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1. 下列函数不是二次函数的为 （
A.$y=\sqrt{x^2 -5}$
B.$y=\frac{x^2}{2}$
C.$y=3(x-1)^2 -1$
D.$y=(x+1)(x-3)$
A
）A.$y=\sqrt{x^2 -5}$
B.$y=\frac{x^2}{2}$
C.$y=3(x-1)^2 -1$
D.$y=(x+1)(x-3)$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一个函数是不是二次函数，首先牢记二次函数的判定要点：①函数表达式的等号右侧必须是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时按照这三个要点逐一分析每个选项，排除符合二次函数定义的选项，剩下的就是答案。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
我们逐一分析选项：
选项A：$y=\sqrt{x^2 -5}$，等号右侧是二次根式，不属于整式，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
选项B：$y=\frac{x^2}{2}$，可变形为$y=\frac{1}{2}x^2+0x+0$，满足$a=\frac{1}{2}≠0$，等号右侧是整式，最高次为2，是二次函数；
选项C：$y=3(x-1)^2 -1$，展开整理得$y=3x^2-6x+2$，满足$a=3≠0$，是二次函数；
选项D：$y=(x+1)(x-3)$，展开整理得$y=x^2-2x-3$，满足$a=1≠0$，是二次函数。
综上，不是二次函数的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；整式的识别
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的判定，解题的关键是掌握二次函数的定义要点，尤其要注意二次函数表达式的右侧必须是整式，避免误判。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是不是二次函数，首先牢记二次函数的判定要点：①函数表达式的等号右侧必须是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时按照这三个要点逐一分析每个选项，排除符合二次函数定义的选项，剩下的就是答案。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
我们逐一分析选项：
选项A：$y=\sqrt{x^2 -5}$，等号右侧是二次根式，不属于整式，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
选项B：$y=\frac{x^2}{2}$，可变形为$y=\frac{1}{2}x^2+0x+0$，满足$a=\frac{1}{2}≠0$，等号右侧是整式，最高次为2，是二次函数；
选项C：$y=3(x-1)^2 -1$，展开整理得$y=3x^2-6x+2$，满足$a=3≠0$，是二次函数；
选项D：$y=(x+1)(x-3)$，展开整理得$y=x^2-2x-3$，满足$a=1≠0$，是二次函数。
综上，不是二次函数的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；整式的识别
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的判定，解题的关键是掌握二次函数的定义要点，尤其要注意二次函数表达式的右侧必须是整式，避免误判。
【难度系数】
0.9
2. 对于抛物线$y=2(x-1)^2+3$，下列说法正确的是（
A.开口向下
B.顶点坐标为$(1, 3)$
C.对称轴为直线$x=-1$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大
B
）A.开口向下
B.顶点坐标为$(1, 3)$
C.对称轴为直线$x=-1$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，$(h,k)$是顶点坐标，对称轴为直线$x=h$，再结合开口方向可判断函数的增减性。解题时先从题干解析式中提取$a、h、k$的值，再逐一验证四个选项即可选出正确答案。
【解析】
已知抛物线解析式为顶点式$y=2(x-1)^2+3$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得参数：$a=2$，$h=1$，$k=3$。
选项A：因为$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，A错误；
选项B：顶点式中顶点坐标为$(h,k)$，代入得顶点坐标为$(1,3)$，B正确；
选项C：抛物线对称轴为直线$x=h$，即直线$x=1$，C错误；
选项D：抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞1$时）$y$随$x$的增大而增大，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞-3$包含了$-3＜x＜1$的递减区间，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像与性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查对顶点式各参数对应图像特征的掌握，熟记相关性质即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，$(h,k)$是顶点坐标，对称轴为直线$x=h$，再结合开口方向可判断函数的增减性。解题时先从题干解析式中提取$a、h、k$的值，再逐一验证四个选项即可选出正确答案。
【解析】
已知抛物线解析式为顶点式$y=2(x-1)^2+3$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得参数：$a=2$，$h=1$，$k=3$。
选项A：因为$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，A错误；
选项B：顶点式中顶点坐标为$(h,k)$，代入得顶点坐标为$(1,3)$，B正确；
选项C：抛物线对称轴为直线$x=h$，即直线$x=1$，C错误；
选项D：抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞1$时）$y$随$x$的增大而增大，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞-3$包含了$-3＜x＜1$的递减区间，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像与性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查对顶点式各参数对应图像特征的掌握，熟记相关性质即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.8
3. 若二次函数$y=-(x-3)^2+2$的图象过$A(-1,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(5,y_3)$三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是________.(用“＜”连接)
答案
3. $y_1＜y_3＜y_2$
解析
【分析】
拿到这道题有两种解题思路可选：一是直接将三个点的横坐标代入解析式，算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值后比较大小；二是利用二次函数的性质快速判断：先从顶点式中确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上，点的横坐标距离对称轴越近，对应的函数值越大，只需计算三个点到对称轴的距离就能直接比较$y$值大小，第二种方法计算量更小，更推荐使用。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
已知二次函数$y=-(x-3)^2+2$，
∵$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，
开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大。
分别计算三点到对称轴的距离：
点$A(-1,y_1)$到$x=3$的距离：$|-1-3|=4$；
点$B(2,y_2)$到$x=3$的距离：$|2-3|=1$；
点$C(5,y_3)$到$x=3$的距离：$|5-3|=2$。
∵$1＜2＜4$，
∴$y_2＞y_3＞y_1$，即$y_1＜y_3＜y_2$。
方法二：代入求值法
将三个点的横坐标分别代入解析式计算：
当$x=-1$时，$y_1=-(-1-3)^2+2=-16+2=-14$；
当$x=2$时，$y_2=-(2-3)^2+2=-1+2=1$；
当$x=5$时，$y_3=-(5-3)^2+2=-4+2=-2$。
∵$-14＜-2＜1$，
∴$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的增减性；实数大小比较
【点评】
本题是二次函数值比较的基础题型，两种解题方法都要熟练掌握，利用函数性质解题能有效减少计算量、提升解题效率，要学会从顶点式中快速提取开口方向、对称轴等关键信息，理解增减性和点到对称轴距离的对应关系。
【难度系数】
0.8
拿到这道题有两种解题思路可选：一是直接将三个点的横坐标代入解析式，算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值后比较大小；二是利用二次函数的性质快速判断：先从顶点式中确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上，点的横坐标距离对称轴越近，对应的函数值越大，只需计算三个点到对称轴的距离就能直接比较$y$值大小，第二种方法计算量更小，更推荐使用。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
已知二次函数$y=-(x-3)^2+2$，
∵$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，
开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大。
分别计算三点到对称轴的距离：
点$A(-1,y_1)$到$x=3$的距离：$|-1-3|=4$；
点$B(2,y_2)$到$x=3$的距离：$|2-3|=1$；
点$C(5,y_3)$到$x=3$的距离：$|5-3|=2$。
∵$1＜2＜4$，
∴$y_2＞y_3＞y_1$，即$y_1＜y_3＜y_2$。
方法二：代入求值法
将三个点的横坐标分别代入解析式计算：
当$x=-1$时，$y_1=-(-1-3)^2+2=-16+2=-14$；
当$x=2$时，$y_2=-(2-3)^2+2=-1+2=1$；
当$x=5$时，$y_3=-(5-3)^2+2=-4+2=-2$。
∵$-14＜-2＜1$，
∴$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的增减性；实数大小比较
【点评】
本题是二次函数值比较的基础题型，两种解题方法都要熟练掌握，利用函数性质解题能有效减少计算量、提升解题效率，要学会从顶点式中快速提取开口方向、对称轴等关键信息，理解增减性和点到对称轴距离的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 设二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，且$a≠0$），如表，列出了$x$与$y$的部分对应值：
则方程$ax^2+bx+c=m$的解是
则方程$ax^2+bx+c=m$的解是
$x_1=0，x_2=2$
。答案
4. $x_1=0，x_2=2$
解析
【分析】
首先观察表格数据，发现x=-2和x=4对应的y值相等，根据二次函数的图像性质，纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，可先求出二次函数的对称轴；其次，方程$ax^2+bx+c=m$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为m时对应的自变量x的取值，已知x=2时y=m，再利用对称轴找到与x=2对称的点的横坐标，即可得到方程的两个解。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：
因为当$x=-2$和$x=4$时，y的值都是$-1.5$，所以这两个点关于二次函数的对称轴对称，对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
2. 利用对称性求方程的解：
方程$ax^2+bx+c=m$的解是函数$y=ax^2+bx+c$中y=m时对应的x值，已知$x=2$时$y=m$，设另一个解为$x=x_0$，根据对称性，两个解关于对称轴$x=1$对称，因此$\frac{x_0+2}{2}=1$，解得$x_0=0$。
所以方程$ax^2+bx+c=m$的解为$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0，x_2=2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题不需要求解二次函数解析式，利用二次函数的对称性即可快速解题，能有效考查对二次函数性质的理解和灵活运用能力，解题关键是先根据相等的函数值确定对称轴。
【难度系数】
0.7
首先观察表格数据，发现x=-2和x=4对应的y值相等，根据二次函数的图像性质，纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，可先求出二次函数的对称轴；其次，方程$ax^2+bx+c=m$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为m时对应的自变量x的取值，已知x=2时y=m，再利用对称轴找到与x=2对称的点的横坐标，即可得到方程的两个解。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：
因为当$x=-2$和$x=4$时，y的值都是$-1.5$，所以这两个点关于二次函数的对称轴对称，对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$。
2. 利用对称性求方程的解：
方程$ax^2+bx+c=m$的解是函数$y=ax^2+bx+c$中y=m时对应的x值，已知$x=2$时$y=m$，设另一个解为$x=x_0$，根据对称性，两个解关于对称轴$x=1$对称，因此$\frac{x_0+2}{2}=1$，解得$x_0=0$。
所以方程$ax^2+bx+c=m$的解为$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0，x_2=2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题不需要求解二次函数解析式，利用二次函数的对称性即可快速解题，能有效考查对二次函数性质的理解和灵活运用能力，解题关键是先根据相等的函数值确定对称轴。
【难度系数】
0.7
5. 已知抛物线 $y=x^2 -ax +2(a-3)$。
(1)求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
(2)如果有一交点坐标为$(3, 0)$，求a的值。
(1)求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
(2)如果有一交点坐标为$(3, 0)$，求a的值。
答案
5. (1)证明：$\Delta=a^2-8(a-3)=a^2-8a+24=a^2-8a+16+8=(a-4)^2+8＞0$，
∴不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点。
(2)解：把(3，0)代入抛物线解析式，得$9-3a+2(a-3)=0$，解得$a=3$。
∴不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点。
(2)解：把(3，0)代入抛物线解析式，得$9-3a+2(a-3)=0$，解得$a=3$。
解析
【分析】
（1）要证明抛物线与x轴总有两个交点，可利用二次函数与x轴交点的判定规则：只需证明对应的一元二次方程的根的判别式$\Delta$恒大于0即可。先写出判别式的表达式，再通过配方变形判断其取值范围。
（2）已知抛物线上一点的坐标，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点$(3,0)$代入抛物线解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 证明：令抛物线$y=x^2 -ax +2(a-3)$中$y=0$，可得一元二次方程$x^2 -ax +2(a-3)=0$。
计算根的判别式：$\Delta = (-a)^2 - 4×1×2(a-3) = a^2 -8a +24$，
配方可得：$\Delta = a^2 -8a +16 +8 = (a-4)^2 +8$，
∵无论a取何实数，$(a-4)^2≥0$，
∴$(a-4)^2 +8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点。
(2) 解：将交点$(3,0)$代入抛物线解析式$y=x^2 -ax +2(a-3)$，得：
$9 - 3a + 2(a-3) = 0$，
化简得：$9 -3a +2a -6 = 0$，即$3 -a = 0$，
解得：$a=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $a=3$
【知识点】
根的判别式，二次函数点坐标性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数基础题，主要考查二次函数与x轴交点的判定方法，以及代入法求参数的思路，掌握核心基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明抛物线与x轴总有两个交点，可利用二次函数与x轴交点的判定规则：只需证明对应的一元二次方程的根的判别式$\Delta$恒大于0即可。先写出判别式的表达式，再通过配方变形判断其取值范围。
（2）已知抛物线上一点的坐标，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点$(3,0)$代入抛物线解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 证明：令抛物线$y=x^2 -ax +2(a-3)$中$y=0$，可得一元二次方程$x^2 -ax +2(a-3)=0$。
计算根的判别式：$\Delta = (-a)^2 - 4×1×2(a-3) = a^2 -8a +24$，
配方可得：$\Delta = a^2 -8a +16 +8 = (a-4)^2 +8$，
∵无论a取何实数，$(a-4)^2≥0$，
∴$(a-4)^2 +8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点。
(2) 解：将交点$(3,0)$代入抛物线解析式$y=x^2 -ax +2(a-3)$，得：
$9 - 3a + 2(a-3) = 0$，
化简得：$9 -3a +2a -6 = 0$，即$3 -a = 0$，
解得：$a=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $a=3$
【知识点】
根的判别式，二次函数点坐标性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数基础题，主要考查二次函数与x轴交点的判定方法，以及代入法求参数的思路，掌握核心基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. 某产品进货单价为90元，按每件100元出售时，能售出500件，若这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，则为了获得最大利润，其单价应定为
120
元。答案
6. 120
解析
【分析】
这是销售利润最大化问题，解题核心逻辑是“总利润=单件利润×销售量”。首先我们可以设定价为自变量，总利润为因变量；再分别用定价表示出单件利润、对应销售量，代入等量关系即可得到总利润关于定价的二次函数表达式；最后根据二次函数的最值性质，开口向下的二次函数顶点处取得最大值，代入顶点坐标公式即可求出获得最大利润时的定价。
【解析】
解：设商品的单价应定为$ x $元，获得的总利润为$ y $元。
1. 求单件利润：每件进货价90元，因此单件利润为$ (x - 90) $元。
2. 求对应销售量：定价100元时销量500件，每涨价1元销量减少10件，因此相比100元涨价了$ (x - 100) $元，销量减少$ 10(x - 100) $件，可得销售量为：
$ 500 - 10(x - 100) = 1500 - 10x $（件，需保证销售量非负）
3. 列总利润函数：
$ y = (x - 90)(1500 - 10x) $
展开整理为二次函数一般式：
$ y = -10x^2 + 2400x - 135000 $
4. 求最值：
该二次函数二次项系数$ a = -10 ＜ 0 $，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，代入$ a=-10 $，$ b=2400 $得：
$ x = -\frac{2400}{2×(-10)} = 120 $
即定价为120元时，总利润最大。
【答案】
120
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值问题的常考题型，解题的关键是找准各个量之间的数量关系，正确列出利润关于定价的二次函数，再结合二次函数的性质求解最值即可，掌握此类题型的通用解法可以快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
这是销售利润最大化问题，解题核心逻辑是“总利润=单件利润×销售量”。首先我们可以设定价为自变量，总利润为因变量；再分别用定价表示出单件利润、对应销售量，代入等量关系即可得到总利润关于定价的二次函数表达式；最后根据二次函数的最值性质，开口向下的二次函数顶点处取得最大值，代入顶点坐标公式即可求出获得最大利润时的定价。
【解析】
解：设商品的单价应定为$ x $元，获得的总利润为$ y $元。
1. 求单件利润：每件进货价90元，因此单件利润为$ (x - 90) $元。
2. 求对应销售量：定价100元时销量500件，每涨价1元销量减少10件，因此相比100元涨价了$ (x - 100) $元，销量减少$ 10(x - 100) $件，可得销售量为：
$ 500 - 10(x - 100) = 1500 - 10x $（件，需保证销售量非负）
3. 列总利润函数：
$ y = (x - 90)(1500 - 10x) $
展开整理为二次函数一般式：
$ y = -10x^2 + 2400x - 135000 $
4. 求最值：
该二次函数二次项系数$ a = -10 ＜ 0 $，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，代入$ a=-10 $，$ b=2400 $得：
$ x = -\frac{2400}{2×(-10)} = 120 $
即定价为120元时，总利润最大。
【答案】
120
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值问题的常考题型，解题的关键是找准各个量之间的数量关系，正确列出利润关于定价的二次函数，再结合二次函数的性质求解最值即可，掌握此类题型的通用解法可以快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
7. 某建筑物窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m. 当x等于多少时，窗户透过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01)
答案
7. 当半圆的半径约为1.11 m时，窗户透过的光线最多，此时窗户的面积约为$5.53\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要让窗户透过的光线最多，本质是求窗户的最大面积。解题思路如下：第一步，先梳理窗框所有黑线的长度组成，根据总长为15m建立等量关系，将矩形的竖直边长y用含x的代数式表示；第二步，结合半圆和矩形的面积公式，写出窗户总面积关于x的函数表达式，该表达式为开口向下的二次函数；第三步，在x的合理取值范围内，利用二次函数顶点公式求最大值对应的x值和最大面积即可。
【解析】
设窗户的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
首先统计窗框总长度：半圆弧长为$π x$，半圆内2条半径总长为$2x$，半圆直径长$2x$，矩形部分3条竖直边总长为$3y$，矩形底边长$2x$，由总长为15m可得：
$π x + 2x + 2x + 3y + 2x =15$
整理得$π x +6x +3y=15$，解得$y=5-\frac{(π+6)x}{3}$，其中$x＞0$且$y＞0$，即$0＜x＜\frac{15}{π+6}\approx1.64$。
窗户面积为半圆面积加矩形面积：
$S=\frac{1}{2}π x^2 + 2x· y$
将$y=5-\frac{(π+6)x}{3}$代入上式，化简得：
$S=-\frac{π+24}{6}x^2 +10x$
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，对应x值为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-\frac{π+24}{6})}=\frac{30}{π+24}\approx\frac{30}{3.14+24}\approx1.11\ \mathrm{m}$
$1.11\ \mathrm{m}$在x的取值范围内，符合实际意义，此时最大面积为：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-10^2}{4×(-\frac{π+24}{6})}=\frac{150}{π+24}\approx5.53\ \mathrm{m}^2$
【答案】
当x约为1.11 m时，窗户透过的光线最多，此时窗户的面积约为$5.53\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数最值，列代数式，图形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查函数建模能力，解题核心是梳理清楚图形的边长关系，将实际问题转化为二次函数求最值问题，求解时需注意自变量要符合实际意义。
【难度系数】
0.6
要让窗户透过的光线最多，本质是求窗户的最大面积。解题思路如下：第一步，先梳理窗框所有黑线的长度组成，根据总长为15m建立等量关系，将矩形的竖直边长y用含x的代数式表示；第二步，结合半圆和矩形的面积公式，写出窗户总面积关于x的函数表达式，该表达式为开口向下的二次函数；第三步，在x的合理取值范围内，利用二次函数顶点公式求最大值对应的x值和最大面积即可。
【解析】
设窗户的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
首先统计窗框总长度：半圆弧长为$π x$，半圆内2条半径总长为$2x$，半圆直径长$2x$，矩形部分3条竖直边总长为$3y$，矩形底边长$2x$，由总长为15m可得：
$π x + 2x + 2x + 3y + 2x =15$
整理得$π x +6x +3y=15$，解得$y=5-\frac{(π+6)x}{3}$，其中$x＞0$且$y＞0$，即$0＜x＜\frac{15}{π+6}\approx1.64$。
窗户面积为半圆面积加矩形面积：
$S=\frac{1}{2}π x^2 + 2x· y$
将$y=5-\frac{(π+6)x}{3}$代入上式，化简得：
$S=-\frac{π+24}{6}x^2 +10x$
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，对应x值为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-\frac{π+24}{6})}=\frac{30}{π+24}\approx\frac{30}{3.14+24}\approx1.11\ \mathrm{m}$
$1.11\ \mathrm{m}$在x的取值范围内，符合实际意义，此时最大面积为：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-10^2}{4×(-\frac{π+24}{6})}=\frac{150}{π+24}\approx5.53\ \mathrm{m}^2$
【答案】
当x约为1.11 m时，窗户透过的光线最多，此时窗户的面积约为$5.53\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数最值，列代数式，图形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查函数建模能力，解题核心是梳理清楚图形的边长关系，将实际问题转化为二次函数求最值问题，求解时需注意自变量要符合实际意义。
【难度系数】
0.6
