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8. [新课标—探究题][与T3互为孪生题]如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a，b)，经过第1次变换后得到点A₁的坐标是(a，−b)，则经过第2025次变换后所得的点A₂₀₂₅的坐标是（
A.(a,−b)
B.(−a,−b)
C.(−a,b)
D.(a,b)
A
）A.(a,−b)
B.(−a,−b)
C.(−a,b)
D.(a,b)
答案
8.A
解析
【分析】
首先观察变换过程，可知对△ABC的变换每4次为一个循环，变换4次后点A会回到初始位置。解题时先根据轴对称的坐标变化规律，求出前4次变换后点A的坐标，确定循环周期，再计算2025除以周期的余数，根据余数对应第几次变换的结果，即可得到最终坐标。
【解析】
关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。
已知初始点A坐标为$(a,b)$：
1. 第1次关于x轴对称后，$A_1(a,-b)$；
2. 第2次关于y轴对称后，$A_2(-a,-b)$；
3. 第3次关于x轴对称后，$A_3(-a,b)$；
4. 第4次关于y轴对称后，$A_4(a,b)$，回到初始位置，即每4次变换为一个循环周期。
计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明第2025次变换后点A的坐标和第1次变换后的坐标一致，为$(a,-b)$。
【答案】
A
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；周期规律探究
【点评】
本题结合轴对称坐标变换考查规律探究能力，解题关键是通过前几次变换找到循环周期，再结合余数判断最终结果，属于规律应用类基础题。
【难度系数】
0.7
首先观察变换过程，可知对△ABC的变换每4次为一个循环，变换4次后点A会回到初始位置。解题时先根据轴对称的坐标变化规律，求出前4次变换后点A的坐标，确定循环周期，再计算2025除以周期的余数，根据余数对应第几次变换的结果，即可得到最终坐标。
【解析】
关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。
已知初始点A坐标为$(a,b)$：
1. 第1次关于x轴对称后，$A_1(a,-b)$；
2. 第2次关于y轴对称后，$A_2(-a,-b)$；
3. 第3次关于x轴对称后，$A_3(-a,b)$；
4. 第4次关于y轴对称后，$A_4(a,b)$，回到初始位置，即每4次变换为一个循环周期。
计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明第2025次变换后点A的坐标和第1次变换后的坐标一致，为$(a,-b)$。
【答案】
A
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；周期规律探究
【点评】
本题结合轴对称坐标变换考查规律探究能力，解题关键是通过前几次变换找到循环周期，再结合余数判断最终结果，属于规律应用类基础题。
【难度系数】
0.7
9. [教材 P130 信息技术应用改编]已知点 $ P(-2,3),M(-1,1) $ 关于直线 $ x=1 $ 的对称点分别为 $ P',M' $.
(1)思考:点 $ P' $ 的坐标为 ______,点 $ M' $ 的坐标为 ______;
(2)类比:点 $ P(-2,3) $ 关于直线 $ x=-1 $ 的对称点的坐标为 ______;
(3)推广:点 $ (a,b) $ 关于直线 $ x=n $ 的对称点的坐标为 ______,关于直线 $ y=m $ 的对称点的坐标为 ______.
(1)思考:点 $ P' $ 的坐标为 ______,点 $ M' $ 的坐标为 ______;
(2)类比:点 $ P(-2,3) $ 关于直线 $ x=-1 $ 的对称点的坐标为 ______;
(3)推广:点 $ (a,b) $ 关于直线 $ x=n $ 的对称点的坐标为 ______,关于直线 $ y=m $ 的对称点的坐标为 ______.
答案
9.(1)(4,3);(3,1)
(2)(0,3)
(3)(2n-a,b);(a,2m-b)
(2)(0,3)
(3)(2n-a,b);(a,2m-b)
解析
【分析】
求解点关于平行于坐标轴的直线的对称点坐标时，可结合轴对称的性质思考：关于平行于y轴的直线x=n对称的两点，纵坐标相同，且两点连线的中点在对称轴上，即两点横坐标的平均值等于n，据此可计算对称点的横坐标；关于平行于x轴的直线y=m对称的两点，横坐标相同，两点纵坐标的平均值等于m，据此可计算对称点的纵坐标。我们可以先求解具体数值的对称点坐标，再总结推导一般规律。
【解析】
(1) 点关于直线x=1对称时，纵坐标不变，两点横坐标之和为$2×1=2$。
设点$P(-2,3)$的对称点$P'$的横坐标为$x_1$，则$-2+x_1=2$，解得$x_1=4$，故$P'$的坐标为$(4,3)$；
设点$M(-1,1)$的对称点$M'$的横坐标为$x_2$，则$-1+x_2=2$，解得$x_2=3$，故$M'$的坐标为$(3,1)$。
(2) 点关于直线$x=-1$对称时，纵坐标不变，两点横坐标之和为$2×(-1)=-2$。
点$P(-2,3)$的对称点横坐标为$-2-(-2)=0$，纵坐标为3，故对称点坐标为$(0,3)$。
(3) 推广：点$(a,b)$关于直线$x=n$对称时，纵坐标不变仍为$b$，横坐标为$2n-a$，即对称点坐标为$(2n-a,b)$；
点$(a,b)$关于直线$y=m$对称时，横坐标不变仍为$a$，纵坐标为$2m-b$，即对称点坐标为$(a,2m-b)$。
【答案】
(1) $(4,3)$；$(3,1)$
(2) $(0,3)$
(3) $(2n-a,b)$；$(a,2m-b)$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 中点坐标公式应用
【点评】
本题从具体的对称点求解出发，逐步推导得到通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想，重点考查关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标变化规律，是轴对称坐标应用的基础题型，熟练掌握对称时横、纵坐标的变化特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
求解点关于平行于坐标轴的直线的对称点坐标时，可结合轴对称的性质思考：关于平行于y轴的直线x=n对称的两点，纵坐标相同，且两点连线的中点在对称轴上，即两点横坐标的平均值等于n，据此可计算对称点的横坐标；关于平行于x轴的直线y=m对称的两点，横坐标相同，两点纵坐标的平均值等于m，据此可计算对称点的纵坐标。我们可以先求解具体数值的对称点坐标，再总结推导一般规律。
【解析】
(1) 点关于直线x=1对称时，纵坐标不变，两点横坐标之和为$2×1=2$。
设点$P(-2,3)$的对称点$P'$的横坐标为$x_1$，则$-2+x_1=2$，解得$x_1=4$，故$P'$的坐标为$(4,3)$；
设点$M(-1,1)$的对称点$M'$的横坐标为$x_2$，则$-1+x_2=2$，解得$x_2=3$，故$M'$的坐标为$(3,1)$。
(2) 点关于直线$x=-1$对称时，纵坐标不变，两点横坐标之和为$2×(-1)=-2$。
点$P(-2,3)$的对称点横坐标为$-2-(-2)=0$，纵坐标为3，故对称点坐标为$(0,3)$。
(3) 推广：点$(a,b)$关于直线$x=n$对称时，纵坐标不变仍为$b$，横坐标为$2n-a$，即对称点坐标为$(2n-a,b)$；
点$(a,b)$关于直线$y=m$对称时，横坐标不变仍为$a$，纵坐标为$2m-b$，即对称点坐标为$(a,2m-b)$。
【答案】
(1) $(4,3)$；$(3,1)$
(2) $(0,3)$
(3) $(2n-a,b)$；$(a,2m-b)$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 中点坐标公式应用
【点评】
本题从具体的对称点求解出发，逐步推导得到通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想，重点考查关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标变化规律，是轴对称坐标应用的基础题型，熟练掌握对称时横、纵坐标的变化特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4,-1),B(-5,-4),C(-1,-3).
(1)画出△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于y轴对称;
(2)将△ABC向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度.若点A落在第二象限内,且点C落在第四象限内,则m的取值范围是
(1)画出△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于y轴对称;
(2)将△ABC向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度.若点A落在第二象限内,且点C落在第四象限内,则m的取值范围是
1＜m＜4
,n的取值范围是1＜n＜3
.答案
10.(1)图略.
(2)1＜m＜4;1＜n＜3
(2)1＜m＜4;1＜n＜3
解析
【分析】
第(1)问解题思路：首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，先求出△ABC三个顶点关于y轴的对称点坐标，再顺次连接三个对称点即可画出符合要求的图形。
第(2)问解题思路：先根据平移“右加左减，上加下减”的坐标变化规律，写出平移后点A和点C的坐标；再结合第二象限（横坐标为负、纵坐标为正）、第四象限（横坐标为正、纵坐标为负）的点的坐标特征，列出关于m、n的不等式组，解不等式组即可得到m、n的取值范围。
【解析】
(1) 由关于y轴对称的点的坐标特征，可得A、B、C三点的对称点坐标分别为A'(4,-1)、B'(5,-4)、C'(1,-3)，在坐标系中描出这三个点后顺次连接，即可得到△A'B'C'，图略。
(2) △ABC向右平移m个单位、向上平移n个单位后：
点A的坐标变为$(-4+m,\ -1+n)$，点C的坐标变为$(-1+m,\ -3+n)$。
∵点A落在第二象限，
∴$\begin{cases}-4+m＜0 \\-1+n＞0 \end{cases}$；
∵点C落在第四象限，
∴$\begin{cases}-1+m＞0 \\-3+n＜0 \end{cases}$。
解关于m的不等式：
由$-4+m＜0$得$m＜4$，由$-1+m＞0$得$m＞1$，即$1＜m＜4$；
解关于n的不等式：
由$-1+n＞0$得$n＞1$，由$-3+n＜0$得$n＜3$，即$1＜n＜3$。
【答案】
(1) 图略；(2) $1＜m＜4$；$1＜n＜3$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；坐标与图形的平移变换；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系变换的基础题型，重点考查坐标变换规律和各象限点的符号特点，通过列不等式组求解参数范围，考查了学生数形结合的能力，是这类知识点的典型考法。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，先求出△ABC三个顶点关于y轴的对称点坐标，再顺次连接三个对称点即可画出符合要求的图形。
第(2)问解题思路：先根据平移“右加左减，上加下减”的坐标变化规律，写出平移后点A和点C的坐标；再结合第二象限（横坐标为负、纵坐标为正）、第四象限（横坐标为正、纵坐标为负）的点的坐标特征，列出关于m、n的不等式组，解不等式组即可得到m、n的取值范围。
【解析】
(1) 由关于y轴对称的点的坐标特征，可得A、B、C三点的对称点坐标分别为A'(4,-1)、B'(5,-4)、C'(1,-3)，在坐标系中描出这三个点后顺次连接，即可得到△A'B'C'，图略。
(2) △ABC向右平移m个单位、向上平移n个单位后：
点A的坐标变为$(-4+m,\ -1+n)$，点C的坐标变为$(-1+m,\ -3+n)$。
∵点A落在第二象限，
∴$\begin{cases}-4+m＜0 \\-1+n＞0 \end{cases}$；
∵点C落在第四象限，
∴$\begin{cases}-1+m＞0 \\-3+n＜0 \end{cases}$。
解关于m的不等式：
由$-4+m＜0$得$m＜4$，由$-1+m＞0$得$m＞1$，即$1＜m＜4$；
解关于n的不等式：
由$-1+n＞0$得$n＞1$，由$-3+n＜0$得$n＜3$，即$1＜n＜3$。
【答案】
(1) 图略；(2) $1＜m＜4$；$1＜n＜3$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；坐标与图形的平移变换；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系变换的基础题型，重点考查坐标变换规律和各象限点的符号特点，通过列不等式组求解参数范围，考查了学生数形结合的能力，是这类知识点的典型考法。
【难度系数】
0.7
11.在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC，△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，在图中建立平面直角坐标系，使△ABC与△DEF关于y轴对称，且满足点E的坐标为(4,2)。
(1)在图中画出满足条件的平面直角坐标系。
(2)①画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁，并分别写出点A₁，B₁，C₁的坐标。
②观察图形:从△DEF到△A₁B₁C₁是进行了平移还是轴对称变换？如果是平移变换，请写出平移方式；如果是轴对称变换，请画出对称轴。
(1)在图中画出满足条件的平面直角坐标系。
(2)①画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁，并分别写出点A₁，B₁，C₁的坐标。
②观察图形:从△DEF到△A₁B₁C₁是进行了平移还是轴对称变换？如果是平移变换，请写出平移方式；如果是轴对称变换，请画出对称轴。
答案
11.(1)图略.
(2)①图略. 点A₁,B₁,C₁的坐标分别为(-2,-4),(-2),(-1,-1).
②从△DEF到△A₁B₁C₁是进行了轴对称变换.图略.
(2)①图略. 点A₁,B₁,C₁的坐标分别为(-2,-4),(-2),(-1,-1).
②从△DEF到△A₁B₁C₁是进行了轴对称变换.图略.
解析
【分析】
1. 解决第(1)问：首先根据△ABC和△DEF关于y轴对称，可知y轴是两个三角形的对称轴，即两三角形中间的竖直网格线；再结合点E坐标为(4,2)，可知x轴为过点E向下平移2个单位长度的水平网格线，x轴与y轴的交点即为坐标原点，据此可画出平面直角坐标系。
2. 解决第(2)①问：关于x轴对称的点的坐标规律为横坐标不变，纵坐标互为相反数。先在建好的坐标系中确定A、B、C三点的坐标，再根据上述规律得到A₁、B₁、C₁的坐标，最后描点连线即可得到△A₁B₁C₁。
3. 解决第(2)②问：分别写出△DEF和△A₁B₁C₁的各顶点坐标，观察对应点的坐标特征，若所有对应点的连线被同一条直线垂直平分，则为轴对称变换，否则判断是否为平移变换。
【解析】
(1) 绘制坐标系步骤：① 因为△ABC与△DEF关于y轴对称，选取两个三角形中间的竖直网格线作为y轴；② 已知点E坐标为(4,2)，从点E向左数4个单位长度交于y轴，向下数2个单位长度作水平网格线作为x轴，x轴与y轴的交点即为原点，完成坐标系绘制。
(2) ① 建好坐标系后，可得△ABC各顶点坐标：A(-2,4)，B(-4,2)，C(-1,1)。根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标取相反数的规律，得对应点坐标：A₁(-2,-4)，B₁(-4,-2)，C₁(-1,-1)，依次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
② 写出△DEF各顶点坐标：D(2,4)，E(4,2)，F(1,1)。对比两组对应点坐标可发现，所有对应点的连线均被直线$y=-x$垂直平分，因此从△DEF到△A₁B₁C₁是轴对称变换，对称轴为直线$y=-x$。
【答案】
(1) 平面直角坐标系绘制见解析；
(2) ① △A₁B₁C₁绘制见解析，点A₁(-2,-4)，B₁(-4,-2)，C₁(-1,-1)；
② 是轴对称变换，对称轴为直线$y=-x$，绘制见解析。
【知识点】
坐标系轴对称变换，关于x轴对称的坐标特征，图形变换判断
【点评】
本题结合网格考查平面直角坐标系的建立、轴对称图形的绘制及变换类型的判断，解题核心是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，能结合坐标特征分析图形的变换方式，是轴对称基础知识点的综合应用考题。
【难度系数】
0.7
1. 解决第(1)问：首先根据△ABC和△DEF关于y轴对称，可知y轴是两个三角形的对称轴，即两三角形中间的竖直网格线；再结合点E坐标为(4,2)，可知x轴为过点E向下平移2个单位长度的水平网格线，x轴与y轴的交点即为坐标原点，据此可画出平面直角坐标系。
2. 解决第(2)①问：关于x轴对称的点的坐标规律为横坐标不变，纵坐标互为相反数。先在建好的坐标系中确定A、B、C三点的坐标，再根据上述规律得到A₁、B₁、C₁的坐标，最后描点连线即可得到△A₁B₁C₁。
3. 解决第(2)②问：分别写出△DEF和△A₁B₁C₁的各顶点坐标，观察对应点的坐标特征，若所有对应点的连线被同一条直线垂直平分，则为轴对称变换，否则判断是否为平移变换。
【解析】
(1) 绘制坐标系步骤：① 因为△ABC与△DEF关于y轴对称，选取两个三角形中间的竖直网格线作为y轴；② 已知点E坐标为(4,2)，从点E向左数4个单位长度交于y轴，向下数2个单位长度作水平网格线作为x轴，x轴与y轴的交点即为原点，完成坐标系绘制。
(2) ① 建好坐标系后，可得△ABC各顶点坐标：A(-2,4)，B(-4,2)，C(-1,1)。根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标取相反数的规律，得对应点坐标：A₁(-2,-4)，B₁(-4,-2)，C₁(-1,-1)，依次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
② 写出△DEF各顶点坐标：D(2,4)，E(4,2)，F(1,1)。对比两组对应点坐标可发现，所有对应点的连线均被直线$y=-x$垂直平分，因此从△DEF到△A₁B₁C₁是轴对称变换，对称轴为直线$y=-x$。
【答案】
(1) 平面直角坐标系绘制见解析；
(2) ① △A₁B₁C₁绘制见解析，点A₁(-2,-4)，B₁(-4,-2)，C₁(-1,-1)；
② 是轴对称变换，对称轴为直线$y=-x$，绘制见解析。
【知识点】
坐标系轴对称变换，关于x轴对称的坐标特征，图形变换判断
【点评】
本题结合网格考查平面直角坐标系的建立、轴对称图形的绘制及变换类型的判断，解题核心是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，能结合坐标特征分析图形的变换方式，是轴对称基础知识点的综合应用考题。
【难度系数】
0.7
