登录
1. (★)填空：$\frac{2}{5}$ $\frac{2×3}{5×3}$，$\frac{9}{12}$ $\frac{9÷3}{12÷3}$ $\frac{3}{4}$，$\frac{9b}{12a}$ $\frac{9b÷3}{12a÷3}$ $\frac{3b}{4a}$.(填“＞”“＜”或“=”)
答案
解：
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的数或整式，分式的值不变。
$\frac{2}{5} = \frac{2×3}{5×3}$，
$\frac{9}{12} = \frac{9÷3}{12÷3} = \frac{3}{4}$，
由分式$\frac{9b}{12a}$有意义可知$a≠0$，因此
$\frac{9b}{12a} = \frac{9b÷3}{12a÷3} = \frac{3b}{4a}$。
依次填入的符号为：$=$，$=$，$=$，$=$，$=$。
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的数或整式，分式的值不变。
$\frac{2}{5} = \frac{2×3}{5×3}$，
$\frac{9}{12} = \frac{9÷3}{12÷3} = \frac{3}{4}$，
由分式$\frac{9b}{12a}$有意义可知$a≠0$，因此
$\frac{9b}{12a} = \frac{9b÷3}{12a÷3} = \frac{3b}{4a}$。
依次填入的符号为：$=$，$=$，$=$，$=$，$=$。
2. (★)分式的基本性质为.
答案
解：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子可表示为$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$（其中$A,B,C$是整式，且$C≠0$）。
3. (★)使得等式$\frac{4}{7}=\frac{4× m}{7× m}$成立的$m$的取值范围为【 】
A.$m=0$
B.$m=1$
C.$m=0$或$m=1$
D.$m≠0$
A.$m=0$
B.$m=1$
C.$m=0$或$m=1$
D.$m≠0$
答案
D
解析
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变。若m=0，等式右侧的分母7×m=0，分式无意义，因此m的取值范围是m≠0。
4. (★)已知$n≠0$，$\frac{2m^2n}{5n^2}$与$\frac{2m^2}{5n}$相等吗？依据是什么？
答案
解：$\frac{2m^2n}{5n^2}$与$\frac{2m^2}{5n}$相等。
已知$n≠0$，根据分式的基本性质：分式的分子与分母同除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
将$\frac{2m^2n}{5n^2}$的分子、分母同时除以整式$n$，可得：
$\frac{2m^2n}{5n^2}=\frac{2m^2n÷ n}{5n^2÷ n}=\frac{2m^2}{5n}$
因此两个式子相等，依据是分式的基本性质。
已知$n≠0$，根据分式的基本性质：分式的分子与分母同除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
将$\frac{2m^2n}{5n^2}$的分子、分母同时除以整式$n$，可得：
$\frac{2m^2n}{5n^2}=\frac{2m^2n÷ n}{5n^2÷ n}=\frac{2m^2}{5n}$
因此两个式子相等，依据是分式的基本性质。
5. (★)下列分式化简结果等于$\frac{b}{a}$的是
【 】
A.$\frac{ab}{a^2}$
B.$-\frac{-b}{-a}$
C.$\frac{b-1}{a-1}$
D.$\frac{b^2}{a^2}$
【 】
A.$\frac{ab}{a^2}$
B.$-\frac{-b}{-a}$
C.$\frac{b-1}{a-1}$
D.$\frac{b^2}{a^2}$
答案
A
解析
根据分式的基本性质逐一化简判断各选项：
1. 选项A：$\frac{ab}{a^2}=\frac{a· b}{a· a}=\frac{b}{a}$（$a≠0$），符合要求；
2. 选项B：$-\frac{-b}{-a}=-\frac{b}{a}$，不符合要求；
3. 选项C：$\frac{b-1}{a-1}$的分子分母没有公因式，无法化简为$\frac{b}{a}$，不符合要求；
4. 选项D：$\frac{b^2}{a^2}=(\frac{b}{a})^2$，不等于$\frac{b}{a}$，不符合要求。
1. 选项A：$\frac{ab}{a^2}=\frac{a· b}{a· a}=\frac{b}{a}$（$a≠0$），符合要求；
2. 选项B：$-\frac{-b}{-a}=-\frac{b}{a}$，不符合要求；
3. 选项C：$\frac{b-1}{a-1}$的分子分母没有公因式，无法化简为$\frac{b}{a}$，不符合要求；
4. 选项D：$\frac{b^2}{a^2}=(\frac{b}{a})^2$，不等于$\frac{b}{a}$，不符合要求。
6. (★★)在括号里填上适当的整式:
(1) $\frac{3c}{2ab} = \frac{15ac}{(\quad)}$;
(2) $\frac{3xy}{x^2 - 2x} = \frac{(\quad)}{x - 2}$;
(3) $\frac{3ab}{a + b} = \frac{6a^2b}{(\quad)}$;
(4) $\frac{a + 2}{a^2 - 4} = \frac{1}{(\quad)}$.
(1) $\frac{3c}{2ab} = \frac{15ac}{(\quad)}$;
(2) $\frac{3xy}{x^2 - 2x} = \frac{(\quad)}{x - 2}$;
(3) $\frac{3ab}{a + b} = \frac{6a^2b}{(\quad)}$;
(4) $\frac{a + 2}{a^2 - 4} = \frac{1}{(\quad)}$.
答案
(1) $\boldsymbol{10a^2b}$；(2) $\boldsymbol{3y}$；(3) $\boldsymbol{2a^2+2ab}$；(4) $\boldsymbol{a-2}$。
解析
解：
(1) 分子$3c$乘$5a$得到$15ac$，根据分式的基本性质，分母$2ab$同时乘$5a$，得$2ab · 5a = 10a^2b$，括号内填$10a^2b$；
(2) 分母$x^2-2x = x(x-2)$，除以$x$得到$x-2$，根据分式的基本性质，分子$3xy$同时除以$x$，得$3xy ÷ x = 3y$，括号内填$3y$；
(3) 分子$3ab$乘$2a$得到$6a^2b$，根据分式的基本性质，分母$a+b$同时乘$2a$，得$(a+b) · 2a = 2a^2+2ab$，括号内填$2a^2+2ab$；
(4) 分母$a^2-4=(a+2)(a-2)$，分子$a+2$除以$(a+2)$得到1，根据分式的基本性质，分母同时除以$(a+2)$，得$(a^2-4)÷(a+2)=a-2$，括号内填$a-2$。
最终
(1) 分子$3c$乘$5a$得到$15ac$，根据分式的基本性质，分母$2ab$同时乘$5a$，得$2ab · 5a = 10a^2b$，括号内填$10a^2b$；
(2) 分母$x^2-2x = x(x-2)$，除以$x$得到$x-2$，根据分式的基本性质，分子$3xy$同时除以$x$，得$3xy ÷ x = 3y$，括号内填$3y$；
(3) 分子$3ab$乘$2a$得到$6a^2b$，根据分式的基本性质，分母$a+b$同时乘$2a$，得$(a+b) · 2a = 2a^2+2ab$，括号内填$2a^2+2ab$；
(4) 分母$a^2-4=(a+2)(a-2)$，分子$a+2$除以$(a+2)$得到1，根据分式的基本性质，分母同时除以$(a+2)$，得$(a^2-4)÷(a+2)=a-2$，括号内填$a-2$。
最终
7. (★★)分式变形$\frac{A}{x-2}=\frac{xy-2y}{x^2-4x+4}$中的整式A=，变形的依据是。
答案
解：
对等式右侧的分式进行变形：
$\because x^2-4x+4=(x-2)^2$，$xy-2y=y(x-2)$，
$\therefore \frac{xy-2y}{x^2-4x+4}=\frac{y(x-2)}{(x-2)^2}$，
对比$\frac{A}{x-2}=\frac{y(x-2)}{(x-2)^2}$，可得$A=y$。
变形的依据是：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
对等式右侧的分式进行变形：
$\because x^2-4x+4=(x-2)^2$，$xy-2y=y(x-2)$，
$\therefore \frac{xy-2y}{x^2-4x+4}=\frac{y(x-2)}{(x-2)^2}$，
对比$\frac{A}{x-2}=\frac{y(x-2)}{(x-2)^2}$，可得$A=y$。
变形的依据是：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
8. (★)下列分式从左到右的变形一定正确的是 【 】
A.$\frac{b+x}{a+y}=\frac{b}{a}$
B.$\frac{b}{2a}=\frac{bx}{2ax}$
C.$\frac{x-y}{x+y}=\frac{y-x}{x+y}$
D.$\frac{-x-y}{x+y}=-1$
A.$\frac{b+x}{a+y}=\frac{b}{a}$
B.$\frac{b}{2a}=\frac{bx}{2ax}$
C.$\frac{x-y}{x+y}=\frac{y-x}{x+y}$
D.$\frac{-x-y}{x+y}=-1$
答案
D
解析
根据分式的基本性质逐一分析选项：
1. 选项A：分式的分子、分母是分别加上x、y，并非同乘/除以同一个非零整式，变形错误。
2. 选项B：分子分母同乘x，但未说明x≠0，当x=0时右边分式无意义，变形不一定正确。
3. 选项C：右边分子y-x=-(x-y)，仅分子变为原分子的相反数，分母不变，分式值变为原分式的相反数，变形错误。
4. 选项D：由分式有意义可知x+y≠0，分子-x-y=-(x+y)，分子分母同除以非零整式x+y，得$\frac{-(x+y)}{x+y}=-1$，变形一定正确。
1. 选项A：分式的分子、分母是分别加上x、y，并非同乘/除以同一个非零整式，变形错误。
2. 选项B：分子分母同乘x，但未说明x≠0，当x=0时右边分式无意义，变形不一定正确。
3. 选项C：右边分子y-x=-(x-y)，仅分子变为原分子的相反数，分母不变，分式值变为原分式的相反数，变形错误。
4. 选项D：由分式有意义可知x+y≠0，分子-x-y=-(x+y)，分子分母同除以非零整式x+y，得$\frac{-(x+y)}{x+y}=-1$，变形一定正确。
9. (★★)若分式$\frac{A}{2x+y}$中的$x$和$y$都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则$A$可能是
【 】
A.$3x+2y$
B.$3x+3$
C.$2xy$
D.$3$
【 】
A.$3x+2y$
B.$3x+3$
C.$2xy$
D.$3$
答案
A
解析
根据分式的基本性质，当x和y都扩大为原来的3倍时，分母2x+y变为2·3x + 3y = 3(2x+y)，即分母扩大为原来的3倍。要使分式的值不变，分子A也需要扩大为原来的3倍。
逐一验证选项：
1. 选项A：若A=3x+2y，x、y扩大3倍后，A变为3·3x + 2·3y = 3(3x+2y)，是原A的3倍，符合要求；
2. 选项B：若A=3x+3，x、y扩大3倍后，A变为3·3x + 3 = 9x+3，不是原A的3倍，不符合要求；
3. 选项C：若A=2xy，x、y扩大3倍后，A变为2·3x·3y = 18xy，是原A的9倍，不符合要求；
4. 选项D：若A=3，x、y扩大3倍后，A仍为3，不是原A的3倍，不符合要求。
逐一验证选项：
1. 选项A：若A=3x+2y，x、y扩大3倍后，A变为3·3x + 2·3y = 3(3x+2y)，是原A的3倍，符合要求；
2. 选项B：若A=3x+3，x、y扩大3倍后，A变为3·3x + 3 = 9x+3，不是原A的3倍，不符合要求；
3. 选项C：若A=2xy，x、y扩大3倍后，A变为2·3x·3y = 18xy，是原A的9倍，不符合要求；
4. 选项D：若A=3，x、y扩大3倍后，A仍为3，不是原A的3倍，不符合要求。
