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19.如图,在等边三角形ABC中,BC=6,D是边BC上的动点,∠EDF=60°.
(1)求证:△BDE∽△CFD.
(2)当BD=1,CF=3时,BE的长为
(1)求证:△BDE∽△CFD.
(2)当BD=1,CF=3时,BE的长为
$\frac{5}{3}$
.答案
19.解:(1)证明:$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore ∠ B=∠ C=60°$. $\because ∠ EDF=60°$,$\therefore ∠ BED+∠ EDB=∠ EDB+∠ CDF=120°$. $\therefore ∠ BED=∠ CDF$. $\therefore △ BDE ∽ △ CFD$. (2)$\frac{5}{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明△BDE∽△CFD，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先结合等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，再根据已知∠EDF=60°，通过三角形内角和与平角的性质推导得到∠BED=∠CDF，即可满足相似判定条件。
(2) 借助第一问得到的相似结论，利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出CD的长度，再将已知的BD、CF、CD的长度代入比例式，即可计算出BE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠EDF=60°，
在△BDE中，∠BED + ∠EDB = 180° - ∠B = 120°，
又
∵∠EDB + ∠CDF = 180° - ∠EDF = 120°，
∴∠BED = ∠CDF，
∴△BDE∽△CFD。
(2) 解：
∵BC=6，BD=1，
∴CD = BC - BD = 6 - 1 = 5，
由(1)知△BDE∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}$，
将BD=1，CD=5，CF=3代入比例式得：
$\frac{BE}{5}=\frac{1}{3}$，
解得$BE=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{5}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查等边三角形性质与相似三角形判定、性质的结合应用，解题时需注意准确匹配相似三角形的对应边，避免因对应边混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BDE∽△CFD，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先结合等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，再根据已知∠EDF=60°，通过三角形内角和与平角的性质推导得到∠BED=∠CDF，即可满足相似判定条件。
(2) 借助第一问得到的相似结论，利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出CD的长度，再将已知的BD、CF、CD的长度代入比例式，即可计算出BE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠EDF=60°，
在△BDE中，∠BED + ∠EDB = 180° - ∠B = 120°，
又
∵∠EDB + ∠CDF = 180° - ∠EDF = 120°，
∴∠BED = ∠CDF，
∴△BDE∽△CFD。
(2) 解：
∵BC=6，BD=1，
∴CD = BC - BD = 6 - 1 = 5，
由(1)知△BDE∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}$，
将BD=1，CD=5，CF=3代入比例式得：
$\frac{BE}{5}=\frac{1}{3}$，
解得$BE=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{5}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查等边三角形性质与相似三角形判定、性质的结合应用，解题时需注意准确匹配相似三角形的对应边，避免因对应边混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
20.已知二次函数$y=x^2-2x-1$.
(1)请在表内的空格中填入适当的数,并在平面直角坐标系中画出$y=x^2-2x-1$的图象.
(2)当x在什么取值范围内时,y随x的增大而减小?
(1)请在表内的空格中填入适当的数,并在平面直角坐标系中画出$y=x^2-2x-1$的图象.
(2)当x在什么取值范围内时,y随x的增大而减小?
答案
20.解:(1)2 -1 -2 -1 2 图略.(2)当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小.
解析
【分析】
(1)要填写表格中的数值，只需将对应的x值代入二次函数解析式计算出y值即可；画函数图象遵循“列表、描点、连线”三个步骤，将计算出的点在坐标系中标出后用平滑曲线连接即可。(2)判断二次函数的增减性，首先确定二次函数的开口方向和对称轴，开口向上的二次函数，在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大，据此推导即可得到取值范围。
【解析】
(1)将对应x值依次代入$y=x^2-2x-1$计算：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2 - 2×(-1) -1 = 1 +2 -1 =2$；
当$x=0$时，$y=0^2 - 2×0 -1 = -1$；
当$x=1$时，$y=1^2 - 2×1 -1 = 1-2-1 = -2$；
当$x=2$时，$y=2^2 - 2×2 -1 =4-4-1 = -1$；
当$x=3$时，$y=3^2 - 2×3 -1 =9-6-1=2$；
因此表格空格依次填入2、-1、-2、-1、2，画图象时先描出上述对应坐标点，再用平滑曲线顺次连接各点即可。
(2)二次函数$y=x^2-2x-1$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = \frac{-(-2)}{2×1} = 1$，
因此在对称轴左侧，即当$x＜1$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)2 -1 -2 -1 2，图略；(2)当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的图象与性质；描点法画函数图象；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础考查题，侧重对二次函数基本性质的掌握，需要熟练掌握代入求值、描点画图的方法，以及二次函数开口方向、对称轴、增减性之间的关联。
【难度系数】
0.85
(1)要填写表格中的数值，只需将对应的x值代入二次函数解析式计算出y值即可；画函数图象遵循“列表、描点、连线”三个步骤，将计算出的点在坐标系中标出后用平滑曲线连接即可。(2)判断二次函数的增减性，首先确定二次函数的开口方向和对称轴，开口向上的二次函数，在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大，据此推导即可得到取值范围。
【解析】
(1)将对应x值依次代入$y=x^2-2x-1$计算：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2 - 2×(-1) -1 = 1 +2 -1 =2$；
当$x=0$时，$y=0^2 - 2×0 -1 = -1$；
当$x=1$时，$y=1^2 - 2×1 -1 = 1-2-1 = -2$；
当$x=2$时，$y=2^2 - 2×2 -1 =4-4-1 = -1$；
当$x=3$时，$y=3^2 - 2×3 -1 =9-6-1=2$；
因此表格空格依次填入2、-1、-2、-1、2，画图象时先描出上述对应坐标点，再用平滑曲线顺次连接各点即可。
(2)二次函数$y=x^2-2x-1$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = \frac{-(-2)}{2×1} = 1$，
因此在对称轴左侧，即当$x＜1$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)2 -1 -2 -1 2，图略；(2)当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的图象与性质；描点法画函数图象；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础考查题，侧重对二次函数基本性质的掌握，需要熟练掌握代入求值、描点画图的方法，以及二次函数开口方向、对称轴、增减性之间的关联。
【难度系数】
0.85
21. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°, BC=2\sqrt{3}, E,F$ 分别为 $AB,AC$ 的中点, 过点 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $FE$ 的延长线于点 $D$, 连接 $BF,AD$.
(1)求证:四边形 $ADBF$ 是菱形.
(2)若 $∠ C=30°$,求四边形 $ADBC$ 的面积.
(1)求证:四边形 $ADBF$ 是菱形.
(2)若 $∠ C=30°$,求四边形 $ADBC$ 的面积.
答案
21.解:(1)证明:$\because BD// AC$,$\therefore ∠ EBD=∠ EAF$. $\because E$为$AB$的中点,$\therefore AE=BE$. 在$△ AEF$和$△ BED$中,$\begin{cases} ∠ EAF=∠ EBD, \\ AE=BE, \\ ∠ AEF=∠ BED, \end{cases}$ $\therefore △ AEF ≌ △ BED(\mathrm{ASA})$. $\therefore EF=DE$. $\because AE=BE$,$\therefore$四边形$ADBF$是平行四边形. $\because E$为$AB$的中点,$F$为$AC$的中点,$\therefore EF// BC$. $\because ∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=90°$,即$AB⊥ DF$. $\therefore$平行四边形$ADBF$是菱形.(2)$\because BC=2\sqrt{3}$,$E,F$分别为$AB,AC$的中点,$\therefore EF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$. $\therefore DF=2EF=2\sqrt{3}$. $\because ∠ C=30°$,$\therefore AC=2AB$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AB^2+(2\sqrt{3})^2=(2AB)^2$,解得$AB=2$. $\therefore BE=\frac{1}{2}AB=1$. $\therefore S_{\mathrm{四边形}ADBC}=S_{\mathrm{菱形}ADBF}+S_{△ FBC}=\frac{1}{2}AB· DF+\frac{1}{2}BC· BE=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}+\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证四边形ADBF是菱形，先按“先证平行四边形，再证特殊性质”的思路推导：首先由BD//AC得到内错角相等，结合E是AB中点，通过ASA证明△AEF和△BED全等，得到对角线互相平分，先证得四边形ADBF是平行四边形；再利用中位线性质证明平行四边形的对角线AB⊥DF，即可判定为菱形。
(2) 求四边形ADBC的面积，可将其拆分为菱形ADBF和△FBC的面积之和计算：先由中位线定理求出EF、DF的长度，再在Rt△ABC中结合30°角的性质和勾股定理求出AB的长度，最后分别代入菱形、三角形的面积公式求和即可。
【解析】
(1) 证明：$\because BD// AC$，$\therefore ∠ EBD=∠ EAF$。
$\because E$为$AB$的中点，$\therefore AE=BE$。
在$△ AEF$和$△ BED$中，
$\begin{cases} ∠ EAF=∠ EBD, \\ AE=BE, \\ ∠ AEF=∠ BED, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ BED(\mathrm{ASA})$，$\therefore EF=DE$。
$\because AE=BE$，$\therefore$四边形$ADBF$是平行四边形。
$\because E$为$AB$的中点，$F$为$AC$的中点，$\therefore EF$是$△ ABC$的中位线，$\therefore EF// BC$。
$\because ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=90°$，即$AB⊥ DF$，
$\therefore$平行四边形$ADBF$是菱形。
(2) 解：$\because BC=2\sqrt{3}$，$E,F$分别为$AB,AC$的中点，$\therefore EF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，$\therefore DF=2EF=2\sqrt{3}$。
$\because ∠ C=30°$，$∠ ABC=90°$，$\therefore AC=2AB$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入数据：$AB^2+(2\sqrt{3})^2=(2AB)^2$，解得$AB=2$，$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=1$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ADBC}=S_{\mathrm{菱形}ADBF}+S_{△ FBC}=\frac{1}{2}AB· DF+\frac{1}{2}BC· BE=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}+\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形$ADBF$是菱形，证明成立；(2) $3\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的判定、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了三角形全等、特殊四边形的判定与性质、直角三角形的性质，解题时注意运用割补法将不规则四边形转化为规则图形计算面积，需要熟练掌握基础几何定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形ADBF是菱形，先按“先证平行四边形，再证特殊性质”的思路推导：首先由BD//AC得到内错角相等，结合E是AB中点，通过ASA证明△AEF和△BED全等，得到对角线互相平分，先证得四边形ADBF是平行四边形；再利用中位线性质证明平行四边形的对角线AB⊥DF，即可判定为菱形。
(2) 求四边形ADBC的面积，可将其拆分为菱形ADBF和△FBC的面积之和计算：先由中位线定理求出EF、DF的长度，再在Rt△ABC中结合30°角的性质和勾股定理求出AB的长度，最后分别代入菱形、三角形的面积公式求和即可。
【解析】
(1) 证明：$\because BD// AC$，$\therefore ∠ EBD=∠ EAF$。
$\because E$为$AB$的中点，$\therefore AE=BE$。
在$△ AEF$和$△ BED$中，
$\begin{cases} ∠ EAF=∠ EBD, \\ AE=BE, \\ ∠ AEF=∠ BED, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ BED(\mathrm{ASA})$，$\therefore EF=DE$。
$\because AE=BE$，$\therefore$四边形$ADBF$是平行四边形。
$\because E$为$AB$的中点，$F$为$AC$的中点，$\therefore EF$是$△ ABC$的中位线，$\therefore EF// BC$。
$\because ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=90°$，即$AB⊥ DF$，
$\therefore$平行四边形$ADBF$是菱形。
(2) 解：$\because BC=2\sqrt{3}$，$E,F$分别为$AB,AC$的中点，$\therefore EF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，$\therefore DF=2EF=2\sqrt{3}$。
$\because ∠ C=30°$，$∠ ABC=90°$，$\therefore AC=2AB$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入数据：$AB^2+(2\sqrt{3})^2=(2AB)^2$，解得$AB=2$，$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=1$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ADBC}=S_{\mathrm{菱形}ADBF}+S_{△ FBC}=\frac{1}{2}AB· DF+\frac{1}{2}BC· BE=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}+\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形$ADBF$是菱形，证明成立；(2) $3\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的判定、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了三角形全等、特殊四边形的判定与性质、直角三角形的性质，解题时注意运用割补法将不规则四边形转化为规则图形计算面积，需要熟练掌握基础几何定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
