【例1】如图，四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形，连接对角线AB，CD交于点E，且$AB⊥ CD$，AB为$\odot O$的直径，若$AB=12$，$BE=3$，则CD的长为（）


A.$3\sqrt{3}$
B.$9$
C.$6\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{5}$

C

【分析】
解题时首先根据AB是直径的条件先求出圆的半径，再结合BE的长度算出线段OE的长；看到AB垂直于CD，可联想到垂径定理，可知CD被AB平分，因此只需求出CE的长度即可得到CD的长；最后连接半径OC，构造直角三角形OCE，利用勾股定理计算CE的长度，即可求解。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，AB=12
∴⊙O的半径$OC=OB=\frac{1}{2}AB=6$
∵$BE=3$
∴$OE=OB-BE=6-3=3$
∵$AB⊥CD$，根据垂径定理可得：$CE=DE$，即$CD=2CE$
在$Rt△ OCE$中，$∠ OEC=90°$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
∴$CD=2CE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心解题思路是连接半径构造直角三角形，将弦长计算问题转化为直角三角形边长求解问题，需要熟练掌握垂径定理与勾股定理的结合使用方法。
【难度系数】
0.7