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1.如图，圆锥底面圆的半径OB的长为6，母线AB的长为12，则圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（
）
A.$90°$
B.$120°$
C.$150°$
D.$180°$
）A.$90°$
B.$120°$
C.$150°$
D.$180°$
答案
D
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的圆心角度数，首先需明确圆锥和其侧面展开图的对应关系：圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径。解题时先计算圆锥底面周长，再结合弧长公式建立关于圆心角的方程，求解即可得到圆心角度数。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：已知底面半径$OB=6$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长为$C=2π×6=12π$。
2. 建立等量关系：圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径等于母线长$AB=12$，且扇形弧长等于圆锥底面周长。根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$R$为扇形半径），可列方程：
$\frac{nπ×12}{180}=12π$
3. 解方程：两边同时约去$12π$，得$\frac{n}{180}=1$，解得$n=180$，即圆心角为$180°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长”这一关键等量关系，将立体图形问题转化为平面扇形的计算问题求解，熟练掌握该对应关系是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥侧面展开图的圆心角度数，首先需明确圆锥和其侧面展开图的对应关系：圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径。解题时先计算圆锥底面周长，再结合弧长公式建立关于圆心角的方程，求解即可得到圆心角度数。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：已知底面半径$OB=6$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长为$C=2π×6=12π$。
2. 建立等量关系：圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径等于母线长$AB=12$，且扇形弧长等于圆锥底面周长。根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$R$为扇形半径），可列方程：
$\frac{nπ×12}{180}=12π$
3. 解方程：两边同时约去$12π$，得$\frac{n}{180}=1$，解得$n=180$，即圆心角为$180°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长”这一关键等量关系，将立体图形问题转化为平面扇形的计算问题求解，熟练掌握该对应关系是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
2.已知一个圆锥的底面圆的半径为3 cm，将它的侧面展开，其侧面展开图的圆心角为$45°$，则这个圆锥的母线长为（
A.6 cm
B.12 cm
C.18 cm
D.24 cm
D
）A.6 cm
B.12 cm
C.18 cm
D.24 cm
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥各部分的对应关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以以此为等量关系，设母线长为未知数，结合弧长公式列方程求解即可。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l \, \mathrm{cm} $。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$ r=3\,\mathrm{cm} $，根据圆的周长公式$ C=2π r $，可得底面周长为：
$ C=2π×3=6π \, \mathrm{cm} $
2. 计算侧面展开扇形的弧长：
侧面展开图的圆心角为$ 45° $，扇形半径等于母线长$ l $，根据扇形弧长公式$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），可得弧长为：
$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{45π l}{180} $
3. 列方程求解：
根据“圆锥底面周长=侧面展开扇形弧长”列等式：
$ \frac{45π l}{180}=6π $
两边同时约去$ π $，化简得$ \frac{l}{4}=6 $，解得$ l=24 $。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式、圆周长公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的常考基础题型，解题关键是掌握圆锥与侧面展开扇形的对应等量关系，只要牢记公式、理清对应量即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥各部分的对应关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以以此为等量关系，设母线长为未知数，结合弧长公式列方程求解即可。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l \, \mathrm{cm} $。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$ r=3\,\mathrm{cm} $，根据圆的周长公式$ C=2π r $，可得底面周长为：
$ C=2π×3=6π \, \mathrm{cm} $
2. 计算侧面展开扇形的弧长：
侧面展开图的圆心角为$ 45° $，扇形半径等于母线长$ l $，根据扇形弧长公式$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），可得弧长为：
$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{45π l}{180} $
3. 列方程求解：
根据“圆锥底面周长=侧面展开扇形弧长”列等式：
$ \frac{45π l}{180}=6π $
两边同时约去$ π $，化简得$ \frac{l}{4}=6 $，解得$ l=24 $。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式、圆周长公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的常考基础题型，解题关键是掌握圆锥与侧面展开扇形的对应等量关系，只要牢记公式、理清对应量即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
【例2】数学活动课上，小明用一张半径为9 cm，圆心角是$120°$的扇形红色纸片做成一个圆锥形帽子（纸片无损耗，接缝处忽略不计），则这个圆锥形帽子的侧面积是（
A.$6π\ \mathrm{cm}^2$
B.$18π\ \mathrm{cm}^2$
C.$27π\ \mathrm{cm}^2$
D.$36π\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$6π\ \mathrm{cm}^2$
B.$18π\ \mathrm{cm}^2$
C.$27π\ \mathrm{cm}^2$
D.$36π\ \mathrm{cm}^2$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确等量关系：扇形纸片无损耗做成圆锥帽子，接缝忽略不计，因此圆锥形帽子的侧面积等于原扇形的面积，无需额外计算圆锥底面半径等参数，直接代入扇形面积公式计算即可。扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$，其中$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径，代入对应数值就能求出结果。
【解析】
解：
∵ 扇形纸片做成圆锥形帽子无损耗，接缝忽略不计，
∴ 圆锥形帽子的侧面积 = 原扇形的面积。
已知扇形圆心角$n=120°$，半径$R=9\mathrm{cm}$，代入扇形面积公式：
$S=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{120×π×9^2}{360}=\frac{120×π×81}{360}=27π\ (\mathrm{cm}^2)$
因此该圆锥形帽子的侧面积为$27π\ \mathrm{cm}^2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 扇形面积计算
2. 圆锥与扇形的转化
【点评】
本题为基础题型，解题核心是抓住图形转化过程中面积不变的特点，直接计算扇形面积即可得到结果，避免走弯路计算圆锥底面无关参数，主要考查学生对图形转化等量关系的掌握情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确等量关系：扇形纸片无损耗做成圆锥帽子，接缝忽略不计，因此圆锥形帽子的侧面积等于原扇形的面积，无需额外计算圆锥底面半径等参数，直接代入扇形面积公式计算即可。扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$，其中$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径，代入对应数值就能求出结果。
【解析】
解：
∵ 扇形纸片做成圆锥形帽子无损耗，接缝忽略不计，
∴ 圆锥形帽子的侧面积 = 原扇形的面积。
已知扇形圆心角$n=120°$，半径$R=9\mathrm{cm}$，代入扇形面积公式：
$S=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{120×π×9^2}{360}=\frac{120×π×81}{360}=27π\ (\mathrm{cm}^2)$
因此该圆锥形帽子的侧面积为$27π\ \mathrm{cm}^2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 扇形面积计算
2. 圆锥与扇形的转化
【点评】
本题为基础题型，解题核心是抓住图形转化过程中面积不变的特点，直接计算扇形面积即可得到结果，避免走弯路计算圆锥底面无关参数，主要考查学生对图形转化等量关系的掌握情况。
【难度系数】
0.8
3.如图，圆锥底面圆的直径为6 cm，高为4 cm，则它的全面积为（
A.$15π\ \mathrm{cm}^2$
B.$24π\ \mathrm{cm}^2$
C.$28π\ \mathrm{cm}^2$
D.$30π\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$15π\ \mathrm{cm}^2$
B.$24π\ \mathrm{cm}^2$
C.$28π\ \mathrm{cm}^2$
D.$30π\ \mathrm{cm}^2$
答案
B
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，需明确全面积=侧面积+底面积。第一步先根据底面直径求出底面半径；第二步圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，用勾股定理求出母线长；第三步分别代入侧面积和底面积公式计算，最后相加得到全面积即可。
【解析】
解：已知圆锥底面圆直径为6cm，因此底面半径$r=6÷2=3\mathrm{cm}$。
圆锥的高$h=4\mathrm{cm}$，母线长$l$、底面半径$r$、高$h$满足勾股定理：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$
圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×5=15π\ \mathrm{cm^2}$
圆锥底面积为$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×3^2=9π\ \mathrm{cm^2}$
因此全面积$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=15π+9π=24π\ \mathrm{cm^2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算；勾股定理应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆锥面积相关公式的应用，解题的关键是理清圆锥的母线、底面半径、高的数量关系，熟记对应面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的全面积，需明确全面积=侧面积+底面积。第一步先根据底面直径求出底面半径；第二步圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，用勾股定理求出母线长；第三步分别代入侧面积和底面积公式计算，最后相加得到全面积即可。
【解析】
解：已知圆锥底面圆直径为6cm，因此底面半径$r=6÷2=3\mathrm{cm}$。
圆锥的高$h=4\mathrm{cm}$，母线长$l$、底面半径$r$、高$h$满足勾股定理：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$
圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×5=15π\ \mathrm{cm^2}$
圆锥底面积为$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×3^2=9π\ \mathrm{cm^2}$
因此全面积$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=15π+9π=24π\ \mathrm{cm^2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算；勾股定理应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆锥面积相关公式的应用，解题的关键是理清圆锥的母线、底面半径、高的数量关系，熟记对应面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
【素材准备】
有半径为6 cm的圆形纸片(如图①)若干,剪刀,胶水.
【实践操作】
活动一:如图②,将圆形纸片沿直线AB折叠,使圆心O落在圆上,记作点O',连接OA,OB,剪下扇形OAB(圆心角小于180°).
活动二:将剪下的扇形OAB,粘贴成如图③所示的圆锥(接缝处忽略不计).
活动三:将两个相同的圆锥粘贴成如图④所示的立体图形.
【实践探究】
(1)计算AB的长和扇形OAB的面积(π取3);
(2)求圆锥的高;
(3)制作20个如图④所示的立体图形,最少需要准备多少张半径为6 cm的圆形纸片?
有半径为6 cm的圆形纸片(如图①)若干,剪刀,胶水.
【实践操作】
活动一:如图②,将圆形纸片沿直线AB折叠,使圆心O落在圆上,记作点O',连接OA,OB,剪下扇形OAB(圆心角小于180°).
活动二:将剪下的扇形OAB,粘贴成如图③所示的圆锥(接缝处忽略不计).
活动三:将两个相同的圆锥粘贴成如图④所示的立体图形.
【实践探究】
(1)计算AB的长和扇形OAB的面积(π取3);
(2)求圆锥的高;
(3)制作20个如图④所示的立体图形,最少需要准备多少张半径为6 cm的圆形纸片?
答案
解:(1)AB 的长为 $6\sqrt{3}$ cm,扇形 OAB 的面积为 36 cm².
(2)圆锥的高为 $4\sqrt{2}$ cm.
(3)最少需要准备 14 张半径为 6 cm 的圆形纸片.
(2)圆锥的高为 $4\sqrt{2}$ cm.
(3)最少需要准备 14 张半径为 6 cm 的圆形纸片.
解析
【分析】
(1) 先利用折叠性质得OO'与半径相等，推出△OO'A、△OO'B都是等边三角形，得到∠AOB=120°，再通过垂径定理构造直角三角形求AB长度，最后代入扇形面积公式计算面积。
(2) 先根据“扇形弧长等于圆锥底面周长”求出圆锥底面半径，再结合圆锥母线长为6cm，用勾股定理计算圆锥的高。
(3) 先计算1张圆形纸片最多可剪出的扇形OAB数量，再算出20个立体图形需要的扇形总数，最后用进一法取正整数得到需要的圆形纸片数。
【解析】
(1) 连接OO'，由折叠性质可知OO'=OA=O'A=6cm，因此△OO'A是等边三角形，∠AOO'=60°，同理可得∠BOO'=60°，故∠AOB=120°。
过O作OD⊥AB于D，由垂径定理得AD=BD，∠AOD=60°。在Rt△AOD中，$AD=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此$AB=2AD=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
扇形OAB的面积：$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×3×6^2}{360}=36\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 设圆锥底面半径为r，扇形OAB的弧长：$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×3×6}{180}=12\ \mathrm{cm}$。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，所以$2π r=12$，代入π=3得$r=2\ \mathrm{cm}$。
圆锥母线长为6cm，由勾股定理得圆锥的高：$h=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(3) 扇形OAB圆心角为120°，$360°÷120°=3$，即1张圆形纸片最多可剪出3个扇形OAB。
1个立体图形需要2个扇形，20个立体图形共需扇形：$20×2=40$个。
$40÷3≈13.33$，纸片数为正整数，因此最少需要14张圆形纸片。
【答案】
(1)AB的长为$6\sqrt{3}$ cm，扇形OAB的面积为36 cm²；
(2)圆锥的高为$4\sqrt{2}$ cm；
(3)最少需要准备14张半径为6 cm的圆形纸片。
【知识点】
垂径定理应用，扇形弧长面积计算，圆锥与展开图关系
【点评】
本题结合实践操作考查圆与圆锥的相关计算，解题核心是抓住折叠性质、扇形和圆锥的对应关系，最后结合实际需求用进一法取近似值，综合性较强，贴近生活实际。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用折叠性质得OO'与半径相等，推出△OO'A、△OO'B都是等边三角形，得到∠AOB=120°，再通过垂径定理构造直角三角形求AB长度，最后代入扇形面积公式计算面积。
(2) 先根据“扇形弧长等于圆锥底面周长”求出圆锥底面半径，再结合圆锥母线长为6cm，用勾股定理计算圆锥的高。
(3) 先计算1张圆形纸片最多可剪出的扇形OAB数量，再算出20个立体图形需要的扇形总数，最后用进一法取正整数得到需要的圆形纸片数。
【解析】
(1) 连接OO'，由折叠性质可知OO'=OA=O'A=6cm，因此△OO'A是等边三角形，∠AOO'=60°，同理可得∠BOO'=60°，故∠AOB=120°。
过O作OD⊥AB于D，由垂径定理得AD=BD，∠AOD=60°。在Rt△AOD中，$AD=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此$AB=2AD=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
扇形OAB的面积：$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×3×6^2}{360}=36\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 设圆锥底面半径为r，扇形OAB的弧长：$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×3×6}{180}=12\ \mathrm{cm}$。
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，所以$2π r=12$，代入π=3得$r=2\ \mathrm{cm}$。
圆锥母线长为6cm，由勾股定理得圆锥的高：$h=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(3) 扇形OAB圆心角为120°，$360°÷120°=3$，即1张圆形纸片最多可剪出3个扇形OAB。
1个立体图形需要2个扇形，20个立体图形共需扇形：$20×2=40$个。
$40÷3≈13.33$，纸片数为正整数，因此最少需要14张圆形纸片。
【答案】
(1)AB的长为$6\sqrt{3}$ cm，扇形OAB的面积为36 cm²；
(2)圆锥的高为$4\sqrt{2}$ cm；
(3)最少需要准备14张半径为6 cm的圆形纸片。
【知识点】
垂径定理应用，扇形弧长面积计算，圆锥与展开图关系
【点评】
本题结合实践操作考查圆与圆锥的相关计算，解题核心是抓住折叠性质、扇形和圆锥的对应关系，最后结合实际需求用进一法取近似值，综合性较强，贴近生活实际。
【难度系数】
0.6
