某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(单位：盒)与销售单价x(单位：元)是一次函数关系.下表是y与x的几组对应值.

(1)求y关于x的函数解析式.
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果获得的最大日销售利润为392元，求m的值.

(1)y关于x的函数解析式为y=−2x+80.
(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
(3)m的值为2.

【分析】
(1) 已知日销售量y与销售单价x是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，从表格中选取两组x、y的对应值代入，解出k、b的值，再验证其余点均满足解析式，同时结合实际意义确定x的取值范围。
(2) 销售总利润=单盒利润×日销售量，单盒利润是售价减进价，日销售量为(1)中所求的y，因此可列出总利润关于x的函数解析式，判断为二次函数后，结合二次函数开口方向，在顶点处取得最大值，计算顶点坐标即可得结果。
(3) 赠送礼品后，单盒利润要减去m元，同理列出新的总利润关于x的二次函数，根据最大日利润为392元，利用二次函数最值公式列方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的解，得到m的值。
【解析】
(1) 设y关于x的一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
将$\begin{cases}x=12\\y=56\end{cases}$和$\begin{cases}x=14\\y=52\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}12k+b=56 \\14k+b=52 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k=-4$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$12k+b=56$，得$-24+b=56$，解得$b=80$，
验证表格中其余x、y对应值均满足该式；
结合实际意义：销售单价不低于进价，即$x≥10$，日销售量不为负，即$-2x+80≥0$，得$x≤40$，
故y关于x的函数解析式为$y=-2x+80(10≤ x≤40)$。
(2) 设日销售利润为w元，单盒利润为$(x-10)$元，因此：
$w=(x-10)y=(x-10)(-2x+80)$
展开并配方得：$w=-2(x-25)^2+450$
∵$-2＜0$，抛物线开口向下，且$10≤25≤40$，
∴当$x=25$时，w取得最大值，最大值为450元。
(3) 赠送礼品后，单盒实际利润为$(x-10-m)$元，此时日销售利润为：
$w=(x-10-m)(-2x+80)$
该二次函数开口向下，最大值在顶点处取得，顶点横坐标为$x=\frac{100+2m}{4}=25+\frac{m}{2}$，
将$x=25+\frac{m}{2}$代入w，得最大利润：
$(15-\frac{m}{2})(30-m)=392$
整理得：$(30-m)^2=784$
解得$m=2$或$m=58$，
当$m=58$时，$x=54＞40$，日销售量为负，不符合实际，舍去，故$m=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+80}$
(2) 糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
(3) $\boldsymbol{m=2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的典型应用，前两问属于基础考点，需要熟练掌握利润的计算公式以及二次函数最值的求解方法；第三问引入参数后，需要准确列出新的利润解析式，结合二次函数最值建立方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.6

请根据本课所学，构建知识体系。
二次函数与商品利润问题
与利润有关的几个关系式
（1）总价=单价×；
（2）利润=售价-；
（3）总利润=单件利润×；
解决销售利润最值问题的一般步骤
写出函数；
（2）确定的取值范围；
（3）求二次函数在自变量取值范围内的，即为最大利润

(1)数量
(2)进价
(3)销售量
(1)解析式
(2)自变量
(3)最大值

【分析】
本题考查二次函数商品利润问题的基础概念，解题思路如下：
1. 针对利润相关关系式，结合销售基本常识回忆对应公式：总价由单价和销售的数量共同决定；利润是售价扣除成本后的部分，成本也就是商品的进价；总利润是单件商品获得的利润乘总共销售的商品数量。
2. 针对销售利润最值问题的步骤，结合二次函数解决实际问题的通用逻辑梳理：首先要根据题意建立总利润和相关变量的对应关系，即写出函数解析式；其次实际问题中的变量存在实际意义限制，需要确定自变量的取值范围；最后结合二次函数的性质，在自变量的取值范围内求出对应的最大值，就是所求的最大利润。
【解析】
我们依次对每个空进行填写：
与利润有关的几个关系式
（1）根据销售基础公式可得：$\mathrm{总价}=\mathrm{单价}×\underline{数量}$；
（2）利润为售价减去成本的部分，成本即商品进价，因此$\mathrm{利润}=\mathrm{售价}-\underline{进价}$；
（3）总利润为单件利润乘以总销售数量，因此$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润}×\underline{销售量}$；
解决销售利润最值问题的一般步骤
（1）首先结合题意建立利润和相关变量的函数关系，即写出函数$\underline{解析式}$；
（2）实际问题中自变量受实际意义约束，例如销售量不能为负、调价幅度不能超过合理范围等，因此需要确定$\underline{自变量}$的取值范围；
（3）结合二次函数的最值性质，求出二次函数在自变量取值范围内的$\underline{最大值}$，即为最大利润。
【答案】
（1）数量；（2）进价；（3）销售量；
（1）解析式；（2）自变量；（3）最大值
【知识点】
销售利润基本公式；二次函数实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数商品利润模块的基础概念题，主要考察基础公式的记忆和利润最值求解的基本步骤，是解决各类复杂销售利润应用题的核心基础，需要熟练掌握相关内容。
【难度系数】
0.9

任务一
应用二次函数解决抛物线形
实物问题
阅读材料，完成下列探究.
如图是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.

探究1：怎样建立平面直角坐标系，能使抛物线的函数解析式最简单？
探究2：根据所建的平面直角坐标系，这条抛物线对应的函数解析式应设为哪种形式？
探究3：如何确定该函数解析式中的二次项系数？
探究4：若水面下降2.5 m，则水面宽度增加多少？

探究1：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系(图略).
探究2：由于顶点坐标是(0，0)，因此这条抛物线对应的解析式应设为 $y=ax^{2}.$
探究3：已知水面宽4 m时，拱顶离水面2 m，因此点(2，-2)在抛物线上，由此得出$-2= a· 2^{2}$，解得 $a=-\dfrac {1}{2}.$
探究4：这条抛物线对应的解析式为 $y=-\dfrac {1}{2}x^{2}.$ 当水面下降2.5 m时，水面的纵坐标为-4.5. 当 $y=-4.5$ 时，$-4.5=-\dfrac {1}{2}x^{2}$，解得$x_1=3,\ x_2=-3.$
$\because 3-(-3)=6(\mathrm{m}),\ 6-4=2(\mathrm{m}),$
$\therefore$ 若水面下降2.5 m，则水面宽度增加2 m.

【分析】
解决抛物线形实物问题的核心是将实际问题转化为二次函数问题求解：首先要建立合适的平面直角坐标系，要让解析式最简，通常选择抛物线顶点为原点、对称轴为y轴，可消去解析式里的一次项和常数项；其次根据顶点坐标确定解析式的形式，再代入已知点坐标，用待定系数法求出未知系数，得到完整的函数解析式；最后解决实际变化问题时，把对应数值代入解析式，求出相关坐标后计算得到实际结果。
【解析】
探究1：为了让抛物线解析式的形式最简单，应让顶点坐标尽可能简便，因此选择以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，此时抛物线顶点坐标为(0,0)。
探究2：所建坐标系下抛物线顶点为(0,0)，且对称轴是y轴，因此抛物线解析式可设为最简顶点式：$y=ax^2(a≠0)$。
探究3：已知拱顶离水面2m时水面宽4m，此时水面与抛物线的交点为$(2,-2)$、$(-2,-2)$，将点$(2,-2)$代入$y=ax^2$，可得方程$-2=a·2^2$，解方程得$a=-\dfrac{1}{2}$。
探究4：由上述结论得抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。水面下降2.5m时，水面的纵坐标为$-2-2.5=-4.5$，将$y=-4.5$代入解析式得：$-4.5=-\dfrac{1}{2}x^2$，解得$x_1=3,x_2=-3$，此时水面宽度为$3-(-3)=6\mathrm{m}$，原来水面宽4m，因此宽度增加了$6-4=2\mathrm{m}$。
【答案】
探究1：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。
探究2：设函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
探究3：将抛物线上的点$(2,-2)$代入解析式，解得二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}$。
探究4：水面宽度增加2 m。
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像性质
【点评】
本题是抛物线类实际问题的典型题型，解题关键是合理建立平面直角坐标系简化运算，再通过待定系数法确定函数解析式，最后代入数值求解，能有效考查将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7