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11. (★★)下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)$\frac{x+1}{x-1}$；
(2)$\frac{2a+b}{3a-b}$；
(3)$\frac{2}{x^2 -1}$；
(4)$\frac{2x}{x^2 +1}$。
(1)$\frac{x+1}{x-1}$；
(2)$\frac{2a+b}{3a-b}$；
(3)$\frac{2}{x^2 -1}$；
(4)$\frac{2x}{x^2 +1}$。
答案
解：
(1) 要使分式$\frac{x+1}{x-1}$有意义，需分母不为0，即
$x-1 ≠ 0$
解得 $x ≠ 1$。
所以当$x ≠ 1$时，分式$\frac{x+1}{x-1}$有意义。
(2) 要使分式$\frac{2a+b}{3a-b}$有意义，需分母不为0，即
$3a - b ≠ 0$
解得 $b ≠ 3a$。
所以当$b ≠ 3a$时，分式$\frac{2a+b}{3a-b}$有意义。
(3) 要使分式$\frac{2}{x^2 -1}$有意义，需分母不为0，即
$x^2 - 1 ≠ 0$
解得 $x ≠ 1$且$x ≠ -1$。
所以当$x ≠ 1$且$x ≠ -1$时，分式$\frac{2}{x^2-1}$有意义。
(4) 要使分式$\frac{2x}{x^2 +1}$有意义，需分母不为0。
对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，因此$x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，分母恒不为0。
所以$x$取任意实数时，分式$\frac{2x}{x^2+1}$都有意义。
(1) 要使分式$\frac{x+1}{x-1}$有意义，需分母不为0，即
$x-1 ≠ 0$
解得 $x ≠ 1$。
所以当$x ≠ 1$时，分式$\frac{x+1}{x-1}$有意义。
(2) 要使分式$\frac{2a+b}{3a-b}$有意义，需分母不为0，即
$3a - b ≠ 0$
解得 $b ≠ 3a$。
所以当$b ≠ 3a$时，分式$\frac{2a+b}{3a-b}$有意义。
(3) 要使分式$\frac{2}{x^2 -1}$有意义，需分母不为0，即
$x^2 - 1 ≠ 0$
解得 $x ≠ 1$且$x ≠ -1$。
所以当$x ≠ 1$且$x ≠ -1$时，分式$\frac{2}{x^2-1}$有意义。
(4) 要使分式$\frac{2x}{x^2 +1}$有意义，需分母不为0。
对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，因此$x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，分母恒不为0。
所以$x$取任意实数时，分式$\frac{2x}{x^2+1}$都有意义。
12. (★★)当$x$取何值时,下列分式的值为0?
(1)$\frac{x+2}{2x-3}$;
(2)$\frac{|x|-2}{x+2}$;
(3)$\frac{x-3}{x^2 -4}$;
(4)$\frac{4x^2 -9}{2x -3}$.
(1)$\frac{x+2}{2x-3}$;
(2)$\frac{|x|-2}{x+2}$;
(3)$\frac{x-3}{x^2 -4}$;
(4)$\frac{4x^2 -9}{2x -3}$.
答案
解：
(1) 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$。
当$x=-2$时，分母$2x-3=2×(-2)-3=-7≠0$，
所以当$x=-2$时，分式$\frac{x+2}{2x-3}$的值为0。
(2) 令分子$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
由分母$x+2≠0$，得$x≠-2$，
所以当$x=2$时，分式$\frac{|x|-2}{x+2}$的值为0。
(3) 令分子$x-3=0$，解得$x=3$。
当$x=3$时，分母$x^2-4=3^2-4=5≠0$，
所以当$x=3$时，分式$\frac{x-3}{x^2-4}$的值为0。
(4) 令分子$4x^2-9=0$，解得$x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{3}{2}$。
由分母$2x-3≠0$，得$x≠\frac{3}{2}$，
所以当$x=-\frac{3}{2}$时，分式$\frac{4x^2-9}{2x-3}$的值为0。
(1) 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$。
当$x=-2$时，分母$2x-3=2×(-2)-3=-7≠0$，
所以当$x=-2$时，分式$\frac{x+2}{2x-3}$的值为0。
(2) 令分子$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
由分母$x+2≠0$，得$x≠-2$，
所以当$x=2$时，分式$\frac{|x|-2}{x+2}$的值为0。
(3) 令分子$x-3=0$，解得$x=3$。
当$x=3$时，分母$x^2-4=3^2-4=5≠0$，
所以当$x=3$时，分式$\frac{x-3}{x^2-4}$的值为0。
(4) 令分子$4x^2-9=0$，解得$x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{3}{2}$。
由分母$2x-3≠0$，得$x≠\frac{3}{2}$，
所以当$x=-\frac{3}{2}$时，分式$\frac{4x^2-9}{2x-3}$的值为0。
13. (★★)已知当$x=-4$时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$无意义；当$x=2$时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$的值为0. 求$\frac{a}{a+b}$的值.
答案
解：
因为当$x=-4$时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$无意义，
所以此时分母$2x+a=0$，
将$x=-4$代入得：$2×(-4)+a=0$，
解得$a=8$。
因为当$x=2$时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$的值为0，
所以此时分子$x-b=0$，且分母不为0，
将$x=2$代入$x-b=0$得：$2-b=0$，
解得$b=2$，
此时分母$2×2 +8=12≠0$，符合条件。
将$a=8$，$b=2$代入$\frac{a}{a+b}$，得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{8}{8+2}=\frac{4}{5}$。
因为当$x=-4$时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$无意义，
所以此时分母$2x+a=0$，
将$x=-4$代入得：$2×(-4)+a=0$，
解得$a=8$。
因为当$x=2$时，分式$\frac{x-b}{2x+a}$的值为0，
所以此时分子$x-b=0$，且分母不为0，
将$x=2$代入$x-b=0$得：$2-b=0$，
解得$b=2$，
此时分母$2×2 +8=12≠0$，符合条件。
将$a=8$，$b=2$代入$\frac{a}{a+b}$，得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{8}{8+2}=\frac{4}{5}$。
14. (★★)有两块棉田,第一块x亩,亩产量m kg,第二块y亩,亩产量n kg,则这两块棉田平均亩产量是kg.
答案
$\boldsymbol{\dfrac{mx+ny}{x+y}}$
解析
解：
第一块棉田的总产量为 $mx\ \mathrm{kg}$，
第二块棉田的总产量为 $ny\ \mathrm{kg}$，
两块棉田的总产量为 $(mx + ny)\ \mathrm{kg}$，
两块棉田的总亩数为 $(x + y)$ 亩，
因此两块棉田的平均亩产量为 $\frac{mx + ny}{x + y}\ \mathrm{kg}$。
最终
第一块棉田的总产量为 $mx\ \mathrm{kg}$，
第二块棉田的总产量为 $ny\ \mathrm{kg}$，
两块棉田的总产量为 $(mx + ny)\ \mathrm{kg}$，
两块棉田的总亩数为 $(x + y)$ 亩，
因此两块棉田的平均亩产量为 $\frac{mx + ny}{x + y}\ \mathrm{kg}$。
最终
15. (★)若分式$\frac{x}{3-x}$有意义，则下列说法错误的是 【 】
A.当$x＜3$时，分式的值为正
B.当$x=3$时，分式无意义
C.当$x=0$时，分式的值为0
D.当$x=\frac{3}{2}$时，分式的值为1
A.当$x＜3$时，分式的值为正
B.当$x=3$时，分式无意义
C.当$x=0$时，分式的值为0
D.当$x=\frac{3}{2}$时，分式的值为1
答案
A
解析
逐个分析各选项：
1. 分式$\frac{x}{3-x}$有意义的条件是分母$3-x≠0$，即$x≠3$。
2. 选项A：当$x＜3$时，$3-x＞0$，若$x≤0$，分子$x≤0$，此时分式的值$≤0$，并非恒为正，该说法错误。
3. 选项B：当$x=3$时，分母$3-x=0$，分式无意义，该说法正确。
4. 选项C：当$x=0$时，代入得$\frac{0}{3-0}=0$，分式的值为0，该说法正确。
5. 选项D：当$x=\frac{3}{2}$时，代入得$\frac{\frac{3}{2}}{3-\frac{3}{2}}=1$，分式的值为1，该说法正确。
1. 分式$\frac{x}{3-x}$有意义的条件是分母$3-x≠0$，即$x≠3$。
2. 选项A：当$x＜3$时，$3-x＞0$，若$x≤0$，分子$x≤0$，此时分式的值$≤0$，并非恒为正，该说法错误。
3. 选项B：当$x=3$时，分母$3-x=0$，分式无意义，该说法正确。
4. 选项C：当$x=0$时，代入得$\frac{0}{3-0}=0$，分式的值为0，该说法正确。
5. 选项D：当$x=\frac{3}{2}$时，代入得$\frac{\frac{3}{2}}{3-\frac{3}{2}}=1$，分式的值为1，该说法正确。
16. (★★★)若分式$\frac{6}{m+1}$的值是整数，则满足条件的所有正整数$m$的和等于 【 】
A.9
B.8
C.7
D.5
A.9
B.8
C.7
D.5
答案
B
解析
要使分式$\frac{6}{m+1}$的值为整数，且$m$是正整数，则$m+1$是6的正整数因数，且$m+1＞1$（因为正整数$m≥1$，故$m+1≥2$）。
6的正因数有1、2、3、6，其中大于1的因数为2、3、6：
当$m+1=2$时，$m=1$；
当$m+1=3$时，$m=2$；
当$m+1=6$时，$m=5$。
满足条件的正整数$m$为1、2、5，它们的和为$1+2+5=8$。
6的正因数有1、2、3、6，其中大于1的因数为2、3、6：
当$m+1=2$时，$m=1$；
当$m+1=3$时，$m=2$；
当$m+1=6$时，$m=5$。
满足条件的正整数$m$为1、2、5，它们的和为$1+2+5=8$。
