1. 因式分解 $a^4 - 2a^2 + 1$ 的结果是 （）

A.$(a^2 + 1)^2$
B.$(a^2 - 1)^2$
C.$a^2(a^2 - 2)$
D.$(a + 1)^2(a - 1)^2$

1. D

【分析】
首先观察多项式的结构，$a^4$可以写成$(a^2)^2$，常数项是1，中间项是$-2a^2$，符合完全平方差公式的形式，可先利用完全平方公式进行第一次分解；得到结果后，检查因式是否还能继续分解，发现$a^2-1$符合平方差公式的形式，需要继续分解，直到每个因式都不能再分解为止，再对应选项选出正确答案。
【解析】
解：对$a^4 - 2a^2 + 1$因式分解：
第一步：利用完全平方差公式$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，令$x=a^2$，$y=1$，则：
$a^4 - 2a^2 + 1=(a^2)^2 - 2· a^2 · 1 + 1^2=(a^2 - 1)^2$
第二步：利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$继续分解$a^2-1$：
$a^2 - 1=(a+1)(a-1)$
第三步：代入上式可得：
$(a^2 - 1)^2=[(a+1)(a-1)]^2=(a+1)^2(a-1)^2$
注意选项B是未分解彻底的结果，不符合因式分解的要求，因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础题，易错点是容易忽略因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，误选未分解完全的B选项，解题时要养成分解后检查每个因式是否还能继续分解的习惯。
【难度系数】
0.7

2. 因式分解：$(a+1)(a+2)+\frac{1}{4}$。

解：原式=$a^2+3a+\frac{9}{4}=(a+\frac{3}{2})^2$。

【分析】
解决这道因式分解题，首先观察到原式含有多项式相乘的部分，第一步应该先利用多项式乘多项式法则将乘积展开，再合并同类项整理为标准的二次三项式，之后观察整理后的式子是否符合完全平方公式的结构特征，若符合就可以套用完全平方公式完成因式分解。
【解析】
解：先展开多项式乘积，再合并同类项：
原式 = $a^2 + 2a + a + 2 + \frac{1}{4}$
= $a^2 + 3a + \frac{9}{4}$
观察所得二次三项式，$a^2=(a)^2$，$\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^2$，中间项$3a=2× a× \frac{3}{2}$，符合完全平方和公式的结构，因此：
原式 = $(a+\frac{3}{2})^2$
【答案】
$(a+\frac{3}{2})^2$
【知识点】
多项式乘多项式、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题核心是先将原式展开整理为标准多项式，再匹配对应的因式分解方法，计算时要注意常数项合并的准确性。
【难度系数】
0.8

例 下面是某同学对多项式$(x^2 - 4x + 2) · (x^2 - 4x + 6) + 4$进行因式分解的过程。
解：设$x^2 - 4x = y$，
则原式$=(y + 2)(y + 6) + 4$（第一步）
$= y^2 + 8y + 16$（第二步）
$= (y + 4)^2$（第三步）
$= (x^2 - 4x + 4)^2$（第四步）。
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用的因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请说明理由。
(3)请模仿以上方法尝试对多项式$(x^2 - 2x)(x^2 - 2x + 2) + 1$进行因式分解。

(1) 用到的是完全平方公式法。
(2) 不彻底。理由如下：
$\because (x^2 - 4x + 4)^2=(x - 2)^4$，
$\therefore$ 因式分解的结果不彻底。
(3) 设 $x^2 - 2x = y$，
则$(x^2 - 2x)(x^2 - 2x + 2) + 1$
$= y(y + 2) + 1$
$= y^2 + 2y + 1$
$= (y + 1)^2$
$= (x^2 - 2x + 1)^2$
$= (x - 1)^4$。

【分析】
(1) 先回忆因式分解的常用方法，观察第二步到第三步的式子结构：$y^2+8y+16$转化为$(y+4)^2$，符合完全平方公式的形式，即可判断所用方法。
(2) 明确因式分解的要求：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止，观察第四步结果$(x^2-4x+4)^2$，括号内的二次三项式还可继续用完全平方公式分解，即可判断分解是否彻底。
(3) 模仿例题的换元思路，将重复出现的$x^2-2x$整体设为$y$，代入原式化简后用完全平方公式分解，再将$y$换回关于$x$的式子，最后继续分解到不能再分解即可。
【解析】
(1) 第二步得到的$y^2+8y+16$是完全平方式，可写成$(y+4)^2$，因此第二步到第三步运用的因式分解方法是完全平方公式法。
(2) 该同学因式分解的结果不彻底。理由如下：
因式分解要求分解到每个因式都不能再分解为止，$x^2-4x+4$还可以分解为$(x-2)^2$，因此$(x^2 - 4x + 4)^2=[(x-2)^2]^2=(x-2)^4$，原结果未分解完全。
(3) 设 $x^2 - 2x = y$，
则$(x^2 - 2x)(x^2 - 2x + 2) + 1$
$= y(y + 2) + 1$
$= y^2 + 2y + 1$
$= (y + 1)^2$
将$y=x^2-2x$代回得：
原式$= (x^2 - 2x + 1)^2$
$=[(x-1)^2]^2= (x - 1)^4$。
【答案】
(1) 完全平方公式法
(2) 不彻底，$\because (x^2 - 4x + 4)^2=(x - 2)^4$，$\therefore$ 因式分解的结果不彻底
(3) $(x-1)^4$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、因式分解的要求
【点评】
本题通过换元法简化复杂多项式的因式分解过程，解题时要牢记因式分解的最终要求，避免出现分解不彻底的错误，换元法是处理重复结构多项式问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75

1. 若$9x^2+(k-2)x+16$能用完全平方公式因式分解，则$k$的值为 （）

A.$\pm24$
B.$\pm26$
C.$26$或$-22$
D.$-26$或$22$

1. C

【分析】
解决这道题首先要回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，因式分解结果对应$(a\pm b)^2$。第一步先确定给定式子中对应$a$和$b$的部分：首项$9x^2$是$(3x)^2$，末项$16$是$4^2$，因此中间项应该等于$\pm2×3x×4$，也就是$\pm24x$。接下来让题目给出的中间项$(k-2)x$和$\pm24x$对应相等，列出关于$k$的方程求解即可，注意要同时考虑正、负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：$\because$多项式$9x^2+(k-2)x+16$能用完全平方公式因式分解，完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
其中$9x^2=(3x)^2$，$16=4^2$，即$a=3x$，$b=4$
$\therefore$中间项$(k-2)x=\pm2×3x×4=\pm24x$，分两种情况讨论：
①当$(k-2)x=24x$时，$k-2=24$，解得$k=26$
②当$(k-2)x=-24x$时，$k-2=-24$，解得$k=-22$
综上，$k$的值为26或-22，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用，解题的核心是明确完全平方式存在“和的平方”和“差的平方”两种形式，切勿因忽略负号的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7

2. 已知 $ a - b = -3 $，则代数式 $ 2a^2 - 4ab + 2b^2 - 1 $ 的值为 （）

A.$-13$
B.$17$
C.$11$
D.$-19$

2. B

【分析】
解题时先观察代数式的结构特征，发现前三项都含有公因式2，先提取公因式，再结合完全平方公式将代数式变形为含有$(a-b)$的形式，最后将已知条件$a-b=-3$整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的数值，可简化计算过程。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}2a^2 - 4ab + 2b^2 - 1&=2(a^2 - 2ab + b^2) -1\\&=2(a-b)^2 -1\end{aligned}$
已知$a - b = -3$，将其代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-3)^2 -1\\&=2×9 -1\\&=18-1\\&=17\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过因式分解将原式转化为含已知条件的式子，利用整体代入思想避免单独求解未知数，是代数式求值类题的典型考法。
【难度系数】
0.7

请根据本课所学，构建知识体系。

解：
因式分解的综合应用完整知识体系如下：
1. 分解步骤
（1）提公因式：先确定多项式各项的公因式，公因式取各项系数的最大公约数与相同字母（或整式）最低次幂的乘积，将公因式完整提取，若多项式首项系数为负，先提出负号使括号内首项系数为正。
（2）套用公式：提取公因式后，若剩余部分为二项式且符合平方差特征，用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解；若剩余部分为三项式且符合完全平方特征，用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$分解。
（3）整理后再分解：将当前分解得到的各因式去括号、合并同类项整理，若整理后的因式仍具备可因式分解的特征，继续选择合适的方法分解。
（4）彻底分解：确保最终得到的所有因式都是无法再继续分解的整式，结果化为最简的整式乘积形式，各因式首项一般为正。
2. 常见应用
① 简便运算：利用因式分解将复杂的有理数运算转化为易计算的整数乘积形式，简化运算过程；
② 代数式求值：对已知条件或待求代数式因式分解，通过整体代入快速求出代数式的值；
③ 整除性判断：通过因式分解将多项式变形，证明其可被指定整数或整式整除；
④ 代数证明：用于判断代数式的正负性、求解相关不定整数解等问题。

【分析】
本题要求构建因式分解综合应用的知识体系，解题时先依据思维导图框架拆分出两大核心模块：分解步骤、实际应用。针对分解步骤模块，依次细化4个环节的具体操作要求，明确每个步骤的操作要点、注意事项；针对应用模块，结合平时学习中因式分解的常见使用场景，分类梳理不同的应用方向并补充对应内容，即可形成完整的知识体系。
【解析】
我们按照“先搭框架、再填内容”的思路构建知识体系：
第一步：确定两大核心板块，即因式分解的步骤、因式分解的应用。
第二步：完善分解步骤的内容：提公因式环节先确定公因式，首项为负先提负号；提公因式后剩余部分符合公式特征则套用平方差或完全平方公式分解；分解后先整理因式，仍可分解的要继续分解；最终要保证所有因式都不能再分解，结果为最简整式乘积形式。
第三步：完善应用板块的内容：因式分解可用于简便运算、代数式求值、整除性判断、代数证明等场景，能简化代数问题的求解过程。
【答案】
解：
因式分解的综合应用完整知识体系如下：
1. 分解步骤
（1）提公因式：先确定多项式各项的公因式，公因式取各项系数的最大公约数与相同字母（或整式）最低次幂的乘积，将公因式完整提取，若多项式首项系数为负，先提出负号使括号内首项系数为正。
（2）套用公式：提取公因式后，若剩余部分为二项式且符合平方差特征，用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解；若剩余部分为三项式且符合完全平方特征，用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$分解。
（3）整理后再分解：将当前分解得到的各因式去括号、合并同类项整理，若整理后的因式仍具备可因式分解的特征，继续选择合适的方法分解。
（4）彻底分解：确保最终得到的所有因式都是无法再继续分解的整式，结果化为最简的整式乘积形式，各因式首项一般为正。
2. 常见应用
① 简便运算：利用因式分解将复杂的有理数运算转化为易计算的整数乘积形式，简化运算过程；
② 代数式求值：对已知条件或待求代数式因式分解，通过整体代入快速求出代数式的值；
③ 整除性判断：通过因式分解将多项式变形，证明其可被指定整数或整式整除；
④ 代数证明：用于判断代数式的正负性、求解相关不定整数解等问题。
【知识点】
因式分解的步骤；因式分解的应用；因式分解的方法
【点评】
本题考查对因式分解相关知识的归纳整理能力，能够帮助学生理清因式分解的操作流程，明确其在不同代数问题中的使用场景，是对整式运算相关知识的巩固与提升，学习过程中要注意牢记因式分解“分解彻底”的要求。
【难度系数】
0.7