8.计算:(1)$2+2-4+6-8+10-12+\dots+98-100$;
(2)$1+2-3-4+5+6-7-8+\dots+2021+2022-2023$.

(1)$-48$
(2)$0$

【分析】
(1) 先观察算式结构，开头两个2相加得4，后续从-4开始相邻两个数为一组，每组的运算结果均为2，先计算分组的数量，再结合剩余项求总和即可。
(2) 观察算式的符号和数字规律，发现从第一个数开始每4个数为一个周期，每个周期的计算结果均为-4，先算出完整周期的数量，再计算剩余几项的和，最后合并所有结果即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4 + (-4+6) + (-8+10) + \dots + (-96+98) - 100\\&=4 + 2×24 - 100\\&=4 + 48 - 100\\&=-48\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1+2-3-4) + (5+6-7-8) + \dots + (2017+2018-2019-2020) + 2021 + 2022 - 2023\\&=(-4)×505 + (2021+2022-2023)\\&=-2020 + 2020\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1)$-48$；(2)$0$
【知识点】
有理数加减混合运算、分组简便运算、数字规律探究
【点评】
本题是有理数运算技巧的典型应用，核心是通过观察数字和符号的特征合理分组，将复杂的长式运算转化为简单的分组求和，大幅降低运算量。
【难度系数】
0.7

9. 观察以下等式：
第1个等式：$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3}$；
第2个等式：$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3} × \frac{1}{4}$；
第3个等式：$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4} × \frac{1}{5}$；
……
(1) 按照以上规律,请写出第4个等式：；
(2) 通过观察,计算 $1 × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{99} × \frac{1}{100}$ 的值。

(1)$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{5}×\frac{1}{6}$
(2)原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}.$

【分析】
（1）先观察已知的3个等式，可发现规律：第n个等式中，左边是$\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$，右边是$\frac{1}{n+1} × \frac{1}{n+2}$。求第4个等式时，代入n=4，即可得到对应式子。
（2）从前面的规律可推导得出通用公式：$\frac{1}{k}×\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$。所求式子的每一项都符合该公式的左边形式，将每一项拆分后，相邻的互为相反数的项会相互抵消，仅剩下首项和末项，直接计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据上述规律，第4个等式的被减数分母为$4+1=5$，减数分母为$5+1=6$，因此第4个等式为：$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{5}×\frac{1}{6}$。
(2) 根据规律$\frac{1}{k}×\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，对原式拆分得：
原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$
去掉括号后中间项相互抵消，可得：
原式$=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$
【答案】
(1)$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{5}×\frac{1}{6}$
(2)$\frac{99}{100}$
【知识点】
数字规律探究；裂项相消法；分数加减运算
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，需要先从已知等式中总结通用规律，再运用规律简化复杂运算，掌握裂项的核心逻辑是解题的关键。
【难度系数】
0.8

10.[材料阅读题]阅读下列材料：
计算：$\frac{1}{24}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$.
解法1：原式$=\frac{1}{24}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{24}÷\frac{1}{4}+\frac{1}{24}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{24}×3-\frac{1}{24}×4+\frac{1}{24}×12=\frac{11}{24}$.
解法2：原式$=\frac{1}{24}÷(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}+\frac{1}{12})=\frac{1}{24}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{24}×6=\frac{1}{4}$.
解法3：原式的倒数$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{24}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×24=\frac{1}{3}×24-\frac{1}{4}×24+\frac{1}{12}×24=4$，所以原式$=\frac{1}{4}$.
（1）上述三种解法得到的结果不同，你认为解法________是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$.

(1)1
(2) 原式的倒数 $= (\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}) ÷ (-\frac{1}{42}) = (\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}) × (-42) = -7+9-28+12=-14$,所以原式$=-\frac{1}{14}$.(解法不唯一)

【分析】
（1）首先明确运算律的适用范围：仅乘法存在分配律，除法没有分配律。解法1错误地给除法套用乘法分配律，将被除数分别除以括号内的每一项，不符合除法的运算规则，因此可直接判断解法1错误。
（2）观察第二问的算式，被除数是单个分数，除数是多个分数的加减混合运算，若先通分计算除数的结果再算除法，计算量较大。参考材料中的解法3（倒数法）更简便：先求原式的倒数，将除法转化为乘法后，即可运用乘法分配律简化计算，算出倒数的结果后再取倒数，就能得到原式的最终结果。
【解析】
（1）除法不满足分配律，不能将被除数分别分配给括号内的各项做除法运算，因此解法1是错误的。
（2）选用倒数法计算：
先计算原式的倒数：
$\begin{split}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}) ÷ (-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}) × (-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42) - \frac{3}{14}×(-42) + \frac{2}{3}×(-42) - \frac{2}{7}×(-42)\\=&-7+9-28+12\\=&-14\end{split}$
因为上述结果是原式的倒数，因此原式为$-14$的倒数，即$-\frac{1}{14}$。
【答案】
（1）$\boxed{1}$；（2）$\boxed{-\dfrac{1}{14}}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的认识
【点评】
本题重点考查有理数运算的规则和简便运算技巧，解题时要注意区分乘法和除法的运算律差异，切忌随意对除法套用分配律导致错误；对于除数为多个数加减的除法运算，采用倒数法可以将复杂的通分运算转化为简单的乘法分配律运算，大幅降低计算量，提高计算准确率。
【难度系数】
0.7