登录
1.一把雨伞未完全撑开时的示意图如图所示，母线长为1 m，底面圆的半径为0.5 m，制作这把雨伞至少需要用布料（
A.$4π \ \mathrm{m}^2$
B.$0.5π \ \mathrm{m}^2$
C.$π \ \mathrm{m}^2$
D.$2π \ \mathrm{m}^2$
B
）A.$4π \ \mathrm{m}^2$
B.$0.5π \ \mathrm{m}^2$
C.$π \ \mathrm{m}^2$
D.$2π \ \mathrm{m}^2$
答案
B
解析
【分析】
本题是圆锥侧面积的实际应用问题，首先要明确雨伞的布料仅对应圆锥的侧面，不需要计算底面面积。解题思路：第一步回忆圆锥侧面积的计算公式，第二步从题干中提取对应的底面半径r和母线长l的数值，第三步代入公式计算即可得到结果。
【解析】
制作雨伞需要的布料为圆锥的侧面积，无需计算底面积。
圆锥侧面积公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$为底面圆半径，$l$为圆锥母线长。
由题可知，$r=0.5\ \mathrm{m}$，$l=1\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 0.5 × 1=0.5π\ \mathrm{m}^2$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算、实际问题的表面积求解
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合生活实际判断所求面积为圆锥的侧面积，避免错误计算底面积，熟记圆锥侧面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是圆锥侧面积的实际应用问题，首先要明确雨伞的布料仅对应圆锥的侧面，不需要计算底面面积。解题思路：第一步回忆圆锥侧面积的计算公式，第二步从题干中提取对应的底面半径r和母线长l的数值，第三步代入公式计算即可得到结果。
【解析】
制作雨伞需要的布料为圆锥的侧面积，无需计算底面积。
圆锥侧面积公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$为底面圆半径，$l$为圆锥母线长。
由题可知，$r=0.5\ \mathrm{m}$，$l=1\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 0.5 × 1=0.5π\ \mathrm{m}^2$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算、实际问题的表面积求解
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合生活实际判断所求面积为圆锥的侧面积，避免错误计算底面积，熟记圆锥侧面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$。把它绕AC所在直线旋转一周，所得立体图形的全面积为（
A.$16π$
B.$20π$
C.$36π$
D.$40π$
C
）A.$16π$
B.$20π$
C.$36π$
D.$40π$
答案
C
解析
【分析】
首先先判断旋转后得到的立体图形：直角三角形绕直角边旋转一周会得到圆锥。接下来明确圆锥的对应参数：绕AC旋转时，垂直于AC的BC是圆锥的底面半径，原三角形的斜边AB是圆锥的母线，AC是圆锥的高。圆锥全面积=侧面积+底面积，先通过勾股定理算出母线长，再代入对应公式计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$
由勾股定理可得斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
将$△ ABC$绕AC所在直线旋转一周，得到的立体图形是圆锥，该圆锥的底面半径$r=BC=4$，母线长$l=AB=5$
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π×4×5=20π$
圆锥底面积：$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×4^2=16π$
因此立体图形的全面积：$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=20π+16π=36π$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题核心是准确对应旋转后圆锥的参数，易错点是容易把全面积误认为侧面积，漏加底面积导致选错答案，解题时要注意区分侧面积和全面积的概念。
【难度系数】
0.7
首先先判断旋转后得到的立体图形：直角三角形绕直角边旋转一周会得到圆锥。接下来明确圆锥的对应参数：绕AC旋转时，垂直于AC的BC是圆锥的底面半径，原三角形的斜边AB是圆锥的母线，AC是圆锥的高。圆锥全面积=侧面积+底面积，先通过勾股定理算出母线长，再代入对应公式计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$
由勾股定理可得斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
将$△ ABC$绕AC所在直线旋转一周，得到的立体图形是圆锥，该圆锥的底面半径$r=BC=4$，母线长$l=AB=5$
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π×4×5=20π$
圆锥底面积：$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×4^2=16π$
因此立体图形的全面积：$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=20π+16π=36π$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题核心是准确对应旋转后圆锥的参数，易错点是容易把全面积误认为侧面积，漏加底面积导致选错答案，解题时要注意区分侧面积和全面积的概念。
【难度系数】
0.7
3.若圆锥的底面圆的半径为4 cm，母线长为12 cm，则它的侧面展开图的圆心角是（
A.$240°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$90°$
B
）A.$240°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$90°$
答案
B
解析
【分析】
要解决圆锥侧面展开图的圆心角问题，首先明确核心等量关系：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先计算出底面圆的周长，再结合弧长公式列方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设该圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
底面圆半径$r=4\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长$C=2π×4=8π\mathrm{cm}$。
2. 利用等量关系列方程：
圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于底面圆周长，扇形半径等于母线长$l=12\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180}$，可得：
$8π=\frac{nπ×12}{180}$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$8=\frac{12n}{180}$，整理得$12n=8×180=1440$，解得$n=120$。
即侧面展开图的圆心角为$120°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础常考题，解题关键是找准圆锥和侧面展开扇形之间的对应等量关系，结合公式列式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决圆锥侧面展开图的圆心角问题，首先明确核心等量关系：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先计算出底面圆的周长，再结合弧长公式列方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设该圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
底面圆半径$r=4\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长$C=2π×4=8π\mathrm{cm}$。
2. 利用等量关系列方程：
圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于底面圆周长，扇形半径等于母线长$l=12\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180}$，可得：
$8π=\frac{nπ×12}{180}$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$8=\frac{12n}{180}$，整理得$12n=8×180=1440$，解得$n=120$。
即侧面展开图的圆心角为$120°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础常考题，解题关键是找准圆锥和侧面展开扇形之间的对应等量关系，结合公式列式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.已知圆锥的侧面积为$15π$，母线长为5，则圆锥的底面圆的半径是
3
。答案
3
解析
【分析】
解题首先需要回忆圆锥侧面积的计算公式，明确公式中各个量的含义：圆锥侧面积等于π乘以底面圆半径乘以母线长。已知题目给出了侧面积和母线长两个量，我们可以将已知量代入公式，建立关于底面半径r的一元一次方程，解方程即可求出底面半径的值。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l=5。
根据圆锥侧面积公式：$S_{侧}=πrl$
将$S_{侧}=15π$，$l=5$代入公式得：
$15π = π×r×5$
两边同时除以π得：$15 = 5r$
解得：$r=3$
【答案】
3
【知识点】
圆锥侧面积计算公式；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对圆锥侧面积公式的记忆与应用，计算时可先约掉等式两边的π，简化计算过程，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
解题首先需要回忆圆锥侧面积的计算公式，明确公式中各个量的含义：圆锥侧面积等于π乘以底面圆半径乘以母线长。已知题目给出了侧面积和母线长两个量，我们可以将已知量代入公式，建立关于底面半径r的一元一次方程，解方程即可求出底面半径的值。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l=5。
根据圆锥侧面积公式：$S_{侧}=πrl$
将$S_{侧}=15π$，$l=5$代入公式得：
$15π = π×r×5$
两边同时除以π得：$15 = 5r$
解得：$r=3$
【答案】
3
【知识点】
圆锥侧面积计算公式；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对圆锥侧面积公式的记忆与应用，计算时可先约掉等式两边的π，简化计算过程，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
5.圆锥形吊灯外罩如图所示，它的底面圆的周长为$24π$ cm，侧面积为$240π$ cm²，则该吊灯外罩的高是
16
cm.答案
16
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照三步思路推导：第一步，利用圆的周长公式求出圆锥底面半径；第二步，结合圆锥侧面积公式求出圆锥的母线长；第三步，圆锥的高、底面半径、母线长恰好构成直角三角形，其中母线为斜边，代入勾股定理即可算出圆锥的高。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，高为$h$。
1. 求底面半径$r$：
已知底面圆周长为$24π\ \mathrm{cm}$，由圆的周长公式$C=2π r$可得：
$2π r=24π$，解得$r=12\ \mathrm{cm}$。
2. 求母线长$l$：
已知圆锥侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^2$，圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，将$r=12$、$S_{\mathrm{侧}}=240π$代入得：
$π×12× l=240π$，两边同时除以$π$后解得$l=20\ \mathrm{cm}$。
3. 求圆锥的高$h$：
圆锥的高、底面半径、母线长满足勾股定理$h^2+r^2=l^2$，代入数值计算：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
16
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理、圆的周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是熟练掌握圆锥各参数之间的对应关系，只要牢记相关公式，逐步推导就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照三步思路推导：第一步，利用圆的周长公式求出圆锥底面半径；第二步，结合圆锥侧面积公式求出圆锥的母线长；第三步，圆锥的高、底面半径、母线长恰好构成直角三角形，其中母线为斜边，代入勾股定理即可算出圆锥的高。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，高为$h$。
1. 求底面半径$r$：
已知底面圆周长为$24π\ \mathrm{cm}$，由圆的周长公式$C=2π r$可得：
$2π r=24π$，解得$r=12\ \mathrm{cm}$。
2. 求母线长$l$：
已知圆锥侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^2$，圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，将$r=12$、$S_{\mathrm{侧}}=240π$代入得：
$π×12× l=240π$，两边同时除以$π$后解得$l=20\ \mathrm{cm}$。
3. 求圆锥的高$h$：
圆锥的高、底面半径、母线长满足勾股定理$h^2+r^2=l^2$，代入数值计算：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
16
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理、圆的周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是熟练掌握圆锥各参数之间的对应关系，只要牢记相关公式，逐步推导就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
6.如图所示，已知扇形OAB的半径为6 cm，圆心角为120°，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高以及圆锥的全面积.
答案
解:圆锥的高为 $4\sqrt{2}$ cm,圆锥的全面积为$16π \ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题时首先要明确扇形围成圆锥的对应等量关系：①扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②扇形的半径等于圆锥的母线长。解题按以下思路进行：第一步先利用弧长公式计算扇形OAB的弧长，第二步根据弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，第三步结合圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形，用勾股定理计算圆锥的高，第四步分别计算扇形侧面积和底面圆面积，求和得到全面积。
【解析】
1. 计算扇形的弧长：
根据弧长公式$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=120°$，扇形半径$R=6\ \mathrm{cm}$，代入得：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{120π×6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$
2. 求圆锥底面半径：
扇形弧长等于圆锥底面圆周长，设圆锥底面半径为$r$，则$2π r = l_{\mathrm{弧}}$，
即$2π r=4π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
3. 计算圆锥的高：
圆锥的母线长等于扇形半径为$6\ \mathrm{cm}$，母线、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
4. 计算圆锥的全面积：
圆锥全面积=侧面积（扇形面积）+底面积
扇形面积$S_{\mathrm{侧}}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{120π×6^2}{360}=12π\ \mathrm{cm}^2$
底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×2^2=4π\ \mathrm{cm}^2$
因此全面积$S_{\mathrm{全}}=12π + 4π=16π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
圆锥的高为 $4\sqrt{2}$ cm,圆锥的全面积为$16π \ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长、扇形面积公式
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础典型题，解题核心是抓住扇形与圆锥的对应等量关系，结合对应公式计算即可，属于该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确扇形围成圆锥的对应等量关系：①扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②扇形的半径等于圆锥的母线长。解题按以下思路进行：第一步先利用弧长公式计算扇形OAB的弧长，第二步根据弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，第三步结合圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形，用勾股定理计算圆锥的高，第四步分别计算扇形侧面积和底面圆面积，求和得到全面积。
【解析】
1. 计算扇形的弧长：
根据弧长公式$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=120°$，扇形半径$R=6\ \mathrm{cm}$，代入得：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{120π×6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$
2. 求圆锥底面半径：
扇形弧长等于圆锥底面圆周长，设圆锥底面半径为$r$，则$2π r = l_{\mathrm{弧}}$，
即$2π r=4π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
3. 计算圆锥的高：
圆锥的母线长等于扇形半径为$6\ \mathrm{cm}$，母线、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
4. 计算圆锥的全面积：
圆锥全面积=侧面积（扇形面积）+底面积
扇形面积$S_{\mathrm{侧}}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{120π×6^2}{360}=12π\ \mathrm{cm}^2$
底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×2^2=4π\ \mathrm{cm}^2$
因此全面积$S_{\mathrm{全}}=12π + 4π=16π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
圆锥的高为 $4\sqrt{2}$ cm,圆锥的全面积为$16π \ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长、扇形面积公式
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础典型题，解题核心是抓住扇形与圆锥的对应等量关系，结合对应公式计算即可，属于该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
