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8. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.点A,B的读数分别为$86°,30°$,则$∠ ACB$的度数为 (
A.$15°$
B.$28°$
C.$29°$
D.$34°$
B
)A.$15°$
B.$28°$
C.$29°$
D.$34°$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先明确圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。首先根据量角器的读数求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数，再利用圆周角定理计算圆周角∠ACB的度数即可。
【解析】
设量角器的圆心为O，连接OA、OB。
由量角器读数可得，弧AB对应的圆心角$∠ AOB=86°-30°=56°$。
∵$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×56°=28°$。
【答案】
B
【知识点】
1.圆周角定理
2.量角器读数
【点评】
本题属于基础题，结合量角器的读数考查圆周角定理的应用，解题的核心是找准同弧所对的圆周角和圆心角，再根据二者的数量关系计算即可，熟练掌握定理能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先明确圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。首先根据量角器的读数求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数，再利用圆周角定理计算圆周角∠ACB的度数即可。
【解析】
设量角器的圆心为O，连接OA、OB。
由量角器读数可得，弧AB对应的圆心角$∠ AOB=86°-30°=56°$。
∵$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×56°=28°$。
【答案】
B
【知识点】
1.圆周角定理
2.量角器读数
【点评】
本题属于基础题，结合量角器的读数考查圆周角定理的应用，解题的核心是找准同弧所对的圆周角和圆心角，再根据二者的数量关系计算即可，熟练掌握定理能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上. 若$∠ DAB=64°$，则$∠ ACD$的度数为（
A.$32°$
B.$28°$
C.$26°$
D.$24°$
C
）A.$32°$
B.$28°$
C.$26°$
D.$24°$
答案
9.C
解析
【分析】
解题可按三步思考：① AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，因此连接辅助线BD可得∠ADB=90°；② 在Rt△ADB中，已知∠DAB的度数，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ABD的度数；③ ∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，即可得到∠ACD的度数。
【解析】
连接BD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ADB中，∠DAB=64°，
∴ ∠ABD=90°-∠DAB=90°-64°=26°，
∵ ∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ACD=∠ABD=26°，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理及推论；直角三角形的性质
【点评】
本题考查圆周角相关性质的应用，解题关键是通过添加辅助线构造直径所对的直角，再利用同弧所对圆周角相等的性质转化角度，熟练掌握核心定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题可按三步思考：① AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，因此连接辅助线BD可得∠ADB=90°；② 在Rt△ADB中，已知∠DAB的度数，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ABD的度数；③ ∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，即可得到∠ACD的度数。
【解析】
连接BD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ADB中，∠DAB=64°，
∴ ∠ABD=90°-∠DAB=90°-64°=26°，
∵ ∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ACD=∠ABD=26°，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理及推论；直角三角形的性质
【点评】
本题考查圆周角相关性质的应用，解题关键是通过添加辅助线构造直径所对的直角，再利用同弧所对圆周角相等的性质转化角度，熟练掌握核心定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，若$∠ ABD=20°$，则$∠ BCD$的度数为（
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
C
）A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先观察图形已知条件：AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”的性质，我们可以通过连接辅助线AD，先在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：连接AD，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=20°$，
∴ $∠ BAD=90° - ∠ ABD=90° - 20°=70°$，
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD=180°$（圆内接四边形的对角互补），
∴ $∠ BCD=180° - 70°=110°$。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题，解题的关键是合理构造辅助线，将已知角和待求角通过圆的性质建立关联，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形已知条件：AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”的性质，我们可以通过连接辅助线AD，先在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：连接AD，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=20°$，
∴ $∠ BAD=90° - ∠ ABD=90° - 20°=70°$，
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD=180°$（圆内接四边形的对角互补），
∴ $∠ BCD=180° - 70°=110°$。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题，解题的关键是合理构造辅助线，将已知角和待求角通过圆的性质建立关联，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11.如图，$\odot O$的弦$AB$长为2，$CD$是$\odot O$的直径，$∠ ADB=30°$，$∠ ADC=15°$。
(1)求$\odot O$的半径长；
(2)若$P$是$CD$上的动点，求$PA+PB$的最小值。
(1)求$\odot O$的半径长；
(2)若$P$是$CD$上的动点，求$PA+PB$的最小值。
答案
11. (1)如图,连接 OA,OB.
∵ ∠ADB=30°,
∴ ∠AOB=2∠ADB=60°.
又 OA=OB,
∴ △AOB 是等边三角形.
∴ OA=AB=2,即⊙O 的半径长为2.
(2)
∵ ∠ADC=15°,
∴ ∠AOC=2∠ADC=30°.
∴ ∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°.
如图,延长 BO 交⊙O 于点 E,连接 AE 交 CD 于点 P,连接 BP,则此时 PA+PB=PA+PE=AE,即 PA+PB 的最小值是 AE 的长.
∵ BE 是⊙O 的直径,
∴ ∠BAE=90°.
∴ AE=√(BE²−AB²)=√(4²−2²)=2√3,
即 PA+PB 的最小值是2√3.
解析
【分析】
(1) 求⊙O半径时，可先连接OA、OB构造圆心角，利用圆周角定理，由已知圆周角∠ADB的度数推出对应圆心角∠AOB的度数，再结合OA=OB判断△AOB的形状，即可根据AB的长度求出半径。
(2) 求CD上动点P使PA+PB最小，属于“将军饮马”最短路径问题，需通过轴对称转化线段：利用圆的对称性找到点B关于CD的对称点E，将PB转化为PE，当A、P、E三点共线时PA+PB的值最小，等于AE的长度；再利用直径所对圆周角为直角的性质，结合勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
(1) 连接OA，OB。
∵ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ADB=30°，
∴ 根据圆周角定理，∠AOB=2∠ADB=60°。
又
∵ OA=OB（都是⊙O的半径），
∴ △AOB是等边三角形，
∴ OA=AB=2，即⊙O的半径长为2。
(2)
∵ ∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ADC=15°，
∴ ∠AOC=2∠ADC=30°，
∴ ∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+30°=90°。
延长BO交⊙O于点E，可知CD垂直平分BE，即点B和点E关于CD对称，连接AE交CD于点P，连接BP，此时PB=PE，PA+PB=PA+PE，根据两点之间线段最短，此时PA+PB的最小值为AE的长。
∵ BE是⊙O的直径，
∴ ∠BAE=90°（直径所对的圆周角是直角）。
已知⊙O半径为2，因此BE=4，又AB=2，在Rt△BAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
即PA+PB的最小值是$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) ⊙O的半径长为2；
(2) PA+PB的最小值为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
圆周角定理，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的性质与几何最值的求解，解题核心是熟练掌握圆周角与圆心角的关系，同时会利用轴对称转化线段求解最短路径，能有效锻炼学生的几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求⊙O半径时，可先连接OA、OB构造圆心角，利用圆周角定理，由已知圆周角∠ADB的度数推出对应圆心角∠AOB的度数，再结合OA=OB判断△AOB的形状，即可根据AB的长度求出半径。
(2) 求CD上动点P使PA+PB最小，属于“将军饮马”最短路径问题，需通过轴对称转化线段：利用圆的对称性找到点B关于CD的对称点E，将PB转化为PE，当A、P、E三点共线时PA+PB的值最小，等于AE的长度；再利用直径所对圆周角为直角的性质，结合勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
(1) 连接OA，OB。
∵ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ADB=30°，
∴ 根据圆周角定理，∠AOB=2∠ADB=60°。
又
∵ OA=OB（都是⊙O的半径），
∴ △AOB是等边三角形，
∴ OA=AB=2，即⊙O的半径长为2。
(2)
∵ ∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ADC=15°，
∴ ∠AOC=2∠ADC=30°，
∴ ∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+30°=90°。
延长BO交⊙O于点E，可知CD垂直平分BE，即点B和点E关于CD对称，连接AE交CD于点P，连接BP，此时PB=PE，PA+PB=PA+PE，根据两点之间线段最短，此时PA+PB的最小值为AE的长。
∵ BE是⊙O的直径，
∴ ∠BAE=90°（直径所对的圆周角是直角）。
已知⊙O半径为2，因此BE=4，又AB=2，在Rt△BAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
即PA+PB的最小值是$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) ⊙O的半径长为2；
(2) PA+PB的最小值为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
圆周角定理，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的性质与几何最值的求解，解题核心是熟练掌握圆周角与圆心角的关系，同时会利用轴对称转化线段求解最短路径，能有效锻炼学生的几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图，在$\odot O$中，$AB$，$AC$为弦，$CD$为直径，$AB ⊥ CD$于点$E$，$BF ⊥ AC$于点$F$，$BF$与$CD$相交于点$G$.
(1)求证：$ED=EG$；
(2)若$AB=8$，$OG=1$，求$\odot O$的半径长.
(1)求证：$ED=EG$；
(2)若$AB=8$，$OG=1$，求$\odot O$的半径长.
答案
12. (1)如图,连接 BD.
∵ AB ⊥ CD,BF ⊥ AC,
∴ ∠CFG=∠GEB=90°.
∴ ∠C+∠CGF=90°,∠GBE+∠BGE=90°.
∵ ∠CGF=∠BGE,
∴ ∠C=∠GBE.
∵ ∠C=∠DBE,
∴ ∠GBE=∠DBE.
∵ AB ⊥ CD,
∴ ∠GEB=∠DEB=90°.
在△GBE 和△DBE 中,
{∠GEB=∠DEB,
BE=BE,
∠GBE=∠DBE,
∴ △GBE ≅ △DBE.
∴ ED=EG.
(2)如图,连接 OA.
设 OA=r,则 DG=OD+OG=r+1.
由(1)可知 ED=EG.
∴ OE=(r−1)/2.
∵ AB ⊥ CD,AB=8,
∴ ∠AEO=90°,AE=BE=4.
在 Rt△OAE 中,根据勾股定理,得 OE²+AE²=OA²,
即((r−1)/2)² +4²=r².
解得 r₁=13/3,r₂=−5(舍去).
∴ ⊙O 的半径长为13/3.
解析
【分析】
(1) 要证ED=EG，可通过证明两条边所在的△GBE和△DBE全等实现。首先连接BD，利用垂直的性质得到两组互余的角，结合对顶角相等推出∠C=∠GBE；再根据同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠DBE，进而得到∠GBE=∠DBE，最后结合AB⊥CD的垂直条件和公共边BE，即可证明三角形全等，得到边相等的结论。
(2) 求⊙O的半径可采用方程思想结合勾股定理求解。设半径为r，先根据(1)中ED=EG的结论，推导出OE的长度关于r的表达式；再由垂径定理得到AE的长度，在Rt△OAE中代入勾股定理列方程，解方程舍去负根即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：如图，连接BD。
∵ AB ⊥ CD，BF ⊥ AC，
∴ ∠CFG=∠GEB=90°，
∴ ∠C+∠CGF=90°，∠GBE+∠BGE=90°，
∵ ∠CGF=∠BGE（对顶角相等），
∴ ∠C=∠GBE，
∵ ∠C和∠DBE均为弧AD所对的圆周角，
∴ ∠C=∠DBE，
∴ ∠GBE=∠DBE，
∵ AB ⊥ CD，
∴ ∠GEB=∠DEB=90°，
在△GBE 和△DBE 中：
$\{\begin{array}{l}∠GEB=∠DEB \\BE=BE \\∠GBE=∠DBE\end{array} $
∴ △GBE ≅ △DBE（ASA），
∴ ED=EG。
(2) 解：如图，连接OA，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r。
∵ OG=1，
∴ DG=OD+OG=r+1，
由(1)可知ED=EG，即E为DG中点，
∴ $DE=\frac{1}{2}DG=\frac{r+1}{2}$，
∴ $OE=DE-OD=\frac{r+1}{2}-r=\frac{r-1}{2}$，
∵ AB ⊥ CD，AB=8，由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=4$，∠AEO=90°，
在Rt△OAE中，根据勾股定理可得：$OE^2+AE^2=OA^2$，
即 $(\frac{r-1}{2})^2 +4^2=r^2$，
整理得$3r^2+2r-65=0$，
解得$r_1=\frac{13}{3}$，$r_2=-5$（半径为正，舍去），
∴ ⊙O的半径长为$\frac{13}{3}$。
【答案】
(1) ED=EG得证；
(2) ⊙O的半径长为$\frac{13}{3}$。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合中档题，融合了圆的基本性质、三角形全等的判定、勾股定理等知识点，第一问的解题关键是通过角的等量代换构造全等三角形，第二问运用方程思想求解半径是圆中线段计算的常用方法，能有效考查学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证ED=EG，可通过证明两条边所在的△GBE和△DBE全等实现。首先连接BD，利用垂直的性质得到两组互余的角，结合对顶角相等推出∠C=∠GBE；再根据同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠DBE，进而得到∠GBE=∠DBE，最后结合AB⊥CD的垂直条件和公共边BE，即可证明三角形全等，得到边相等的结论。
(2) 求⊙O的半径可采用方程思想结合勾股定理求解。设半径为r，先根据(1)中ED=EG的结论，推导出OE的长度关于r的表达式；再由垂径定理得到AE的长度，在Rt△OAE中代入勾股定理列方程，解方程舍去负根即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：如图，连接BD。
∵ AB ⊥ CD，BF ⊥ AC，
∴ ∠CFG=∠GEB=90°，
∴ ∠C+∠CGF=90°，∠GBE+∠BGE=90°，
∵ ∠CGF=∠BGE（对顶角相等），
∴ ∠C=∠GBE，
∵ ∠C和∠DBE均为弧AD所对的圆周角，
∴ ∠C=∠DBE，
∴ ∠GBE=∠DBE，
∵ AB ⊥ CD，
∴ ∠GEB=∠DEB=90°，
在△GBE 和△DBE 中：
$\{\begin{array}{l}∠GEB=∠DEB \\BE=BE \\∠GBE=∠DBE\end{array} $
∴ △GBE ≅ △DBE（ASA），
∴ ED=EG。
(2) 解：如图，连接OA，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r。
∵ OG=1，
∴ DG=OD+OG=r+1，
由(1)可知ED=EG，即E为DG中点，
∴ $DE=\frac{1}{2}DG=\frac{r+1}{2}$，
∴ $OE=DE-OD=\frac{r+1}{2}-r=\frac{r-1}{2}$，
∵ AB ⊥ CD，AB=8，由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=4$，∠AEO=90°，
在Rt△OAE中，根据勾股定理可得：$OE^2+AE^2=OA^2$，
即 $(\frac{r-1}{2})^2 +4^2=r^2$，
整理得$3r^2+2r-65=0$，
解得$r_1=\frac{13}{3}$，$r_2=-5$（半径为正，舍去），
∴ ⊙O的半径长为$\frac{13}{3}$。
【答案】
(1) ED=EG得证；
(2) ⊙O的半径长为$\frac{13}{3}$。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合中档题，融合了圆的基本性质、三角形全等的判定、勾股定理等知识点，第一问的解题关键是通过角的等量代换构造全等三角形，第二问运用方程思想求解半径是圆中线段计算的常用方法，能有效考查学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
