1. 乘方定义:求几个相同因数的积的运算叫作，乘方的结果叫作。在 $a^n$ 中，a叫作，n叫作，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。

1. 乘方 幂 底数 指数

【分析】
本题考查有理数乘方的基础概念，属于识记类题型，解题时只需回忆课本中乘方的定义及各部分名称的相关概念，对应空缺位置逐一填写即可。首先回忆乘方的运算定义，再明确乘方结果的名称，最后对应$a^n$中两个部分的名称就能完成填空。
【解析】
根据乘方的定义：求几个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在表达式$a^n$中，$a$代表参与运算的相同因数，叫作底数，$n$代表相同因数的个数，叫作指数。因此四个空缺处依次填入对应概念即可。
【答案】
乘方；幂；底数；指数
【知识点】
1.乘方的定义 2.乘方各部分名称
【点评】
本题是乘方模块的基础概念题，核心考察对乘方相关基础术语的记忆掌握情况，是后续学习乘方运算、有理数混合运算的基础，需要熟练识记。
【难度系数】
0.9

3. 符号法则:①正数的任何次幂都是正数;②负数的奇次幂是，负数的偶次幂是；③0的正整数次幂还是0。

3. 负数 正数

【分析】
我们可以结合有理数乘法的符号规律来推导乘方的符号法则：乘方的本质是n个相同因数的乘法运算，判断负数乘方的符号时，只需要看负因数的个数也就是指数的奇偶性即可。当指数是奇数时，对应奇数个负数相乘；当指数是偶数时，对应偶数个负数相乘，再结合乘法符号规律就能得出结论。
【解析】
根据乘方的定义，乘方是若干个相同因数的乘法运算：
1. 当负数的指数是奇数时，相当于奇数个负数相乘，根据有理数乘法的符号规则，奇数个负因数相乘，积的符号为负，因此负数的奇次幂是负数；
2. 当负数的指数是偶数时，相当于偶数个负数相乘，根据有理数乘法的符号规则，偶数个负因数相乘，积的符号为正，因此负数的偶次幂是正数。
【答案】
负数；正数
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 乘方的符号法则
【点评】
本题是对乘方符号法则的基础考查，属于识记理解类知识点，结合乘法符号规律理解记忆即可，是后续开展有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

4. 平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是。

4. 0或1 0或±1

【分析】
解题时可以通过列举验证常见特殊有理数的乘方结果来推导答案：首先明确平方的运算规则是一个数与自身相乘，我们依次验证0、1、-1等特殊数的平方是否等于自身；再明确立方的运算规则是一个数连续三次与自身相乘，同样验证特殊数的立方是否等于自身，排除不符合的数即可得到结果。
【解析】
1. 求平方等于它本身的数：
根据平方的定义，分别计算特殊有理数的平方：
$0^2=0×0=0$，满足平方等于本身；
$1^2=1×1=1$，满足平方等于本身；
任意负数的平方都是正数，不可能等于负数本身，大于1的正数平方都大于自身，因此平方等于本身的数是0或1。
2. 求立方等于它本身的数：
根据立方的定义，分别计算特殊有理数的立方：
$0^3=0×0×0=0$，满足立方等于本身；
$1^3=1×1×1=1$，满足立方等于本身；
$(-1)^3=(-1)×(-1)×(-1)=-1$，满足立方等于本身；
绝对值大于1的数，立方的绝对值都大于自身的绝对值，因此立方等于本身的数是0或±1。
【答案】
0或1；0或±1
【知识点】
有理数乘方运算；平方的性质；立方的性质
【点评】
本题是乘方性质的基础考查题，解题时可通过验证0、±1这些特殊有理数的乘方结果快速得到答案，需要注意不要遗漏负数情况，尤其是求解立方等于本身的数时，容易漏掉-1这个结果。
【难度系数】
0.8

1. 刘徽的《九章算术注》中的“此积谓田幂”是数学文献中第一次出现“幂”字。
关于$(-3)^4=81$的正确说法是（）

A.-3是底数，4是幂
B.-3是底数，4是指数，81是幂
C.3是底数，4是指数，81是幂
D.-3是指数，4是底数，81是幂

1.B

【分析】
这道题考查有理数乘方的基本概念，解题时首先要明确乘方各部分的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在$a^n$中，$a$叫做底数，$n$叫做指数。接下来先确定$(-3)^4$的各部分：括号内的$-3$是整体的底数，4是指数，运算结果81是幂，再逐一对比选项排除错误选项即可。
【解析】
首先明确乘方的相关概念：形如$a^n$的式子中，$a$是底数，$n$是指数，$a^n$运算的结果叫做幂。
对各选项逐一分析：
A选项：4是指数，不是幂，该选项错误；
B选项：$(-3)^4$中，$-3$是底数，4是指数，运算结果81是幂，该选项正确；
C选项：底数是$-3$（括号内整体为底数），不是3，该选项错误；
D选项：$-3$是底数，4是指数，二者名称搞反，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方的概念，乘方各部分名称
【点评】
本题是基础概念考查题，需要注意当底数带有负号时，若负号和数字共同在括号内，则负号属于底数的一部分，要和不带括号的乘方表达式做好区分，熟记概念即可得分。
【难度系数】
0.9

2. $-3^2$可表示为 （）

A.$(-3)×2$
B.$-(3×3)$
C.$(-3)+(-3)$
D.$(-3)×(-3)$

2.B

【分析】
首先要明确有理数乘方的定义，关键是区分带负号的乘方中，负号是否属于底数：如果没有括号，负号不属于底数，指数仅作用在数字部分；如果负号在括号内，底数才是负数。解题时先确定$-3^2$的含义，再逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
根据有理数乘方的运算规则：不含括号时，$-3^2$的底数是3，负号是整个乘方结果的符号，因此$-3^2$表示3的平方的相反数，即：
$-3^2=-(3×3)$
逐一分析选项：
A. $(-3)×2=-6$，与$-3^2=-9$不相等，错误；
B. $-(3×3)=-9$，与$-3^2$的结果一致，正确；
C. $(-3)+(-3)=-6$，与$-3^2=-9$不相等，错误；
D. $(-3)×(-3)=9$，是$(-3)^2$的结果，与$-3^2$不相等，错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方的概念；乘方运算规则
【点评】
本题是乘方部分的基础易错题，核心考查对乘方底数的判断，做题时要重点注意：负号在括号内时，底数是负的整体；负号不在括号内时，底数仅为后面的正数，不要混淆两种形式的运算结果。
【难度系数】
0.7

3. 下列各组数中,其值相等的是 ()

A.$3^2$和$2^3$
B.$(-2)^2$和$-2^2$
C.$(-3)^3$和$-3^3$
D.$(-3×2)^2$和$-3^2×2^2$

3.C

【分析】
本题考查有理数乘方的运算，解题思路是分别计算每个选项中两个算式的结果，再对比结果是否相等即可。计算时要注意区分：①乘方的底数带括号时，括号内的整体是底数；②乘方的底数不带括号且前面有负号时，负号不属于底数，是乘方结果的符号，先算乘方再加负号；③有括号的混合运算先算括号内的部分。
【解析】
我们逐一计算每个选项的数值：
A选项：$3^2=3×3=9$，$2^3=2×2×2=8$，$9≠8$，故A不符合要求；
B选项：$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，$-2^2=-(2×2)=-4$，$4≠-4$，故B不符合要求；
C选项：$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，$-3^3=-(3×3×3)=-27$，$-27=-27$，故C符合要求；
D选项：$(-3×2)^2=(-6)^2=36$，$-3^2×2^2=-9×4=-36$，$36≠-36$，故D不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号判断，混合运算顺序
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点是混淆负号的位置，做题时只要牢牢把握乘方的定义，明确底数的范围，按照运算顺序计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8

4. 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二。如果这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过（）

A.1.5h
B.2h
C.3h
D.4h

4.B

【分析】
这道题是乘方在实际问题中的应用，解题思路可以分两步走：第一步先明确细菌分裂的规律，每分裂1次数量就变为原来的2倍，所以分裂n次后的总数量是2的n次方个；第二步先求出分裂到16个需要的分裂次数，再结合每次分裂间隔半小时，算出总时间即可。
【解析】
我们先梳理细菌分裂的数量变化规律：
初始状态（未分裂）：1个，即$2^0=1$；
分裂1次（半小时后）：2个，即$2^1=2$；
分裂2次（1小时后）：4个，即$2^2=4$；
分裂3次（1.5小时后）：8个，即$2^3=8$；
分裂4次（2小时后）：16个，即$2^4=16$。
要得到16个细菌需要分裂4次，每次分裂间隔0.5小时，总时间为$4×0.5=2$小时，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的乘方；乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的应用，解题的关键是理解分裂次数和细菌总数的乘方关系，计算总时间时要注意单次分裂的时间间隔是半小时，避免直接用分裂次数当小时数出错。
【难度系数】
0.8

5. $-3^4$的意义是 （）

A.4个-3相乘
B.4个-3相加
C.-3乘以4
D.$3^4$的相反数

5.D

【分析】
首先要明确有理数乘方的定义，注意区分带负号且无括号的乘方的底数：乘方运算的优先级高于负号，因此计算$-3^4$时先算$3^4$，再给结果加负号。接下来逐一分析每个选项对应的数学表达式，和$-3^4$的意义对比就能选出正确答案。
【解析】
首先回忆乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数。
1. 分析$-3^4$的意义：运算顺序上先算乘方再算负号，因此$-3^4=-(3^4)$，即表示$3^4$的相反数。
2. 逐个判断选项：
A选项：4个-3相乘对应的表达式是$(-3)^4$，和$-3^4$意义不同，错误；
B选项：4个-3相加对应的表达式是$(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=4×(-3)$，和乘方意义不符，错误；
C选项：-3乘以4对应的表达式是$-3×4$，和乘方意义不符，错误；
D选项：$3^4$的相反数就是$-(3^4)=-3^4$，意义匹配，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 有理数乘方的意义
2. 运算优先级
【点评】
本题是乘方部分的基础易错题，核心考查对乘方底数的判断，解题关键是区分$-3^4$和$(-3)^4$的差异，避免混淆有无括号时的底数范围。
【难度系数】
0.8

6. $-1^4$表示，其中底数是，指数是，最后运算结果是。

6. 1的4次方的相反数 1 4 -1

【分析】
遇到带负号的乘方类题目，首先要明确乘方的书写规则：负号如果没有被包含在乘方的括号里，乘方运算只作用于负号后面的数，负号是对乘方结果取相反数。解题时先判断式子的含义，再根据乘方$a^n$（a为底数，n为指数）的定义确定底数和指数，最后按照先乘方、再取相反数的顺序计算结果即可。
【解析】
1. 含义判断：$-1^4$中负号不在乘方括号内，因此它表示1的4次方的相反数；
2. 底数、指数识别：乘方运算部分为$1^4$，根据乘方的定义，底数是1，指数是4；
3. 结果计算：先算乘方$1^4=1×1×1×1=1$，再取相反数得$-1^4=-1$。
【答案】
1的4次方的相反数；1；4；-1
【知识点】
乘方的概念；有理数乘方运算
【点评】
本题是乘方章节的基础易错题，核心考查乘方的书写规范，需重点区分负号是否在括号内对底数取值、运算结果的影响，避免混淆$-1^n$和$(-1)^n$的差异。
【难度系数】
0.7

7. 计算：$-(-2)^2=$，$-(-2^2)=$，$-\dfrac{2^2}{3}=$。

7. -4 4 $-\dfrac{4}{3}$

【分析】
解决本题的核心是明确有理数乘方的底数，牢记运算顺序：先算乘方，再处理符号。首先要区分两类易混乘方：①$(-a)^2$的底数是$-a$，表示2个$-a$相乘；②$-a^2$的底数是$a$，表示$a$的平方的相反数，按照这个规则逐个计算三个式子即可。
【解析】
1. 计算$-(-2)^2$：
先算乘方：$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，再添加前面的负号，得$-(-2)^2=-4$；
2. 计算$-(-2^2)$：
先算括号内的乘方：$2^2=2×2=4$，因此括号内为$-4$，再计算外层符号：$-(-4)=4$；
3. 计算$-\dfrac{2^2}{3}$：
先算分子的乘方：$2^2=2×2=4$，因此原式$=-\dfrac{4}{3}$。
【答案】
$-4$；$4$；$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数符号法则
3. 有理数运算顺序
【点评】
本题是有理数乘方的基础题，易错点是混淆乘方的底数，尤其要注意负号在括号内和括号外时，乘方的底数完全不同，运算时一定要先确定底数，严格遵循先乘方后算符号的顺序，就能避免出错。
【难度系数】
0.7

8. 一根足够长的细绳通过一次对折就可以变成一根两股的细绳，再对折就变成了4股。照此方法，如果想要得到一根128股的粗绳，这根细绳需要对折次。

8. 7

【分析】
首先梳理对折次数和细绳股数的规律：每对折1次，细绳的股数就变为原来的2倍。对折1次股数是2=2¹，对折2次股数是4=2²，对折3次股数是8=2³，以此类推，对折n次的股数就是2ⁿ，我们只需找到n使得2ⁿ=128，就能求出对折次数。
【解析】
设对折n次后得到128股的粗绳，根据对折规律可得：
对折1次，股数为$2^1=2$；
对折2次，股数为$2^2=4$；
对折3次，股数为$2^3=8$；
……
对折n次，股数为$2^n$。
令$2^n=128$，因为$2^7=128$，所以$n=7$。
【答案】
7
【知识点】
有理数的乘方；规律探究
【点评】
本题是乘方在实际场景中的应用题目，解题关键是通过前几次对折的股数总结出对折次数和股数的对应关系，结合乘方的含义计算即可。
【难度系数】
0.8

9. 计算：$(-1)^{2026} - (-1)^{2025} = \_\_\_\_\_\_$。

9. 2

【分析】
解题时首先回忆-1的乘方规律：-1的偶次幂等于1，-1的奇次幂等于-1。先分别计算两个乘方的结果，再根据有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）计算最终结果即可。
【解析】
第一步，分别计算两个乘方的值：
① 2026是偶数，因此$(-1)^{2026}=1$；
② 2025是奇数，因此$(-1)^{2025}=-1$。
第二步，将两个结果代入原式计算：
$(-1)^{2026} - (-1)^{2025}=1 - (-1)=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
有理数的乘方运算；有理数的减法法则
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查特殊有理数-1的乘方性质和有理数减法的运算规则，熟练掌握相关性质和法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

10. 判断下列结果是正数还是负数。（用“＞”或“＜”连接）
(1)$2^6$ $0$;
(2)$(-\dfrac{2}{3})^{2027}$ $0$;
(3)$-(-6)^6$ $0$;
(4)$(\dfrac{2025}{2026}-\dfrac{2026}{2027})^{11}$ $0$。

10. (1)＞ (2)＜ (3)＜ (4)＜

【分析】
要判断各式与0的大小关系，核心是先确定乘方运算结果的正负，需遵循有理数乘方的符号规律：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。解题时先确定每个式子中乘方的底数正负，再看指数的奇偶性，有多重符号或括号内运算的先化简/计算括号内结果的正负，最后根据正数＞0、负数＜0完成比较。
【解析】
(1) 底数2是正数，根据正数的任何次幂都是正数，可得$2^6$是正数，正数都大于0，因此$2^6＞0$；
(2) 底数$-\dfrac{2}{3}$是负数，指数2027是奇数，根据负数的奇次幂是负数，可得$(-\dfrac{2}{3})^{2027}$是负数，负数都小于0，因此$(-\dfrac{2}{3})^{2027}＜0$；
(3) 先计算$(-6)^6$：底数$-6$是负数，指数6是偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知$(-6)^6$是正数；在正数前加负号后，$-(-6)^6$是负数，负数小于0，因此$-(-6)^6＜0$；
(4) 先计算括号内的结果：$\dfrac{2025}{2026}=1-\dfrac{1}{2026}$，$\dfrac{2026}{2027}=1-\dfrac{1}{2027}$，因为$\dfrac{1}{2026}＞\dfrac{1}{2027}$，所以$1-\dfrac{1}{2026}＜1-\dfrac{1}{2027}$，即$\dfrac{2025}{2026}-\dfrac{2026}{2027}＜0$；该式底数为负数，指数11是奇数，根据负数的奇次幂是负数，可得运算结果是负数，因此$(\dfrac{2025}{2026}-\dfrac{2026}{2027})^{11}＜0$。
【答案】
(1)＞ (2)＜ (3)＜ (4)＜
【知识点】
乘方的符号规律，有理数大小比较，分数大小比较
【点评】
本题是有理数乘方的基础题型，重点考查乘方结果的正负判断，解题关键是先明确底数的正负，再结合指数的奇偶性确定结果符号，计算时注意不要遗漏式子前的负号，也需掌握异分母分数大小比较的技巧。
【难度系数】
0.8

11. 如果 $a,b$ 满足 $(a+3)^2 + |b-2|=0$，那么 $a^b=$。

11. 9

【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：平方数和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。据此我们可以先列出关于a、b的一元一次方程，求出a、b的取值后，再代入有理数乘方的运算公式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 任何数的平方都是非负数，任何数的绝对值都是非负数，即$(a+3)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，
又
∵ $(a+3)^2 + |b-2|=0$，
∴ $a+3=0$，$b-2=0$，
解得：$a=-3$，$b=2$，
将a、b的值代入得：$a^b=(-3)^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考点是“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的规律，计算乘方时需注意负数的偶次幂是正数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8