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1. [与T4互为孪生题]如图，$△ ABC$ 的周长为44 cm，DE 垂直平分 AC 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，连接 AD. 若$△ ABD$ 的周长为34 cm，则 CE 的长为
5
cm.答案
1.5
解析
【分析】
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且垂直平分线平分该线段。我们可以先利用性质将△ABD的周长进行转化，得到AB与BC的和，再结合△ABC的周长求出AC的长度，最后根据E是AC中点即可求出CE的长度。
1. 由DE垂直平分AC可得AD=CD，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC；
2. △ABD的周长为AB+BD+AD，将AD替换为CD，就得到AB+BD+CD=AB+BC，即可得到AB+BC的长度；
3. 用△ABC的周长减去AB+BC的长度得到AC的长度，除以2就是CE的长度。
【解析】
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∵△ABD的周长为34 cm，
∴$AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=34\ \mathrm{cm}$，
∵△ABC的周长为44 cm，
∴$AB+BC+AC=44\ \mathrm{cm}$，
将$AB+BC=34\ \mathrm{cm}$代入得：$34+AC=44$，解得$AC=10\ \mathrm{cm}$，
∴$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是利用性质对三角形周长进行等量转化，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且垂直平分线平分该线段。我们可以先利用性质将△ABD的周长进行转化，得到AB与BC的和，再结合△ABC的周长求出AC的长度，最后根据E是AC中点即可求出CE的长度。
1. 由DE垂直平分AC可得AD=CD，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC；
2. △ABD的周长为AB+BD+AD，将AD替换为CD，就得到AB+BD+CD=AB+BC，即可得到AB+BC的长度；
3. 用△ABC的周长减去AB+BC的长度得到AC的长度，除以2就是CE的长度。
【解析】
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∵△ABD的周长为34 cm，
∴$AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=34\ \mathrm{cm}$，
∵△ABC的周长为44 cm，
∴$AB+BC+AC=44\ \mathrm{cm}$，
将$AB+BC=34\ \mathrm{cm}$代入得：$34+AC=44$，解得$AC=10\ \mathrm{cm}$，
∴$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是利用性质对三角形周长进行等量转化，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
变式训练
由周长求线段长→由线段长求周长差
如图,在$△ ABC$中,DE垂直平分AC,交BC于点D,交AC于点E,连接AD.若$AE=4$ cm,则$△ ABC$的周长与$△ ABD$的周长差为
由周长求线段长→由线段长求周长差
如图,在$△ ABC$中,DE垂直平分AC,交BC于点D,交AC于点E,连接AD.若$AE=4$ cm,则$△ ABC$的周长与$△ ABD$的周长差为
8
cm.答案
【变式训练】8
解析
【分析】
解题可按以下思路进行：1. 先提取题干关键条件“DE垂直平分AC”，结合线段垂直平分线的性质可得两个结论：AD=CD，AC=2AE，先求出AC的长度；2. 分别写出△ABC和△ABD的周长表达式，将两个周长相减，再把AD=CD、BC=BD+CD代入式子化简，即可找到周长差对应的线段，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，AC=2AE，
已知AE=4cm，因此AC=2×4=8cm。
△ABC的周长为：$C_{△ ABC}=AB+BC+AC$，
△ABD的周长为：$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
则两个三角形的周长差为：
$\begin{aligned}C_{△ ABC}-C_{△ ABD}&=(AB+BC+AC)-(AB+BD+AD)\\&=BC+AC-BD-AD\end{aligned}$
又
∵BC=BD+CD，且AD=CD，代入上式可得：
$\begin{aligned}原式&=BD+CD+AC-BD-CD\\&=AC=8\mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用性质将相等线段进行代换，通过周长作差化简，将未知的周长差转化为可直接计算的线段长度，解题时注意先列周长表达式再化简，可减少计算错误。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路进行：1. 先提取题干关键条件“DE垂直平分AC”，结合线段垂直平分线的性质可得两个结论：AD=CD，AC=2AE，先求出AC的长度；2. 分别写出△ABC和△ABD的周长表达式，将两个周长相减，再把AD=CD、BC=BD+CD代入式子化简，即可找到周长差对应的线段，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，AC=2AE，
已知AE=4cm，因此AC=2×4=8cm。
△ABC的周长为：$C_{△ ABC}=AB+BC+AC$，
△ABD的周长为：$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
则两个三角形的周长差为：
$\begin{aligned}C_{△ ABC}-C_{△ ABD}&=(AB+BC+AC)-(AB+BD+AD)\\&=BC+AC-BD-AD\end{aligned}$
又
∵BC=BD+CD，且AD=CD，代入上式可得：
$\begin{aligned}原式&=BD+CD+AC-BD-CD\\&=AC=8\mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用性质将相等线段进行代换，通过周长作差化简，将未知的周长差转化为可直接计算的线段长度，解题时注意先列周长表达式再化简，可减少计算错误。
【难度系数】
0.7
2. 如图,直线$l$与线段$AB$交于点$O$,点$P$在直线$l$上,且$PA=PB$.小明说:“直线$l$是$AB$的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条件,小明的结论才正确.”下列判断正确的是 (
A.小明说得对
B.小亮说得对,可添加的条件为“$∠ A=∠ B$”
C.小亮说得对,可添加的条件为“$PO⊥ AB$”
D.两人说得都不对
C
)A.小明说得对
B.小亮说得对,可添加的条件为“$∠ A=∠ B$”
C.小亮说得对,可添加的条件为“$PO⊥ AB$”
D.两人说得都不对
答案
2.C
解析
【分析】
要判断直线l是否为线段AB的垂直平分线，需明确垂直平分线需同时满足“垂直于线段AB”和“平分线段AB”两个条件。已知PA=PB，仅能说明点P在线段AB的垂直平分线上，无法证明直线l同时满足上述两个条件，因此小明的结论不成立，小亮的说法正确。接下来验证可添加的条件：若添加“PO⊥AB”，结合PA=PB，利用等腰三角形三线合一的性质可推出O是AB中点，此时直线l满足垂直、平分AB的要求，即可判定为AB的垂直平分线；若添加“∠A=∠B”，该结论可由PA=PB直接推出，无法补充证明所需条件，因此只有C选项正确。
【解析】
1. 先判断小明的说法：线段垂直平分线的定义是既垂直于线段、又平分线段的直线。已知PA=PB，仅能证明点P在线段AB的垂直平分线上，无法确定直线l是否垂直AB、是否平分AB，因此小明的说法错误，小亮“需添加条件”的说法正确。
2. 分析添加条件的合理性：
选项B：由PA=PB可直接推出△PAB为等腰三角形，∠A=∠B是已有结论，添加该条件后仍无法证明直线l垂直或平分AB，不符合要求；
选项C：添加PO⊥AB，结合PA=PB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AO=OB，即直线l既垂直于AB，又平分AB，因此直线l是AB的垂直平分线，符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线的判定逻辑，易错点是容易忽略“过线段垂直平分线上一个点的直线不一定是线段的垂直平分线”，需牢记垂直平分线要同时满足垂直、平分两个要素，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断直线l是否为线段AB的垂直平分线，需明确垂直平分线需同时满足“垂直于线段AB”和“平分线段AB”两个条件。已知PA=PB，仅能说明点P在线段AB的垂直平分线上，无法证明直线l同时满足上述两个条件，因此小明的结论不成立，小亮的说法正确。接下来验证可添加的条件：若添加“PO⊥AB”，结合PA=PB，利用等腰三角形三线合一的性质可推出O是AB中点，此时直线l满足垂直、平分AB的要求，即可判定为AB的垂直平分线；若添加“∠A=∠B”，该结论可由PA=PB直接推出，无法补充证明所需条件，因此只有C选项正确。
【解析】
1. 先判断小明的说法：线段垂直平分线的定义是既垂直于线段、又平分线段的直线。已知PA=PB，仅能证明点P在线段AB的垂直平分线上，无法确定直线l是否垂直AB、是否平分AB，因此小明的说法错误，小亮“需添加条件”的说法正确。
2. 分析添加条件的合理性：
选项B：由PA=PB可直接推出△PAB为等腰三角形，∠A=∠B是已有结论，添加该条件后仍无法证明直线l垂直或平分AB，不符合要求；
选项C：添加PO⊥AB，结合PA=PB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AO=OB，即直线l既垂直于AB，又平分AB，因此直线l是AB的垂直平分线，符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线的判定逻辑，易错点是容易忽略“过线段垂直平分线上一个点的直线不一定是线段的垂直平分线”，需牢记垂直平分线要同时满足垂直、平分两个要素，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. [2025·宣城期末]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,DE垂直平分AB交BC于点D.若$△ ACD$的周长为45 cm,则$AC+BC$的值为 (
A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm
B
)A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件DE垂直平分AB入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得AD=BD。再结合△ACD的周长为45cm，将周长公式中的AD用等量BD替换，即可发现△ACD的周长恰好等于AC+BC的和，从而快速求出结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD
∵△ACD的周长为45cm
∴$C_{△ ACD}=AC + CD + AD = 45\mathrm{cm}$
将AD替换为BD，可得：
$AC + CD + BD = 45\mathrm{cm}$
又
∵$CD + BD = BC$
∴$AC + BC = 45\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，通过等量代换将三角形周长转化为待求的线段和，不需要额外计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件DE垂直平分AB入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得AD=BD。再结合△ACD的周长为45cm，将周长公式中的AD用等量BD替换，即可发现△ACD的周长恰好等于AC+BC的和，从而快速求出结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD
∵△ACD的周长为45cm
∴$C_{△ ACD}=AC + CD + AD = 45\mathrm{cm}$
将AD替换为BD，可得：
$AC + CD + BD = 45\mathrm{cm}$
又
∵$CD + BD = BC$
∴$AC + BC = 45\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，通过等量代换将三角形周长转化为待求的线段和，不需要额外计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
4.[与T1互为孪生题]如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线DE分别与AB,BC交于点D,E,AC的垂直平分线FG分别与BC,AC交于点F,G,且$BC=10,EF=3$,则$△ AEF$的周长是
16
.答案
4.16
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先找到两条垂直平分线上对应的点：点E在AB的垂直平分线DE上，可得AE=BE；点F在AC的垂直平分线FG上，可得AF=CF。接下来△AEF的周长为AE+EF+AF，将AE、AF等量代换为BE、CF后，周长转化为BE+EF+CF，再结合BC的长度和EF的长度，推导BE+CF与已知线段的关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是AC的垂直平分线，点F在FG上
∴AF = CF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEF的周长 = AE + EF + AF
将AE=BE、AF=CF代入得：
周长 = BE + EF + CF
又
∵BE = BF + EF，CF = CE + EF
∴BE + CF = BF + EF + CE + EF = (BF + EF + CE) + EF = BC + EF
已知BC=10，EF=3，代入得：
BE + CF = 10 + 3 = 13
∴△AEF的周长 = 13 + 3 = 16
【答案】
16
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质做边长的等量转化，不需要单独求解各边长度，通过整体代换即可求出周长，要注意分析线段之间的和差关系，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先找到两条垂直平分线上对应的点：点E在AB的垂直平分线DE上，可得AE=BE；点F在AC的垂直平分线FG上，可得AF=CF。接下来△AEF的周长为AE+EF+AF，将AE、AF等量代换为BE、CF后，周长转化为BE+EF+CF，再结合BC的长度和EF的长度，推导BE+CF与已知线段的关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是AC的垂直平分线，点F在FG上
∴AF = CF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEF的周长 = AE + EF + AF
将AE=BE、AF=CF代入得：
周长 = BE + EF + CF
又
∵BE = BF + EF，CF = CE + EF
∴BE + CF = BF + EF + CE + EF = (BF + EF + CE) + EF = BC + EF
已知BC=10，EF=3，代入得：
BE + CF = 10 + 3 = 13
∴△AEF的周长 = 13 + 3 = 16
【答案】
16
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质做边长的等量转化，不需要单独求解各边长度，通过整体代换即可求出周长，要注意分析线段之间的和差关系，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,BE平分$∠ ABC$,$AM⊥ BC$于点M,交BE于点G,AD平分$∠ MAC$,交BC于点D,交BE于点F.求证:线段BF垂直平分线段AD.
答案
证明：
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠ABC + ∠C = 90°。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠AMC = 90°，
∴ ∠MAC + ∠C = 90°，
∴ ∠MAC = ∠ABC。
∵ BE平分∠ABC，AD平分∠MAC，
∴ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠MAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠MAC，
∴ ∠ABE = ∠MAD。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠AMB = 90°，
∴ ∠BAM + ∠ABC = 90°，
又∵ ∠C + ∠ABC = 90°，
∴ ∠BAM = ∠C。
∵ ∠BAD = ∠BAM + ∠MAD，∠ADB = ∠DAC + ∠C，
∴ ∠BAD = ∠ADB，
∴ AB = BD，即△ABD为等腰三角形。
∵ BE平分∠ABD，
∴ BF⊥AD，AF = FD（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边），
∴ 线段BF垂直平分线段AD。
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠ABC + ∠C = 90°。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠AMC = 90°，
∴ ∠MAC + ∠C = 90°，
∴ ∠MAC = ∠ABC。
∵ BE平分∠ABC，AD平分∠MAC，
∴ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠MAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠MAC，
∴ ∠ABE = ∠MAD。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠AMB = 90°，
∴ ∠BAM + ∠ABC = 90°，
又∵ ∠C + ∠ABC = 90°，
∴ ∠BAM = ∠C。
∵ ∠BAD = ∠BAM + ∠MAD，∠ADB = ∠DAC + ∠C，
∴ ∠BAD = ∠ADB，
∴ AB = BD，即△ABD为等腰三角形。
∵ BE平分∠ABD，
∴ BF⊥AD，AF = FD（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边），
∴ 线段BF垂直平分线段AD。
解析
【分析】
要证明BF垂直平分AD，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导：首先需要证明△ABD是等腰三角形（即AB=BD），再结合已知BE是∠ABC的角平分线，即可得到BF垂直平分AD。推导过程中先利用直角三角形两锐角互余，通过同角的余角相等得到角的等量关系，再结合角平分线的定义完成角的代换，最终证明△ABD为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠ABC + ∠C = 90°。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠AMC = 90°，
∴ ∠MAC + ∠C = 90°，
∴ ∠MAC = ∠ABC。
∵ BE平分∠ABC，AD平分∠MAC，
∴ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠MAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠MAC，
∴ ∠ABE = ∠MAD。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠AMB = 90°，
∴ ∠BAM + ∠ABC = 90°，
又
∵ ∠C + ∠ABC = 90°，
∴ ∠BAM = ∠C。
∵ ∠BAD = ∠BAM + ∠MAD，∠ADB = ∠DAC + ∠C，
∴ ∠BAD = ∠ADB，
∴ AB = BD，即△ABD为等腰三角形。
∵ BE平分∠ABD，
∴ BF⊥AD，AF = FD（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边），
∴ 线段BF垂直平分线段AD。
【答案】
线段BF垂直平分线段AD，得证。
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的定义；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是通过角的等量代换推导等腰三角形，再利用等腰三角形的性质完成证明，需要熟练掌握直角三角形、角平分线、等腰三角形的相关性质，理清角之间的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要证明BF垂直平分AD，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导：首先需要证明△ABD是等腰三角形（即AB=BD），再结合已知BE是∠ABC的角平分线，即可得到BF垂直平分AD。推导过程中先利用直角三角形两锐角互余，通过同角的余角相等得到角的等量关系，再结合角平分线的定义完成角的代换，最终证明△ABD为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠ABC + ∠C = 90°。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠AMC = 90°，
∴ ∠MAC + ∠C = 90°，
∴ ∠MAC = ∠ABC。
∵ BE平分∠ABC，AD平分∠MAC，
∴ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠MAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠MAC，
∴ ∠ABE = ∠MAD。
∵ AM⊥BC，
∴ ∠AMB = 90°，
∴ ∠BAM + ∠ABC = 90°，
又
∵ ∠C + ∠ABC = 90°，
∴ ∠BAM = ∠C。
∵ ∠BAD = ∠BAM + ∠MAD，∠ADB = ∠DAC + ∠C，
∴ ∠BAD = ∠ADB，
∴ AB = BD，即△ABD为等腰三角形。
∵ BE平分∠ABD，
∴ BF⊥AD，AF = FD（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边），
∴ 线段BF垂直平分线段AD。
【答案】
线段BF垂直平分线段AD，得证。
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的定义；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是通过角的等量代换推导等腰三角形，再利用等腰三角形的性质完成证明，需要熟练掌握直角三角形、角平分线、等腰三角形的相关性质，理清角之间的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6
