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如图是蔬菜塑料大棚正面的示意图. 示意图中曲线AGMD可近似看作一条抛物线, 四边形ABCD为矩形且支架AB, CD, GH, MN均垂直于地面BC. 已知$BC=6\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(规定一个单位长度代表1 m)，若点M的坐标为$(1, 3)$，则抛物线的函数解析式为 (
A.$y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{25}{8}$
B.$y=\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{25}{8}$
C.$y=\dfrac{1}{35}x^2+\dfrac{106}{35}$
D.$y=-\dfrac{1}{35}x^2+\dfrac{106}{35}$
A
)A.$y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{25}{8}$
B.$y=\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{25}{8}$
C.$y=\dfrac{1}{35}x^2+\dfrac{106}{35}$
D.$y=-\dfrac{1}{35}x^2+\dfrac{106}{35}$
答案
A
解析
【分析】
首先观察抛物线的对称轴为y轴，因此可设抛物线的解析式为不含一次项的形式$y=ax^2+c(a≠0)$；接下来结合题目给出的矩形边长和点M的坐标，找到抛物线上两个已知点的坐标：点D坐标为$(3,2)$，点M坐标为$(1,3)$；最后将两个点的坐标代入解析式，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组即可求出a和c的值，得到抛物线解析式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
由题意可知，$BC=6\ \mathrm{m}$，$CD=AB=2\ \mathrm{m}$，y轴是BC的垂直平分线，因此点D的坐标为$(3,2)$，
又已知点M的坐标为$(1,3)$，且两点都在抛物线上，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}a×1^2 + c = 3 \\a×3^2 + c = 2\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + c = 3 ①\\9a + c = 2 ②\end{cases}$
用②-①得：$8a=-1$，解得$a=-\dfrac{1}{8}$，
将$a=-\dfrac{1}{8}$代入①得：$-\dfrac{1}{8}+c=3$，解得$c=\dfrac{25}{8}$，
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{25}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图像性质
【点评】
本题属于抛物线实际应用的基础题，解题核心是结合坐标系特征合理设出二次函数解析式，准确提取图中的坐标信息代入计算，掌握待定系数法是解答此类题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察抛物线的对称轴为y轴，因此可设抛物线的解析式为不含一次项的形式$y=ax^2+c(a≠0)$；接下来结合题目给出的矩形边长和点M的坐标，找到抛物线上两个已知点的坐标：点D坐标为$(3,2)$，点M坐标为$(1,3)$；最后将两个点的坐标代入解析式，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组即可求出a和c的值，得到抛物线解析式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
由题意可知，$BC=6\ \mathrm{m}$，$CD=AB=2\ \mathrm{m}$，y轴是BC的垂直平分线，因此点D的坐标为$(3,2)$，
又已知点M的坐标为$(1,3)$，且两点都在抛物线上，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}a×1^2 + c = 3 \\a×3^2 + c = 2\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + c = 3 ①\\9a + c = 2 ②\end{cases}$
用②-①得：$8a=-1$，解得$a=-\dfrac{1}{8}$，
将$a=-\dfrac{1}{8}$代入①得：$-\dfrac{1}{8}+c=3$，解得$c=\dfrac{25}{8}$，
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{25}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图像性质
【点评】
本题属于抛物线实际应用的基础题，解题核心是结合坐标系特征合理设出二次函数解析式，准确提取图中的坐标信息代入计算，掌握待定系数法是解答此类题的关键。
【难度系数】
0.7
例 如图，排球运动员站在点 M 处练习发球，将球从点 M 正上方 2 m 的点 A 处发出. 把球看成点，其运行的高度 y（单位：m）与运行的水平距离 x（单位：m）之间满足二次函数关系. 已知球到达高度为 2.6 m 的最高点 D 时，与点 M 的水平距离 EM 为 6 m.
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时抛物线的函数解析式；
(2)球网 BC 与点 M 的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m. 球场的边界距点 M 的水平距离为 18 m. 该球员判断此次发出的球能顺利过网且不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由.
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时抛物线的函数解析式；
(2)球网 BC 与点 M 的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m. 球场的边界距点 M 的水平距离为 18 m. 该球员判断此次发出的球能顺利过网且不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由.
答案
(1)如图，以点 M 为坐标原点，建立平面直角坐标系
，则点 A，E，D 的坐标分别为(0，2)，(6，0)，(6，2.6).设球运行的高度 y 关于运行的水平距离 x 的函数解析式为 $y=a(x-h)^{2}+k.$
由题意知，抛物线的顶点坐标为(6，2.6)，故$y=a(x-6)^{2}+2.6.$ 将 A(0，2)代入，得 $2= 36a+2.6$，解得 $a=-\dfrac {1}{60}.$
$\therefore$ 此时抛物线的函数解析式为 $y=-\dfrac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6.$
(2)该球员的判断不对. 理由如下：
当 $x=9$ 时，$y=-\dfrac {1}{60}× (9-6)^{2}+2.6=2.45＞2.43$，$\therefore$ 球能过网.
当 $y=0$ 时，$-\dfrac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6=0,$
解得 $x_1=6+2\sqrt {39}＞18,\ x_2=6-2\sqrt {39}$(舍去).
$\therefore$ 球会出界.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式首先要建立合适的平面直角坐标系，本题选点M为原点、水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建系最简便。已知抛物线最高点D为顶点，坐标为(6,2.6)，因此优先用二次函数顶点式设解析式，再代入点A(0,2)即可求出未知系数，得到解析式。
(2) 判断球能否过网，只需将球网对应的水平距离x=9代入解析式，求出对应高度y，和球网高度2.43m比较即可；判断球是否出界，需先求球落地即y=0时对应的水平距离x的正解，和球场边界水平距离18m比较，若大于18则会出界，最终即可判断球员的说法是否正确。
【解析】
(1) 以点M为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，由题意得点A坐标为(0,2)，抛物线顶点D的坐标为(6,2.6)。
设抛物线的函数解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，将顶点坐标(6,2.6)代入得$y=a(x-6)^2+2.6$。
把A(0,2)代入上式得：$2=36a+2.6$，解得$a=-\dfrac{1}{60}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{60}(x-6)^2+2.6$。
(2) 该球员的判断不对，理由如下：
当$x=9$时，代入解析式得$y=-\dfrac{1}{60}× (9-6)^2+2.6=2.45$，因为$2.45＞2.43$，所以球能过网。
当$y=0$时，代入解析式得$-\dfrac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6=0$，解得$x_1=6+2\sqrt {39}＞18$，$x_2=6-2\sqrt {39}$（不符合实际意义，舍去），因此球会出界。
综上，球能过网但会出界，球员的判断错误。
【答案】
(1) 以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系，此时抛物线的函数解析式为 $\boldsymbol{y=-\dfrac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6}$；
(2) 该球员的判断不对，球能过网但会出界。
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数实际应用
3. 解一元二次方程
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，利用顶点式快速求得函数解析式，再通过代入求值、解方程解决实际判断问题，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式首先要建立合适的平面直角坐标系，本题选点M为原点、水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建系最简便。已知抛物线最高点D为顶点，坐标为(6,2.6)，因此优先用二次函数顶点式设解析式，再代入点A(0,2)即可求出未知系数，得到解析式。
(2) 判断球能否过网，只需将球网对应的水平距离x=9代入解析式，求出对应高度y，和球网高度2.43m比较即可；判断球是否出界，需先求球落地即y=0时对应的水平距离x的正解，和球场边界水平距离18m比较，若大于18则会出界，最终即可判断球员的说法是否正确。
【解析】
(1) 以点M为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系
，由题意得点A坐标为(0,2)，抛物线顶点D的坐标为(6,2.6)。设抛物线的函数解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，将顶点坐标(6,2.6)代入得$y=a(x-6)^2+2.6$。
把A(0,2)代入上式得：$2=36a+2.6$，解得$a=-\dfrac{1}{60}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{60}(x-6)^2+2.6$。
(2) 该球员的判断不对，理由如下：
当$x=9$时，代入解析式得$y=-\dfrac{1}{60}× (9-6)^2+2.6=2.45$，因为$2.45＞2.43$，所以球能过网。
当$y=0$时，代入解析式得$-\dfrac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6=0$，解得$x_1=6+2\sqrt {39}＞18$，$x_2=6-2\sqrt {39}$（不符合实际意义，舍去），因此球会出界。
综上，球能过网但会出界，球员的判断错误。
【答案】
(1) 以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系
，此时抛物线的函数解析式为 $\boldsymbol{y=-\dfrac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6}$；(2) 该球员的判断不对，球能过网但会出界。
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数实际应用
3. 解一元二次方程
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，利用顶点式快速求得函数解析式，再通过代入求值、解方程解决实际判断问题，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
如图是一个喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口点B处距地面3 m，喷出的水流的运动路线是抛物线.如果水流的最高点C到喷水枪AB所在直线的距离是1 m，水流的落地点D到喷水枪底部A的距离是3 m，那么水流最高点C与地面的距离是
4
m.答案
4
解析
【分析】
要解决这个抛物线实际问题，首先通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题。我们可以以A为原点，AD为x轴，AB为y轴建立坐标系，先确定已知点的坐标：B点坐标为(0,3)，D点坐标为(3,0)，水流最高点C是抛物线的顶点，且到y轴（AB所在直线）的距离为1，因此顶点横坐标为1，可设抛物线的顶点式解析式，再将B、D两点坐标代入解析式，解方程即可求出顶点的纵坐标，也就是C到地面的距离。
【解析】
以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：A(0,0)，B(0,3)，D(3,0)，
∵ 最高点C到AB所在直线的距离为1m，
∴ 抛物线的顶点C的横坐标为1，设抛物线的解析式为$ y=a(x-1)^2 + k $（k为最高点C与地面的距离，即所求值）。
将B(0,3)、D(3,0)分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a(0-1)^2 + k = 3 \\a(3-1)^2 + k = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + k = 3 \quad \mathrm{①} \\4a + k = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②-①消去k，得：$3a = -3$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①，得：$-1 + k = 3$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是抛物线在实际生活中的应用类题目，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际的长度条件转化为点的坐标，再根据抛物线顶点的特点选择顶点式求解，计算量小，思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个抛物线实际问题，首先通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题。我们可以以A为原点，AD为x轴，AB为y轴建立坐标系，先确定已知点的坐标：B点坐标为(0,3)，D点坐标为(3,0)，水流最高点C是抛物线的顶点，且到y轴（AB所在直线）的距离为1，因此顶点横坐标为1，可设抛物线的顶点式解析式，再将B、D两点坐标代入解析式，解方程即可求出顶点的纵坐标，也就是C到地面的距离。
【解析】
以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：A(0,0)，B(0,3)，D(3,0)，
∵ 最高点C到AB所在直线的距离为1m，
∴ 抛物线的顶点C的横坐标为1，设抛物线的解析式为$ y=a(x-1)^2 + k $（k为最高点C与地面的距离，即所求值）。
将B(0,3)、D(3,0)分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a(0-1)^2 + k = 3 \\a(3-1)^2 + k = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + k = 3 \quad \mathrm{①} \\4a + k = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②-①消去k，得：$3a = -3$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①，得：$-1 + k = 3$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是抛物线在实际生活中的应用类题目，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际的长度条件转化为点的坐标，再根据抛物线顶点的特点选择顶点式求解，计算量小，思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系.
答案
(2)函数解析式 (3)横(纵)坐标
(1)纵坐标 (2)横坐标
(1)纵坐标 (2)横坐标
解析
【分析】
我们先梳理抛物线形两类问题的解题逻辑：①针对抛物线形实物问题，解题核心是将实物转化为坐标系中的抛物线，建立合适坐标系后，首先要确定抛物线对应的函数表达式，才能通过坐标计算对应实际量；计算实际量时，通常是已知某点的其中一个坐标（横坐标或纵坐标），代入解析式求解另一个坐标，再对应回实际意义。②针对抛物线形运动轨迹问题，要明确坐标的实际意义：竖直方向的高度对应点的纵坐标，水平方向的距离对应点的横坐标，因此最大高度对应顶点的纵坐标，水平最远距离对应抛物线与x轴交点的横坐标。
【解析】
1. 抛物线形实物问题第（2）步：待定系数法的作用是求解二次函数的函数解析式，故此处填函数解析式；
2. 抛物线形实物问题第（3）步：要计算某点的纵（横）坐标，需要先已知该点的横（纵）坐标，代入解析式即可求解对应未知坐标，故此处填横（纵）坐标；
3. 抛物线形运动轨迹问题第（1）点：最大高度是竖直方向的数值，对应平面直角坐标系中顶点的纵坐标，故此处填纵坐标；
4. 抛物线形运动轨迹问题第（2）点：最远距离是水平方向的数值，对应抛物线与x轴交点的横坐标，故此处填横坐标。
【答案】
(2)函数解析式 (3)横(纵)坐标；(1)纵坐标 (2)横坐标
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的性质
【点评】
本题考查抛物线实际应用的基础解题框架，是求解各类抛物线实际问题的基础，需要掌握实际量与平面直角坐标系中点的坐标的对应关系，熟悉这类问题的解题流程。
【难度系数】
0.9
我们先梳理抛物线形两类问题的解题逻辑：①针对抛物线形实物问题，解题核心是将实物转化为坐标系中的抛物线，建立合适坐标系后，首先要确定抛物线对应的函数表达式，才能通过坐标计算对应实际量；计算实际量时，通常是已知某点的其中一个坐标（横坐标或纵坐标），代入解析式求解另一个坐标，再对应回实际意义。②针对抛物线形运动轨迹问题，要明确坐标的实际意义：竖直方向的高度对应点的纵坐标，水平方向的距离对应点的横坐标，因此最大高度对应顶点的纵坐标，水平最远距离对应抛物线与x轴交点的横坐标。
【解析】
1. 抛物线形实物问题第（2）步：待定系数法的作用是求解二次函数的函数解析式，故此处填函数解析式；
2. 抛物线形实物问题第（3）步：要计算某点的纵（横）坐标，需要先已知该点的横（纵）坐标，代入解析式即可求解对应未知坐标，故此处填横（纵）坐标；
3. 抛物线形运动轨迹问题第（1）点：最大高度是竖直方向的数值，对应平面直角坐标系中顶点的纵坐标，故此处填纵坐标；
4. 抛物线形运动轨迹问题第（2）点：最远距离是水平方向的数值，对应抛物线与x轴交点的横坐标，故此处填横坐标。
【答案】
(2)函数解析式 (3)横(纵)坐标；(1)纵坐标 (2)横坐标
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的性质
【点评】
本题考查抛物线实际应用的基础解题框架，是求解各类抛物线实际问题的基础，需要掌握实际量与平面直角坐标系中点的坐标的对应关系，熟悉这类问题的解题流程。
【难度系数】
0.9
