知识建构

因式分解
定义：把一个$\underline{\quad①\quad}$化成几个$\underline{\quad②\quad}$的乘积的形式叫作这个多项式的因式分解，也叫作这个多项式分解因式
公因式：$\underline{\quad③\quad}$
提公因式法：$\underline{\quad④\quad}$
平方差公式因式分解：
$a^2 - b^2 = \underline{\quad⑤\quad}$
完全平方公式因式分解：
$a^2 + 2ab + b^2 = \underline{\quad⑥\quad}$
$a^2 - 2ab + b^2 = \underline{\quad⑦\quad}$
填空：
①______ ②______ ③______ ④______ ⑤______ ⑥______ ⑦______

解：
① 多项式
② 整式
③ 多项式各项都含有的相同因式
④ 当多项式的各项有公因式时，将这个公因式提取出来，把多项式写成公因式与剩余因式的乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法
⑤ $(a+b)(a-b)$
⑥ $(a+b)^2$
⑦ $(a-b)^2$

1. (★)下列等式从左到右的变形是因式分解的是 【 】

A.$6a^2b^2 = 3ab · 2ab$
B.$\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ay = \frac{1}{2}a(1 - y)$
C.$2x^2 + 8x - 1 = 2x(x + 4) - 1$
D.$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$

B

根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项：
1. 选项A：等号左侧$6a^2b^2$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求；
2. 选项B：左侧是多项式$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}ay$，右侧化为了整式$\frac{1}{2}a$与整式$(1-y)$的乘积，符合因式分解的定义；
3. 选项C：等号右侧$2x(x+4)-1$是和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解要求；
4. 选项D：该变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解。
综上只有B是因式分解。

2. (★)根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:.

解：左侧四个图形的面积和为：
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
右侧拼成的大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
由拼图前后总面积相等可得：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$

3. (★)在多项式$8a^3b^2 - 4a^3bc$中，各项的公因式是 【 】

A.$a^3b$
B.$4a^3b$
C.$4a^3$
D.$-a^3$

B

找多项式各项公因式步骤：1. 取各项系数的最大公约数：两项系数为8和-4，最大公约数是4；2. 取各项都含有的相同字母的最低次幂：两项共有的字母是a、b，a的最低次数为3，b的最低次数为1，第二项不含字母c，因此公因式不含c。综上，该多项式各项的公因式是$4a^3b$。

4. (★)把$-9x^3 +6x^2 -3x$分解因式时，提出公因式后，另一个因式是
【 】

A.$3x^2 -2x$
B.$3x^2 -2x -1$
C.$-9x^2 +6x$
D.$3x^2 -2x +1$

D

先确定多项式$-9x^3 +6x^2 -3x$的公因式为$-3x$，将原式各项分别除以公因式$-3x$：$(-9x^3)÷(-3x)=3x^2$，$6x^2÷(-3x)=-2x$，$-3x÷(-3x)=1$，因此提出公因式后，另一个因式是$3x^2 -2x +1$。

5. (★)若多项式$x^2 - m$可以在有理数范围内用平方差公式分解因式，则$m$的值可以为
【】

A.6
B.-6
C.9
D.-9

C

根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，多项式$x^2 - m$要在有理数范围内用平方差公式分解，需满足$m$是有理数的正平方数：
1. 若$m=6$，$x^2-6$无法在有理数范围内分解，A不符合要求；
2. 若$m=-6$，$x^2 - (-6)=x^2+6$是平方和形式，不能用平方差公式分解，B不符合要求；
3. 若$m=9$，$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$，可在有理数范围内用平方差公式分解，C符合要求；
4. 若$m=-9$，$x^2 - (-9)=x^2+9$是平方和形式，不能用平方差公式分解，D不符合要求。