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22.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y(单位：个)与每个商品的售价x(单位：元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)设商场销售这种商品每天获得的总利润为w(单位：元)，求w与x之间的函数表达式.
(3)不考虑其他因素，当每个商品的售价为多少元时，商场销售这种商品每天获得的总利润最大，最大利润是多少元？
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)设商场销售这种商品每天获得的总利润为w(单位：元)，求w与x之间的函数表达式.
(3)不考虑其他因素，当每个商品的售价为多少元时，商场销售这种商品每天获得的总利润最大，最大利润是多少元？
答案
22.解:(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$,则$\begin{cases} 40k+b=80, \\ 50k+b=60, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=160. \end{cases}$ $\therefore y$与$x$之间的函数表达式是$y=-2x+160$.(2)由题意,得$w=(x-20)(-2x+160)=-2x^2+200x-3\ 200$.(3)$\because w=-2x^2+200x-3\ 200=-2(x-50)^2+1\ 800(20≤ x≤ 60)$,$\therefore$当$x=50$时,$w$取得最大值,此时$w=1\ 800$.答:当每个商品的售价为50元时,商场销售这种商品每天获得的总利润最大,最大利润是1 800元.
解析
【分析】
(1) 已知y与x满足一次函数关系，因此先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到y与x的函数表达式，可代入第三组数据验证正确性。
(2) 销售总利润的计算公式为：总利润=（单个售价-单个进价）×销售量。单个利润为$(x-20)$元，销售量为第一问求出的y，将y代入公式展开整理，即可得到w与x的函数表达式。
(3) 第二问得到的w是关于x的二次函数，先将其配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，再结合自变量x的取值范围$20≤x≤60$，找到使w取得最大值的x值，同时求出最大利润。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组数据代入得：
$\begin{cases} 40k+b=80 \\ 50k+b=60 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$40k+b=80$，得$40×(-2)+b=80$，解得$b=160$，
验证：当$x=30$时，$y=-2×30+160=100$，与表格数据一致，
∴y与x之间的函数表达式是$y=-2x+160\quad(20≤ x≤60)$。
(2) 由题意得，单个商品的利润为$(x-20)$元，总利润$w=$单个利润×销售量，
因此$w=(x-20)y=(x-20)(-2x+160)$，
展开整理得：$w=-2x^2+200x-3200$。
(3) 将w的表达式配方：
$w=-2x^2+200x-3200=-2(x^2-100x)-3200=-2[(x-50)^2-2500]-3200=-2(x-50)^2+1800$，
∵$-2＜0$，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
又
∵$20≤ x≤60$，顶点横坐标$x=50$在取值范围内，
∴当$x=50$时，w取得最大值，最大值为1800元。
【答案】
(1) $y=-2x+160\quad(20≤ x≤60)$
(2) $w=-2x^2+200x-3200$
(3) 当每个商品的售价为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润是1800元。
【知识点】
1. 一次函数解析式确定
2. 销售利润计算
3. 二次函数最值求解
【点评】
本题是函数在销售实际问题中的典型应用，解题的关键是理清售价、销售量、单个利润、总利润之间的数量关系，求解二次函数最值时要注意结合自变量的实际取值范围，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y与x满足一次函数关系，因此先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到y与x的函数表达式，可代入第三组数据验证正确性。
(2) 销售总利润的计算公式为：总利润=（单个售价-单个进价）×销售量。单个利润为$(x-20)$元，销售量为第一问求出的y，将y代入公式展开整理，即可得到w与x的函数表达式。
(3) 第二问得到的w是关于x的二次函数，先将其配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，再结合自变量x的取值范围$20≤x≤60$，找到使w取得最大值的x值，同时求出最大利润。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组数据代入得：
$\begin{cases} 40k+b=80 \\ 50k+b=60 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$40k+b=80$，得$40×(-2)+b=80$，解得$b=160$，
验证：当$x=30$时，$y=-2×30+160=100$，与表格数据一致，
∴y与x之间的函数表达式是$y=-2x+160\quad(20≤ x≤60)$。
(2) 由题意得，单个商品的利润为$(x-20)$元，总利润$w=$单个利润×销售量，
因此$w=(x-20)y=(x-20)(-2x+160)$，
展开整理得：$w=-2x^2+200x-3200$。
(3) 将w的表达式配方：
$w=-2x^2+200x-3200=-2(x^2-100x)-3200=-2[(x-50)^2-2500]-3200=-2(x-50)^2+1800$，
∵$-2＜0$，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
又
∵$20≤ x≤60$，顶点横坐标$x=50$在取值范围内，
∴当$x=50$时，w取得最大值，最大值为1800元。
【答案】
(1) $y=-2x+160\quad(20≤ x≤60)$
(2) $w=-2x^2+200x-3200$
(3) 当每个商品的售价为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润是1800元。
【知识点】
1. 一次函数解析式确定
2. 销售利润计算
3. 二次函数最值求解
【点评】
本题是函数在销售实际问题中的典型应用，解题的关键是理清售价、销售量、单个利润、总利润之间的数量关系，求解二次函数最值时要注意结合自变量的实际取值范围，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.7
23.解答下列各题：
(1)【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证:AC²=AD·AB.
(2)【尝试应用】
如图2，在ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点，∠AEF=∠D.若AE=6，BF=5，则CD的长为
(3)【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=4EF，∠EDF=$\frac{1}{2}$∠BAD，AE=3，DF=4，求菱形ABCD的边长.
(1)【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证:AC²=AD·AB.
(2)【尝试应用】
如图2，在ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点，∠AEF=∠D.若AE=6，BF=5，则CD的长为
9
.(3)【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=4EF，∠EDF=$\frac{1}{2}$∠BAD，AE=3，DF=4，求菱形ABCD的边长.
答案
23.解:(1)证明:$\because ∠ ACD=∠ B$,$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ADC ∽ △ ACB$. $\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$. $\therefore AC^2=AD· AB$.(2)9 (3)延长$DC,EF$交于点$G$. $\because$四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB// DC$,$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD$. $\because ∠ EDF=\frac{1}{2}∠ BAD$,$\therefore ∠ EDF=∠ BAC$. $\because AC// EF$,$\therefore$四边形$AEGC$为平行四边形. $\therefore AC=EG$,$CG=AE$,$∠ EAC=∠ G$. $\therefore ∠ EDF=∠ G$. 又$\because ∠ DEF=∠ GED$,$\therefore △ EDF ∽ △ EGD$. $\therefore \frac{ED}{EG}=\frac{EF}{ED}$. $\therefore DE^2=EF· EG$. 又$\because EG=AC=4EF$,$\therefore DE^2=4EF^2$. $\therefore DE=2EF$. $\because △ EDF ∽ △ EGD$,$\therefore \frac{DF}{DG}=\frac{DE}{EG}=\frac{2EF}{4EF}=\frac{1}{2}$. $\therefore DG=2DF=2×4=8$. $\therefore DC=DG-CG=8-3=5$. $\therefore$菱形$ABCD$的边长为5.
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$AC^2=AD·AB$，可先转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明$△ ADC$和$△ ACB$相似即可。已知$∠ ACD=∠ B$，且两个三角形有公共角$∠ A$，利用两角对应相等的判定定理可证相似，再根据相似三角形对应边成比例交叉相乘得到结论。
(2) 平行四边形中$∠ B=∠ D$，结合已知$∠ AEF=∠ D$可得$∠ AEF=∠ B$，又$∠ EAF$是$△ AEF$和$△ ABE$的公共角，可证两三角形相似，利用(1)的结论得到$AE^2=AF·AB$。设$CD=x$，由平行四边形对边相等得$AB=CD=x$，$AF=x-5$，代入已知线段长度解方程即可求出$CD$的长。
(3) 求菱形边长可构造相似三角形求解：延长$DC$、$EF$交于点$G$，利用菱形性质结合$EF// AC$先证四边形$AEGC$是平行四边形，得到$AC=EG$、$CG=AE$；再结合$∠ EDF=\frac{1}{2}∠ BAD$推出$∠ EDF=∠ G$，加上公共角$∠ DEF=∠ GED$证得$△ EDF∽△ EGD$，利用相似性质得到线段比例关系，求出$DG$的长后，用$DG-CG$即可得到菱形边长。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ ACD=∠ B$，$∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB$（两角对应相等，两三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
$\therefore AC^2=AD·AB$。
(2) 解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore ∠ B=∠ D$，$AB=CD$，
$\because ∠ AEF=∠ D$，$\therefore ∠ AEF=∠ B$，
又$\because ∠ EAF=∠ BAE$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABE$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AE}$，即$AE^2=AF·AB$，
设$CD=x$，则$AB=x$，$AF=x-5$，
$\because AE=6$，$BF=5$，
$\therefore 6^2=(x-5)x$，整理得$x^2-5x-36=0$，
解得$x_1=9$，$x_2=-4$（边长为正，舍去），
故$CD$的长为9。
(3) 解：延长$DC$，$EF$交于点$G$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB// DC$，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD$，$AB=DC$，
$\because ∠ EDF=\frac{1}{2}∠ BAD$，$\therefore ∠ EDF=∠ BAC$，
$\because AC// EF$，$AB// DG$，
$\therefore$四边形$AEGC$为平行四边形，
$\therefore AC=EG$，$CG=AE$，$∠ EAC=∠ G$，
$\therefore ∠ EDF=∠ G$，
又$\because ∠ DEF=∠ GED$，
$\therefore △ EDF ∽ △ EGD$，
$\therefore \frac{ED}{EG}=\frac{EF}{ED}$，即$DE^2=EF·EG$，
$\because EG=AC=4EF$，
$\therefore DE^2=4EF^2$，$\therefore DE=2EF$（线段长度为正），
$\because △ EDF ∽ △ EGD$，
$\therefore \frac{DF}{DG}=\frac{DE}{EG}=\frac{2EF}{4EF}=\frac{1}{2}$，
$\therefore DG=2DF=2×4=8$，
$\because CG=AE=3$，
$\therefore DC=DG-CG=8-3=5$，
即菱形$ABCD$的边长为5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{9}$；(3) $\boxed{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质
【点评】
本题由浅入深设置三个梯度的问题，基础问考查相似三角形的基础判定及等积式的证明，应用问结合平行四边形性质考查相似三角形的实际应用，拓展问需要结合菱形性质构造辅助线得到相似三角形，既考查了特殊四边形的性质，也锻炼了几何模型构造与逻辑推理能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明等积式$AC^2=AD·AB$，可先转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明$△ ADC$和$△ ACB$相似即可。已知$∠ ACD=∠ B$，且两个三角形有公共角$∠ A$，利用两角对应相等的判定定理可证相似，再根据相似三角形对应边成比例交叉相乘得到结论。
(2) 平行四边形中$∠ B=∠ D$，结合已知$∠ AEF=∠ D$可得$∠ AEF=∠ B$，又$∠ EAF$是$△ AEF$和$△ ABE$的公共角，可证两三角形相似，利用(1)的结论得到$AE^2=AF·AB$。设$CD=x$，由平行四边形对边相等得$AB=CD=x$，$AF=x-5$，代入已知线段长度解方程即可求出$CD$的长。
(3) 求菱形边长可构造相似三角形求解：延长$DC$、$EF$交于点$G$，利用菱形性质结合$EF// AC$先证四边形$AEGC$是平行四边形，得到$AC=EG$、$CG=AE$；再结合$∠ EDF=\frac{1}{2}∠ BAD$推出$∠ EDF=∠ G$，加上公共角$∠ DEF=∠ GED$证得$△ EDF∽△ EGD$，利用相似性质得到线段比例关系，求出$DG$的长后，用$DG-CG$即可得到菱形边长。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ ACD=∠ B$，$∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB$（两角对应相等，两三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
$\therefore AC^2=AD·AB$。
(2) 解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore ∠ B=∠ D$，$AB=CD$，
$\because ∠ AEF=∠ D$，$\therefore ∠ AEF=∠ B$，
又$\because ∠ EAF=∠ BAE$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABE$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AE}$，即$AE^2=AF·AB$，
设$CD=x$，则$AB=x$，$AF=x-5$，
$\because AE=6$，$BF=5$，
$\therefore 6^2=(x-5)x$，整理得$x^2-5x-36=0$，
解得$x_1=9$，$x_2=-4$（边长为正，舍去），
故$CD$的长为9。
(3) 解：延长$DC$，$EF$交于点$G$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB// DC$，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD$，$AB=DC$，
$\because ∠ EDF=\frac{1}{2}∠ BAD$，$\therefore ∠ EDF=∠ BAC$，
$\because AC// EF$，$AB// DG$，
$\therefore$四边形$AEGC$为平行四边形，
$\therefore AC=EG$，$CG=AE$，$∠ EAC=∠ G$，
$\therefore ∠ EDF=∠ G$，
又$\because ∠ DEF=∠ GED$，
$\therefore △ EDF ∽ △ EGD$，
$\therefore \frac{ED}{EG}=\frac{EF}{ED}$，即$DE^2=EF·EG$，
$\because EG=AC=4EF$，
$\therefore DE^2=4EF^2$，$\therefore DE=2EF$（线段长度为正），
$\because △ EDF ∽ △ EGD$，
$\therefore \frac{DF}{DG}=\frac{DE}{EG}=\frac{2EF}{4EF}=\frac{1}{2}$，
$\therefore DG=2DF=2×4=8$，
$\because CG=AE=3$，
$\therefore DC=DG-CG=8-3=5$，
即菱形$ABCD$的边长为5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{9}$；(3) $\boxed{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质
【点评】
本题由浅入深设置三个梯度的问题，基础问考查相似三角形的基础判定及等积式的证明，应用问结合平行四边形性质考查相似三角形的实际应用，拓展问需要结合菱形性质构造辅助线得到相似三角形，既考查了特殊四边形的性质，也锻炼了几何模型构造与逻辑推理能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
