登录
视野拓展
如图,某博览会上有一圆形展区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器
P 55°
如图,某博览会上有一圆形展区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器
4
台.P 55°
答案
4
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要把实际监控问题转化为圆周角相关的数学问题：第一步，明确监视器的55°监控角是圆周角，根据圆周角定理可求出它所对的弧对应的圆心角；第二步，要覆盖整个圆形展区，就是所有监视器对应的圆心角之和至少要等于周角360°；第三步，计算需要的监视器数量，注意台数必须是正整数，结果要向上取整。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知监视器的监控角（圆周角）为55°，则每台监视器可监控的弧对应的圆心角为：
$2×55°=110°$
设需要安装$n$台监视器，要覆盖整个圆形展区，需满足所有监视器对应的圆心角之和不小于360°，即：
$110° × n ≥ 360°$
解得：$n≥\frac{360}{110}\approx3.27$
因为$n$为正整数，所以$n$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理；周角定义；实际问题取整
【点评】
本题将圆周角知识与实际应用结合，解题核心是把监控覆盖问题转化为圆心角的覆盖问题，需要注意结果要结合实际场景向上取整，不能直接四舍五入得到3台。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要把实际监控问题转化为圆周角相关的数学问题：第一步，明确监视器的55°监控角是圆周角，根据圆周角定理可求出它所对的弧对应的圆心角；第二步，要覆盖整个圆形展区，就是所有监视器对应的圆心角之和至少要等于周角360°；第三步，计算需要的监视器数量，注意台数必须是正整数，结果要向上取整。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知监视器的监控角（圆周角）为55°，则每台监视器可监控的弧对应的圆心角为：
$2×55°=110°$
设需要安装$n$台监视器，要覆盖整个圆形展区，需满足所有监视器对应的圆心角之和不小于360°，即：
$110° × n ≥ 360°$
解得：$n≥\frac{360}{110}\approx3.27$
因为$n$为正整数，所以$n$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理；周角定义；实际问题取整
【点评】
本题将圆周角知识与实际应用结合，解题核心是把监控覆盖问题转化为圆心角的覆盖问题，需要注意结果要结合实际场景向上取整，不能直接四舍五入得到3台。
【难度系数】
0.6
1. 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的点，$∠ CDB=26°$，则$∠ BOC$的度数是（
A.$60°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$40°$
B
）A.$60°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先观察两个角的位置和所对的弧：∠CDB是圆周角，∠BOC是圆心角，二者均对应弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，据此可直接通过已知圆周角的度数计算出圆心角的度数。
【解析】
∵ ∠CDB是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴ ∠BOC = 2∠CDB
又
∵ ∠CDB = 26°
∴ ∠BOC = 2×26° = 52°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，直接套用圆周角定理即可求解，计算量小，掌握对应定理就能快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个角的位置和所对的弧：∠CDB是圆周角，∠BOC是圆心角，二者均对应弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，据此可直接通过已知圆周角的度数计算出圆心角的度数。
【解析】
∵ ∠CDB是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴ ∠BOC = 2∠CDB
又
∵ ∠CDB = 26°
∴ ∠BOC = 2×26° = 52°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，直接套用圆周角定理即可求解，计算量小，掌握对应定理就能快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$\odot O$中,弦$AB$,$CD$相交于点$P$,$∠ A=40°$,$∠ B=45°$,则$∠ APD=$ (
A.$40°$
B.$45°$
C.$85°$
D.$75°$
C
)A.$40°$
B.$45°$
C.$85°$
D.$75°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先结合圆的性质找相等的圆周角，再利用三角形角度关系计算所求角：第一步，回忆圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等，可得到与已知∠B相等的∠C的度数；第二步，观察∠APD是△APC的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可算出∠APD的度数。
【解析】
∵ 在⊙O中，弧AD所对的圆周角为∠B和∠C，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠C = ∠B = 45°，
又
∵ ∠APD是△APC的外角，由三角形外角的性质可得：
∠APD = ∠A + ∠C = 40° + 45° = 85°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论；三角形外角性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，核心是利用同弧所对圆周角相等完成角度转化，再结合三角形的角度性质求解，熟练掌握基础定理和性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合圆的性质找相等的圆周角，再利用三角形角度关系计算所求角：第一步，回忆圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等，可得到与已知∠B相等的∠C的度数；第二步，观察∠APD是△APC的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可算出∠APD的度数。
【解析】
∵ 在⊙O中，弧AD所对的圆周角为∠B和∠C，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠C = ∠B = 45°，
又
∵ ∠APD是△APC的外角，由三角形外角的性质可得：
∠APD = ∠A + ∠C = 40° + 45° = 85°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论；三角形外角性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，核心是利用同弧所对圆周角相等完成角度转化，再结合三角形的角度性质求解，熟练掌握基础定理和性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，AC，BC是$\odot O$的弦，若$∠ A=30°$，则$∠ B$的度数为（
A.$70°$
B.$90°$
C.$40°$
D.$60°$
D
）A.$70°$
B.$90°$
C.$40°$
D.$60°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AB是⊙O的直径，可联想到圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角，因此可得△ABC是直角三角形，∠C=90°；再结合直角三角形两锐角互余的性质，已知∠A的度数，即可直接求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，
已知∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角这一常用推论，结合三角形角度的性质即可快速求解，是圆周角相关知识点的典型基础考法。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察已知条件：AB是⊙O的直径，可联想到圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角，因此可得△ABC是直角三角形，∠C=90°；再结合直角三角形两锐角互余的性质，已知∠A的度数，即可直接求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，
已知∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角这一常用推论，结合三角形角度的性质即可快速求解，是圆周角相关知识点的典型基础考法。
【难度系数】
0.9
4. 如图, 在$\odot O$中, $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$, $∠ BAC = 50°$, 则$∠ AEC$的度数为（
A.$65°$
B.$75°$
C.$50°$
D.$55°$
A
）A.$65°$
B.$75°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$入手，根据同圆中等弧对等弦，可得AB=AC，即△ABC是等腰三角形，结合已知∠BAC=50°，可先求出底角∠ABC的度数；再观察∠AEC和∠ABC的位置，二者是同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，即可求出∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，
∴AB=AC（同圆中相等的弧所对的弦相等），
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC=50°，
∴$∠ ABC = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$，
又
∵∠AEC和∠ABC都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴∠AEC=∠ABC=65°（同弧所对的圆周角相等）。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等弧对等弦；等腰三角形性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于圆的性质基础题，解题的关键是灵活运用弧、弦的关系以及圆周角的性质，将圆的知识和等腰三角形的性质结合求解，是圆周角章节的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$入手，根据同圆中等弧对等弦，可得AB=AC，即△ABC是等腰三角形，结合已知∠BAC=50°，可先求出底角∠ABC的度数；再观察∠AEC和∠ABC的位置，二者是同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，即可求出∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，
∴AB=AC（同圆中相等的弧所对的弦相等），
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC=50°，
∴$∠ ABC = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$，
又
∵∠AEC和∠ABC都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴∠AEC=∠ABC=65°（同弧所对的圆周角相等）。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等弧对等弦；等腰三角形性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于圆的性质基础题，解题的关键是灵活运用弧、弦的关系以及圆周角的性质，将圆的知识和等腰三角形的性质结合求解，是圆周角章节的常见考法。
【难度系数】
0.8
5. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$CE ⊥ AB$于点E，若$∠ D=48°$，则$∠ 1$的度数为（
A.$42°$
B.$45°$
C.$48°$
D.$52°$
C
）A.$42°$
B.$45°$
C.$48°$
D.$52°$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先观察已知角和待求角的关系：1. 已知∠D是圆周角，根据圆周角定理，先找和∠D同弧所对的其他圆周角，可得到∠CAB=∠D；2. 结合AB是直径的条件，可得直径所对的圆周角∠ACB为直角，因此△ACB是直角三角形，两锐角互余；3. 再结合CE⊥AB的条件，可知△CEB也是直角三角形，∠1和∠CBA互余，最后利用同角的余角相等即可推出∠1和∠CAB相等，从而得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵∠D和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得∠CAB=∠D=48°，
∵AB为⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角为直角，即∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，∠CAB + ∠CBA = 90°，
又
∵CE⊥AB，即∠CEB=90°，
∴在Rt△CEB中，∠1 + ∠CBA = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠1=∠CAB=48°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，核心是通过同弧所对圆周角相等实现角的转化，再结合直角三角形的余角性质求解，解题时要熟练掌握圆周角相关的性质，找准对应相等的角即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知角和待求角的关系：1. 已知∠D是圆周角，根据圆周角定理，先找和∠D同弧所对的其他圆周角，可得到∠CAB=∠D；2. 结合AB是直径的条件，可得直径所对的圆周角∠ACB为直角，因此△ACB是直角三角形，两锐角互余；3. 再结合CE⊥AB的条件，可知△CEB也是直角三角形，∠1和∠CBA互余，最后利用同角的余角相等即可推出∠1和∠CAB相等，从而得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵∠D和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得∠CAB=∠D=48°，
∵AB为⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角为直角，即∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，∠CAB + ∠CBA = 90°，
又
∵CE⊥AB，即∠CEB=90°，
∴在Rt△CEB中，∠1 + ∠CBA = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠1=∠CAB=48°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，核心是通过同弧所对圆周角相等实现角的转化，再结合直角三角形的余角性质求解，解题时要熟练掌握圆周角相关的性质，找准对应相等的角即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6. 如图,直角三角尺$30°$角的顶点$P$落在$\odot O$上,两边分别交$\odot O$于点$A,B$,连接$AO,BO$,则$∠ AOB$的度数是 (
A.$30°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$90°$
B
)A.$30°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$90°$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先识别角的类型：已知的∠P是⊙O中弧AB所对的圆周角，待求的∠AOB是弧AB所对的圆心角，联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接代入角度计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知∠APB=30°，∠APB是⊙O中弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOB=2∠ APB=2×30°=60°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，解题关键是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，直接套用圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先识别角的类型：已知的∠P是⊙O中弧AB所对的圆周角，待求的∠AOB是弧AB所对的圆心角，联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接代入角度计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知∠APB=30°，∠APB是⊙O中弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOB=2∠ APB=2×30°=60°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，解题关键是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，直接套用圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，C,D是⊙O的直径AB两侧的点，若∠ABC=20°,则∠D的度数为 (
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
C
)A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，AB是圆的直径，可优先联想到直径所对的圆周角为直角，得到△ACB是直角三角形；已知直角三角形的一个锐角∠ABC=20°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAC的度数；再观察∠D与∠BAC的位置，发现二者是同弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠ABC=20°，
∴∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 20° = 70°，
∵∠BAC和∠D都是弧BC所对的圆周角，
∴∠D = ∠BAC = 70°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查圆周角相关性质的应用，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等完成角度转换，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，AB是圆的直径，可优先联想到直径所对的圆周角为直角，得到△ACB是直角三角形；已知直角三角形的一个锐角∠ABC=20°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAC的度数；再观察∠D与∠BAC的位置，发现二者是同弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠ABC=20°，
∴∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 20° = 70°，
∵∠BAC和∠D都是弧BC所对的圆周角，
∴∠D = ∠BAC = 70°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查圆周角相关性质的应用，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等完成角度转换，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
