等；
(2)要证明△AMN是等边三角形，可通过“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”来证明：先借助(1)的全等结论得到对应边、对应角相等，结合中点的性质推出另一组全等三角形的条件，证明△AEM≌△AND得到AM=AN，再通过角度转换推出夹角∠MAN=60°，即可完成证明。
【解析】
证明：
(1)
∵△ADE和△ABC都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠ BAD=∠ CAE\\ AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
(2)
∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵M、N分别是CE、BD的中点，
∴EM=$\frac{1}{2}$CE，DN=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=DN，
在△AEM和△AND中：
$\{\begin{array}{l} AE=AD\\ ∠ AEM=∠ ADN\\ EM=DN\end{array} $
∴△AEM≌△AND（SAS），
∴AM=AN，∠EAM=∠DAN，
∴∠MAN=∠DAM + ∠DAN = ∠DAM + ∠EAM = ∠DAE=60°，
又
∵AM=AN，
∴△AMN是等边三角形。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形“手拉手”模型的典型应用，核心是利用等边三角形边等、内角为60°的性质推导全等关系，再通过全等的性质得到边角关系证明新的等边三角形，熟练掌握全等和等边三角形的相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$△ ABC$外一点，连接$AD$，$BD$，$CD$，且$BD$交$AC$于点$O$，在$BD$上取一点$E$，使得$AE=AD$，$∠ EAD=∠ BAC$。若$∠ ABC=62°$，则$∠ BDC$的度数为（）


A.$56°$
B.$60°$
C.$62°$
D.$64°$

4.A

【分析】
解题时先抓住“共顶点、等角、等边”的特征，优先考虑手拉手全等模型：①先通过角的和差关系推导相等的夹角，证明三角形全等，得到对应角相等；②再利用等腰三角形的性质计算顶角∠BAC的度数；③最后结合对顶角相等和三角形内角和定理，推导∠BDC与∠BAC的等量关系即可求解。
【解析】
1. 证明△ABE≌△ACD
已知∠EAD=∠BAC，两边同时减去公共角∠EAC，可得：
$∠ BAC - ∠ EAC = ∠ EAD - ∠ EAC$，即$∠ BAE=∠ CAD$
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC（已知）\\∠ BAE=∠ CAD（已证）\\AE=AD（已知）\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ACD（SAS）$，由此得$∠ ABE=∠ ACD$，即$∠ ABD=∠ ACD$。
2. 计算∠BAC的度数
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB=62°$
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAC=180° - ∠ ABC - ∠ ACB=180° - 62°×2=56°$
3. 推导∠BDC的度数
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等），$∠ ABO=∠ DCO$（已证）
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$180° - ∠ AOB - ∠ ABO=180° - ∠ DOC - ∠ DCO$
即$∠ BAO=∠ CDO$，也就是$∠ BDC=∠ BAC=56°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等模型应用题，解题核心是通过共顶点的等角推导全等的夹角条件，再利用全等的性质转化角度，结合三角形内角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7