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1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（
A.$a^2(x+y)=a^2x+a^2y$
B.$a^2 -a -2 =a(a-1)-2$
C.$(b+3)(b-3)=b^2 -9$
D.$y^2 -4y +4=(y-2)^2$
D
）A.$a^2(x+y)=a^2x+a^2y$
B.$a^2 -a -2 =a(a-1)-2$
C.$(b+3)(b-3)=b^2 -9$
D.$y^2 -4y +4=(y-2)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断变形是否为因式分解，首先要牢记因式分解的核心判定标准：一是变形的对象必须是多项式，二是变形后的结果必须是几个整式的积的形式，两个条件同时满足才是因式分解。解题时我们可以用这两个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，该变形叫做因式分解。我们逐一分析选项：
选项A：左边是$a^2$与$(x+y)$的乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项B：右边为$a(a-1)-2$，最终形式是差的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的结果要求，排除；
选项C：左边是$(b+3)$与$(b-3)$的乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项D：左边是多项式$y^2-4y+4$，右边是$(y-2)^2$，即两个整式$(y-2)$的乘积，完全符合因式分解的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.9
要判断变形是否为因式分解，首先要牢记因式分解的核心判定标准：一是变形的对象必须是多项式，二是变形后的结果必须是几个整式的积的形式，两个条件同时满足才是因式分解。解题时我们可以用这两个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，该变形叫做因式分解。我们逐一分析选项：
选项A：左边是$a^2$与$(x+y)$的乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项B：右边为$a(a-1)-2$，最终形式是差的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的结果要求，排除；
选项C：左边是$(b+3)$与$(b-3)$的乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项D：左边是多项式$y^2-4y+4$，右边是$(y-2)^2$，即两个整式$(y-2)$的乘积，完全符合因式分解的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.9
2. 把多项式$6a^3b^2 - 3a^2b^2 - 12a^2b^3$因式分解时，应提取的公因式是（
A.$3a^2b$
B.$3ab^2$
C.$3a^3b^3$
D.$3a^2b^2$
D
）A.$3a^2b$
B.$3ab^2$
C.$3a^3b^3$
D.$3a^2b^2$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定多项式因式分解时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者组合得到的就是公因式。我们按照这个思路逐步分析题目中的多项式即可得到结果。
【解析】
对多项式$6a^3b^2 - 3a^2b^2 - 12a^2b^3$按规则找公因式：
1. 确定系数的最大公约数：各项系数为6、-3、-12，它们的最大公约数是3；
2. 确定相同字母的最低次幂：三项都含有的字母是$a$和$b$，其中$a$的次数分别为3、2、2，最低次幂为$a^2$；$b$的次数分别为2、2、3，最低次幂为$b^2$；
3. 将系数和字母部分组合，得到公因式为$3a^2b^2$。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础题型，主要考查提公因式法中公因式的判断方法，只要掌握找公因式的三步规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定多项式因式分解时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者组合得到的就是公因式。我们按照这个思路逐步分析题目中的多项式即可得到结果。
【解析】
对多项式$6a^3b^2 - 3a^2b^2 - 12a^2b^3$按规则找公因式：
1. 确定系数的最大公约数：各项系数为6、-3、-12，它们的最大公约数是3；
2. 确定相同字母的最低次幂：三项都含有的字母是$a$和$b$，其中$a$的次数分别为3、2、2，最低次幂为$a^2$；$b$的次数分别为2、2、3，最低次幂为$b^2$；
3. 将系数和字母部分组合，得到公因式为$3a^2b^2$。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础题型，主要考查提公因式法中公因式的判断方法，只要掌握找公因式的三步规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 把下列各式因式分解：
(1)$2x(b - c) - 4y(b - c)$；
(2)$m(a - 3) + 2(3 - a)$。
(1)$2x(b - c) - 4y(b - c)$；
(2)$m(a - 3) + 2(3 - a)$。
答案
(1) 原式=2(b−c)(x−2y)。
(2) 原式=(a−3)(m−2)。
(2) 原式=(a−3)(m−2)。
解析
【分析】
这两道因式分解题均采用提公因式法求解，解题思路如下：①先观察式子各项特征，判断是否存在公因式，若有相同公因式可直接提取；②若两项的相似因式符号相反，先通过符号变形统一为相同因式，再提取公因式。第(1)题两项都含有公因式$2(b-c)$，直接提取即可得到结果；第(2)题中$(3-a)$可变形为$-(a-3)$，变形后两项有公因式$(a-3)$，提取公因式后化简即可。
【解析】
(1) 观察原式$2x(b - c) - 4y(b - c)$，确定各项公因式为$2(b - c)$，提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(b - c)· x - 2(b - c)· 2y\\&=2(b - c)(x - 2y)\end{aligned}$
(2) 先对式子做符号变形，将$(3 - a)$改写为$-(a - 3)$，此时两项公因式为$(a - 3)$，提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=m(a - 3) + 2×[-(a - 3)]\\&=m(a - 3) - 2(a - 3)\\&=(a - 3)(m - 2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2(b−c)(x−2y)$；
(2) $(a−3)(m−2)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题时要注意先观察式子特征，若出现互为相反数的因式，可先调整符号统一公因式再提取，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这两道因式分解题均采用提公因式法求解，解题思路如下：①先观察式子各项特征，判断是否存在公因式，若有相同公因式可直接提取；②若两项的相似因式符号相反，先通过符号变形统一为相同因式，再提取公因式。第(1)题两项都含有公因式$2(b-c)$，直接提取即可得到结果；第(2)题中$(3-a)$可变形为$-(a-3)$，变形后两项有公因式$(a-3)$，提取公因式后化简即可。
【解析】
(1) 观察原式$2x(b - c) - 4y(b - c)$，确定各项公因式为$2(b - c)$，提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(b - c)· x - 2(b - c)· 2y\\&=2(b - c)(x - 2y)\end{aligned}$
(2) 先对式子做符号变形，将$(3 - a)$改写为$-(a - 3)$，此时两项公因式为$(a - 3)$，提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=m(a - 3) + 2×[-(a - 3)]\\&=m(a - 3) - 2(a - 3)\\&=(a - 3)(m - 2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2(b−c)(x−2y)$；
(2) $(a−3)(m−2)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题时要注意先观察式子特征，若出现互为相反数的因式，可先调整符号统一公因式再提取，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
4. 因式分解：$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$。
答案
原式=(x+y)²(x−y)²。
解析
【分析】
首先观察原式的结构，发现原式符合平方差公式的特征：两项均为平方形式且符号相反。首先将$4x^2y^2$变形为$(2xy)^2$，先利用平方差公式完成第一次因式分解，分解后得到的两个多项式刚好符合完全平方公式的特征，再分别用完全平方公式继续分解，直到每个因式都无法再分解为止。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&\quad(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2\\&=(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2\\&=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)\\&=(x+y)^2(x-y)^2\end{aligned}$
【答案】
$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是熟练掌握常见乘法公式的结构特征，因式分解时需注意要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
首先观察原式的结构，发现原式符合平方差公式的特征：两项均为平方形式且符号相反。首先将$4x^2y^2$变形为$(2xy)^2$，先利用平方差公式完成第一次因式分解，分解后得到的两个多项式刚好符合完全平方公式的特征，再分别用完全平方公式继续分解，直到每个因式都无法再分解为止。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&\quad(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2\\&=(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2\\&=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)\\&=(x+y)^2(x-y)^2\end{aligned}$
【答案】
$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是熟练掌握常见乘法公式的结构特征，因式分解时需注意要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
5. 简便计算：$1.2345^2 + 2.469 × 0.7655 + 0.7655^2$。
答案
5. 解:原式=(1.234 5+0.765 5)²=4。
解析
【分析】
解题时先观察式子的结构特征，首先可发现中间项2.469恰好是前项底数1.2345的2倍，此时式子可转化为$a^2+2ab+b^2$的标准形式，符合完全平方和公式的结构，因此可套用完全平方和公式将式子变形为$(a+b)^2$，再计算括号内的和后求平方即可，大幅简化计算过程。
【解析】
解：$\because 2.469 = 2×1.2345$
$\begin{aligned}\therefore 原式 &= 1.2345^2 + 2×1.2345×0.7655 + 0.7655^2 \\&= (1.2345 + 0.7655)^2 \\&= 2^2 \\&= 4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式，简便运算
【点评】
本题属于简便计算类基础题，核心考查对完全平方公式结构的掌握程度，解题关键是识别出式子中的倍数关系，凑出完全平方公式的形式，可有效避免直接计算乘方带来的繁琐运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
解题时先观察式子的结构特征，首先可发现中间项2.469恰好是前项底数1.2345的2倍，此时式子可转化为$a^2+2ab+b^2$的标准形式，符合完全平方和公式的结构，因此可套用完全平方和公式将式子变形为$(a+b)^2$，再计算括号内的和后求平方即可，大幅简化计算过程。
【解析】
解：$\because 2.469 = 2×1.2345$
$\begin{aligned}\therefore 原式 &= 1.2345^2 + 2×1.2345×0.7655 + 0.7655^2 \\&= (1.2345 + 0.7655)^2 \\&= 2^2 \\&= 4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式，简便运算
【点评】
本题属于简便计算类基础题，核心考查对完全平方公式结构的掌握程度，解题关键是识别出式子中的倍数关系，凑出完全平方公式的形式，可有效避免直接计算乘方带来的繁琐运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
6. 因式分解：
(1)$4x^3 - 8x^2 + 4x$；
(2)$a^2(x - y) + 16(y - x)$。
(1)$4x^3 - 8x^2 + 4x$；
(2)$a^2(x - y) + 16(y - x)$。
答案
解: (1) 原式=4x(x²−2x+1)=4x(x−1)²。
(2) 原式=(x−y)(a+4)(a−4)。
(2) 原式=(x−y)(a+4)(a−4)。
解析
【分析】
因式分解的常规解题顺序为“先提取公因式，再套用公式分解，最后检查是否分解彻底”。
(1) 先观察多项式各项，找到公因式4x，提取公因式后得到的二次多项式可套用完全平方公式继续分解；
(2) 先将式子中的(y-x)变形为-(x-y)，统一公因式(x-y)后提取，剩余的二项式可套用平方差公式继续分解，过程中注意符号变化。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$4x$：
原式$=4x(x^2-2x+1)$
第二步对括号内的二次三项式用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$=4x(x-1)^2$
(2) 第一步统一公因式，将$16(y-x)$转化为$-16(x-y)$：
原式$=a^2(x-y)-16(x-y)$
第二步提取公因式$(x-y)$：
$=(x-y)(a^2-16)$
第三步对括号内的二项式用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$=(x-y)(a+4)(a-4)$
【答案】
(1) $4x(x-1)^2$；(2) $(x-y)(a+4)(a-4)$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题型，核心考查因式分解的基本步骤，解题时需注意公因式要提尽，分解要彻底，遇到形如$(x-y)$与$(y-x)$的互为相反数的因式时，要先统一形式再提取，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
因式分解的常规解题顺序为“先提取公因式，再套用公式分解，最后检查是否分解彻底”。
(1) 先观察多项式各项，找到公因式4x，提取公因式后得到的二次多项式可套用完全平方公式继续分解；
(2) 先将式子中的(y-x)变形为-(x-y)，统一公因式(x-y)后提取，剩余的二项式可套用平方差公式继续分解，过程中注意符号变化。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$4x$：
原式$=4x(x^2-2x+1)$
第二步对括号内的二次三项式用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$=4x(x-1)^2$
(2) 第一步统一公因式，将$16(y-x)$转化为$-16(x-y)$：
原式$=a^2(x-y)-16(x-y)$
第二步提取公因式$(x-y)$：
$=(x-y)(a^2-16)$
第三步对括号内的二项式用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$=(x-y)(a+4)(a-4)$
【答案】
(1) $4x(x-1)^2$；(2) $(x-y)(a+4)(a-4)$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题型，核心考查因式分解的基本步骤，解题时需注意公因式要提尽，分解要彻底，遇到形如$(x-y)$与$(y-x)$的互为相反数的因式时，要先统一形式再提取，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
7. 因为 $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$，这说明多项式 $x^2 + 2x - 3$ 有一个因式为 $x - 1$，我们把 $x = 1$ 代入此多项式，发现当 $x = 1$ 时，多项式的值为 0。利用上述阅读材料求解：
(1) 若 $x - 4$ 是多项式 $x^2 + kx + 8$ 的一个因式，求 $k$ 的值；
(2) 若 $x + 2$ 和 $x - 3$ 是多项式 $x^3 + mx^2 - 6x + n$ 的两个因式，求 $m$，$n$ 的值。
(1) 若 $x - 4$ 是多项式 $x^2 + kx + 8$ 的一个因式，求 $k$ 的值；
(2) 若 $x + 2$ 和 $x - 3$ 是多项式 $x^3 + mx^2 - 6x + n$ 的两个因式，求 $m$，$n$ 的值。
答案
解: (1) 由题意，得当x=4时，x²+kx+8=0，则16+4k+8=0，解得k=−6。
(2) 由题意，得当x=−2或x=3时，x³+mx²−6x+n=0，则$\begin{cases}-8+4m+12+n=0,\\27+9m-18+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n=0。\end{cases}$
(2) 由题意，得当x=−2或x=3时，x³+mx²−6x+n=0，则$\begin{cases}-8+4m+12+n=0,\\27+9m-18+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n=0。\end{cases}$
解析
【分析】
本题属于材料阅读类题目，解题核心是读懂题干给出的规律：若$(x-a)$是一个多项式的因式，则将$x=a$代入该多项式时，多项式的值为0。
(1) 已知$x-4$是多项式$x^2+kx+8$的因式，根据上述规律可知$x=4$时该多项式的值为0，将$x=4$代入多项式即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值。
(2) 已知$x+2$和$x-3$都是多项式的因式，同理可得$x=-2$和$x=3$时，该多项式的值都为0，将两个$x$值分别代入多项式，即可得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 由题意可得：若$x-4$是多项式$x^2+kx+8$的一个因式，则当$x=4$时，$x^2+kx+8=0$。
将$x=4$代入得：$4^2 + 4k + 8 = 0$
即$16 + 4k + 8 = 0$
化简得$4k = -24$
解得$k=-6$。
(2) 由题意可得：若$x+2$和$x-3$是多项式$x^3+mx^2-6x+n$的两个因式，则当$x=-2$和$x=3$时，$x^3+mx^2-6x+n=0$。
将$x=-2$代入得：$(-2)^3 + m×(-2)^2 -6×(-2) + n = 0$，即$-8 + 4m + 12 + n = 0$ ①
将$x=3$代入得：$3^3 + m×3^2 -6×3 + n = 0$，即$27 + 9m - 18 + n = 0$ ②
联立①②得方程组：
$\begin{cases}4m + n + 4 = 0 \\9m + n + 9 = 0 \end{cases}$
用②-①得：$5m + 5 = 0$，解得$m=-1$
将$m=-1$代入①得：$4×(-1) + n +4 =0$，解得$n=0$。
【答案】
(1) $k=-6$；
(2) $\begin{cases}m=-1 \\n=0 \end{cases}$
【知识点】
因式的性质；代数式求值；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是阅读型应用题，重点考查对材料中规律的理解与迁移应用能力，解题时只需将因式对应的$x$值代入多项式构造方程（组），即可快速求出参数值，是因式相关问题中常见的考法。
【难度系数】
0.7
本题属于材料阅读类题目，解题核心是读懂题干给出的规律：若$(x-a)$是一个多项式的因式，则将$x=a$代入该多项式时，多项式的值为0。
(1) 已知$x-4$是多项式$x^2+kx+8$的因式，根据上述规律可知$x=4$时该多项式的值为0，将$x=4$代入多项式即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值。
(2) 已知$x+2$和$x-3$都是多项式的因式，同理可得$x=-2$和$x=3$时，该多项式的值都为0，将两个$x$值分别代入多项式，即可得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 由题意可得：若$x-4$是多项式$x^2+kx+8$的一个因式，则当$x=4$时，$x^2+kx+8=0$。
将$x=4$代入得：$4^2 + 4k + 8 = 0$
即$16 + 4k + 8 = 0$
化简得$4k = -24$
解得$k=-6$。
(2) 由题意可得：若$x+2$和$x-3$是多项式$x^3+mx^2-6x+n$的两个因式，则当$x=-2$和$x=3$时，$x^3+mx^2-6x+n=0$。
将$x=-2$代入得：$(-2)^3 + m×(-2)^2 -6×(-2) + n = 0$，即$-8 + 4m + 12 + n = 0$ ①
将$x=3$代入得：$3^3 + m×3^2 -6×3 + n = 0$，即$27 + 9m - 18 + n = 0$ ②
联立①②得方程组：
$\begin{cases}4m + n + 4 = 0 \\9m + n + 9 = 0 \end{cases}$
用②-①得：$5m + 5 = 0$，解得$m=-1$
将$m=-1$代入①得：$4×(-1) + n +4 =0$，解得$n=0$。
【答案】
(1) $k=-6$；
(2) $\begin{cases}m=-1 \\n=0 \end{cases}$
【知识点】
因式的性质；代数式求值；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是阅读型应用题，重点考查对材料中规律的理解与迁移应用能力，解题时只需将因式对应的$x$值代入多项式构造方程（组），即可快速求出参数值，是因式相关问题中常见的考法。
【难度系数】
0.7
