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1. 有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人. 若设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人，依题意可列方程(
A.$1+x+x^2=121$
B.$1+x+x(1+x)=121$
C.$x^2=121$
D.$1+2x=121$
B
).A.$1+x+x^2=121$
B.$1+x+x(1+x)=121$
C.$x^2=121$
D.$1+2x=121$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要理清两轮传染的数量变化逻辑：首先初始患病人数为1人，每轮传染中每个患者会传染x个健康人。第一轮传染时，传染源为最初的1个患者，第一轮结束后总患病人数为原患者数加上新增被传染的人数；第二轮传染时，传染源是第一轮结束后所有的患者，每个传染源传染x人，可算出第二轮新增的患病人数，两轮总患病人数相加等于121，据此即可列出方程。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人：
1. 第一轮传染后，新增患病人数为$x$人，总患病人数为$1+x$人；
2. 第二轮传染时，传染源为第一轮结束后的$1+x$个患者，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
3. 两轮传染后总患病人数为第一轮总人数加第二轮新增人数，已知总共有121人患病，因此可列方程：
$1+x+x(1+x)=121$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程解应用题；传播问题模型
【点评】
本题是典型的传播类方程应用题，解题核心是明确每轮传染的传染源是上一轮所有患病的人，而非仅初始的患者，理清传染各阶段的数量关系即可快速列对方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理清两轮传染的数量变化逻辑：首先初始患病人数为1人，每轮传染中每个患者会传染x个健康人。第一轮传染时，传染源为最初的1个患者，第一轮结束后总患病人数为原患者数加上新增被传染的人数；第二轮传染时，传染源是第一轮结束后所有的患者，每个传染源传染x人，可算出第二轮新增的患病人数，两轮总患病人数相加等于121，据此即可列出方程。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人：
1. 第一轮传染后，新增患病人数为$x$人，总患病人数为$1+x$人；
2. 第二轮传染时，传染源为第一轮结束后的$1+x$个患者，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
3. 两轮传染后总患病人数为第一轮总人数加第二轮新增人数，已知总共有121人患病，因此可列方程：
$1+x+x(1+x)=121$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程解应用题；传播问题模型
【点评】
本题是典型的传播类方程应用题，解题核心是明确每轮传染的传染源是上一轮所有患病的人，而非仅初始的患者，理清传染各阶段的数量关系即可快速列对方程。
【难度系数】
0.8
2. 某种植物的主干长出若干个支干，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数为241，则每个支干长出的小分支的个数是
15
。答案
2. 15
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确三类结构的数量关系：①主干只有1个；②设每个支干长出的小分支个数为x，那么支干的总数量就是x个；③每个支干长出x个小分支，因此小分支总数量为$x × x = x^2$个。三类结构数量之和为241，据此列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去负数解即可得到答案。
【解析】
解：设每个支干长出的小分支的个数是$x$。
根据题意，主干、支干、小分支的总数为241，可列方程：
$1 + x + x^2 = 241$
整理得：$x^2 + x - 240 = 0$
因式分解得：$(x + 16)(x - 15) = 0$
解得：$x_1 = 15$，$x_2 = -16$
因为小分支的个数不能为负数，所以舍去$x = -16$。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的应用；实际问题根的取舍
【点评】
本题是分支类一元二次方程的典型应用题，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，求解后要注意结合实际场景判断解的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确三类结构的数量关系：①主干只有1个；②设每个支干长出的小分支个数为x，那么支干的总数量就是x个；③每个支干长出x个小分支，因此小分支总数量为$x × x = x^2$个。三类结构数量之和为241，据此列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去负数解即可得到答案。
【解析】
解：设每个支干长出的小分支的个数是$x$。
根据题意，主干、支干、小分支的总数为241，可列方程：
$1 + x + x^2 = 241$
整理得：$x^2 + x - 240 = 0$
因式分解得：$(x + 16)(x - 15) = 0$
解得：$x_1 = 15$，$x_2 = -16$
因为小分支的个数不能为负数，所以舍去$x = -16$。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的应用；实际问题根的取舍
【点评】
本题是分支类一元二次方程的典型应用题，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，求解后要注意结合实际场景判断解的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
3. 有一个人患流感，经过2轮传染后共有64个人患流感. 设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则第3轮传染后共有
512
个人患流感.答案
3. 512
解析
【分析】
这是典型的传播类应用题，解题思路如下：第一步，设每轮传染中平均一个人传染x个人，先推导每轮传染后患流感的总人数的表达式：最初有1个患者，第一轮传染后，原来的1个患者传染了x人，总患病人数为1+x；第二轮传染时，第一轮患病的(1+x)人每人都会传染x人，因此第二轮结束后总患病人数为(1+x)乘以(1+x)，即(1+x)²；第二步，根据两轮后共64人患病的条件列方程求解x；第三步，用第二轮的总患病人数乘以(1+x)即可得到第三轮传染后的总患病人数。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染的人数为$ x $。
1. 列方程求解$ x $：
第一轮传染后总患病人数为：$ 1 + x $
第二轮传染后总患病人数为：$ (1+x) · (1+x) = (1+x)^2 $
根据题意两轮后共有64人患流感，可得方程：
$ (1+x)^2 = 64 $
解方程得：$ 1+x = \pm 8 $
由于传染人数为正数，故舍去负根$ 1+x=-8 $，得$ 1+x=8 $，即$ x=7 $。
2. 计算第三轮传染后的总患病人数：
第三轮传染是在第二轮64个患者的基础上传播，因此总患病人数为：
$ 64 × (1+7) = 64 × 8 = 512 $
【答案】
512
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题建模
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理清传播过程中每轮总患病人数的数量关系，建立正确的方程求解传播系数，再代入计算即可，掌握传播类问题的通用模型后可快速作答。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类应用题，解题思路如下：第一步，设每轮传染中平均一个人传染x个人，先推导每轮传染后患流感的总人数的表达式：最初有1个患者，第一轮传染后，原来的1个患者传染了x人，总患病人数为1+x；第二轮传染时，第一轮患病的(1+x)人每人都会传染x人，因此第二轮结束后总患病人数为(1+x)乘以(1+x)，即(1+x)²；第二步，根据两轮后共64人患病的条件列方程求解x；第三步，用第二轮的总患病人数乘以(1+x)即可得到第三轮传染后的总患病人数。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染的人数为$ x $。
1. 列方程求解$ x $：
第一轮传染后总患病人数为：$ 1 + x $
第二轮传染后总患病人数为：$ (1+x) · (1+x) = (1+x)^2 $
根据题意两轮后共有64人患流感，可得方程：
$ (1+x)^2 = 64 $
解方程得：$ 1+x = \pm 8 $
由于传染人数为正数，故舍去负根$ 1+x=-8 $，得$ 1+x=8 $，即$ x=7 $。
2. 计算第三轮传染后的总患病人数：
第三轮传染是在第二轮64个患者的基础上传播，因此总患病人数为：
$ 64 × (1+7) = 64 × 8 = 512 $
【答案】
512
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题建模
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理清传播过程中每轮总患病人数的数量关系，建立正确的方程求解传播系数，再代入计算即可，掌握传播类问题的通用模型后可快速作答。
【难度系数】
0.7
4. 化学是一门以实验为基础的学科. 九(1)班化学科代表小光在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验原理，回到班上后开始向同学解释实验原理，第一节课教会了x名同学. 若第二节课小光因家中有事请假了，班上其余学会了实验原理的每名同学又教会了x名同学，这样全班57名同学恰好都学会了实验原理，求x的值.
答案
4. 依题意，$1+x+x^2=57$，解得 $x_1=-8$(不符合题意，舍去)，$x_2=7$. 所以 $x$ 的值为 7.
解析
【分析】
解题时可分阶段梳理学会实验原理的人数：首先初始只有小光1人会原理；第一节课小光教会x名同学，此时新增x名同学掌握原理；第二节课小光请假，仅这x名已学会的同学参与教学，每人再教会x名同学，因此第二节课新增学会的人数为x·x=x²人。全班共57人全部学会，即初始1人+第一节课新增人数+第二节课新增人数=总人数57，据此列一元二次方程，求解后结合x表示人数的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
解：根据题意列方程：
初始会原理的人数为1，第一节课新增会的人数为x，第二节课新增会的人数为$x^2$，总人数为57，因此：
$1 + x + x^2 = 57$
整理得：$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解得：$(x + 8)(x - 7) = 0$
解得：$x_1 = -8$，$x_2 = 7$
∵x代表教会的同学人数，不能为负数，
∴$x_1=-8$不符合题意，舍去。
【答案】
x的值为7
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程求解；实际问题验根
【点评】
本题是典型的传播类一元二次方程应用题，解题关键是理清每一轮传播的主体和新增人数的关系，正确列出方程，同时要注意结合实际情境对根进行取舍，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时可分阶段梳理学会实验原理的人数：首先初始只有小光1人会原理；第一节课小光教会x名同学，此时新增x名同学掌握原理；第二节课小光请假，仅这x名已学会的同学参与教学，每人再教会x名同学，因此第二节课新增学会的人数为x·x=x²人。全班共57人全部学会，即初始1人+第一节课新增人数+第二节课新增人数=总人数57，据此列一元二次方程，求解后结合x表示人数的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
解：根据题意列方程：
初始会原理的人数为1，第一节课新增会的人数为x，第二节课新增会的人数为$x^2$，总人数为57，因此：
$1 + x + x^2 = 57$
整理得：$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解得：$(x + 8)(x - 7) = 0$
解得：$x_1 = -8$，$x_2 = 7$
∵x代表教会的同学人数，不能为负数，
∴$x_1=-8$不符合题意，舍去。
【答案】
x的值为7
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程求解；实际问题验根
【点评】
本题是典型的传播类一元二次方程应用题，解题关键是理清每一轮传播的主体和新增人数的关系，正确列出方程，同时要注意结合实际情境对根进行取舍，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
