11. 计算：
(1) $(1 - \frac{3}{4} + $$ - \frac{5}{8}) ÷ (-\frac{1}{24})$；
(2) $(-81) ÷ 2\frac{1}{4} × \frac{4}{9} ÷ (-15)$。

11. (1)原式=$(1-\frac{3}{4}+\frac{1}{6}-\frac{5}{8})×(-24)=(-24)×1-(-24)×\frac{3}{4}+(-24)×\frac{1}{6}-(-24)×\frac{5}{8}=-24+18-4+15=5$。
(2)原式=$81×\frac{4}{9}×\frac{4}{9}×\frac{1}{15}=\frac{16}{15}$。

【分析】
对于(1)，观察到除数是$-\frac{1}{24}$，根据有理数除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可将除法转化为乘法，且-24是括号内各分数分母4、6、8的公倍数，使用乘法分配律计算可以避免通分，简化运算步骤。对于(2)，先把带分数化为假分数，再将所有除法运算统一为乘法运算，先根据负因数的个数确定结果的符号，再约分计算绝对值即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1-\frac{3}{4}+\frac{1}{6}-\frac{5}{8})×(-24)\\&=1×(-24)-\frac{3}{4}×(-24)+\frac{1}{6}×(-24)-\frac{5}{8}×(-24)\\&=-24 + 18 - 4 + 15\\&=5\end{aligned}$
(2) 先将带分数$2\frac{1}{4}$化为假分数$\frac{9}{4}$，再将除法转化为乘法，原式负因数共2个，结果为正：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=81×\frac{4}{9}×\frac{4}{9}×\frac{1}{15}\\&=36×\frac{4}{9}×\frac{1}{15}\\&=16×\frac{1}{15}\\&=\frac{16}{15}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{\dfrac{16}{15}}$
【知识点】
有理数除法法则，乘法分配律，有理数混合运算
【点评】
这两道题是有理数乘除混合运算的常规题型，第一题运用乘法分配律可简化计算，避免通分的繁琐；第二题需注意先统一运算形式为乘法，先确定结果符号再计算绝对值，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7

12. 点A,B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：①$b - a ＜ 0$；②$a + b ＞ 0$；③$|a| ＜ |b|$；④$\frac{b}{a} ＞ 0$。其中正确的有（填序号）。

12. ①③

【分析】
首先观察数轴上点A、B的位置，确定a、b的取值范围：点B在-3左侧，可得$b ＜ -3$；点A在0和3之间，可得$0 ＜ a ＜ 3$。接下来根据有理数的加减乘除运算法则、绝对值的性质，逐个验证四个结论是否成立即可。
【解析】
解：由数轴可得：$ b ＜ -3 $，$ 0 ＜ a ＜ 3 $。
① $ b $是负数，$ a $是正数，负数减正数结果为负，因此$ b - a ＜ 0 $，故①正确；
② $ b ＜ -3 $，$ a ＜ 3 $，两数相加得$ a + b ＜ 3 + (-3) = 0 $，故②错误；
③ 由$ 0 ＜ a ＜ 3 $得$ |a| ＜ 3 $，由$ b ＜ -3 $得$ |b| ＞ 3 $，因此$ |a| ＜ |b| $，故③正确；
④ $ b $为负数，$ a $为正数，异号两数相除商为负，因此$ \frac{b}{a} ＜ 0 $，故④错误。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
数轴的应用；有理数运算法则；绝对值的性质
【点评】
本题是数轴与有理数运算的结合题，解题的核心是先通过数轴准确判断两个数的取值范围，再结合相关运算性质判断式子的正误，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7

13. 体育课上，老师对全班男同学进行了100米短跑测验，达标成绩为15秒，下表是某小组6名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩超过15秒，“-”表示成绩少于15秒。

问:(1)这个小组男生的达标成绩最好的同学为多少秒？
(2)这个小组男生的平均成绩是多少秒？

13. (1)要确定成绩最好的同学,用时要最少,因此所记录的成绩数值要最小,最小为“-1.3”,其实际表示的成绩为 $15+(-1.3)=13.7$(秒)。
答:这个小组男生的达标成绩最好的同学为 13.7 秒。
(2)$[(-0.7)+(+1)+(-1.3)+0+(-0.6)+0.4] ÷ 6=-0.2$(秒),$15+(-0.2)=14.8$(秒)。
答:这个小组男生的平均成绩是 14.8 秒。

【分析】
(1) 100米短跑用时越短成绩越好，题目中“+”表示用时比15秒多，“-”表示用时比15秒少，因此要找成绩最好的同学，只需找到最小的记录数值，再用基准成绩15秒加上该记录值即可得到对应实际成绩。
(2) 计算平均成绩时，可以先求所有记录值的平均数，再加上基准成绩15秒，该方法比先计算每人实际成绩再求平均更简便。
【解析】
(1) 对成绩记录排序得：$-1.3 ＜ -0.7 ＜ -0.6 ＜ 0 ＜ +0.4 ＜ +1$，最小记录值为$-1.3$，对应实际成绩为：
$15+(-1.3)=13.7$（秒）
答：这个小组男生的达标成绩最好的同学为13.7秒。
(2) 先计算成绩偏差总和：
$(-0.7)+(+1)+(-1.3)+0+(-0.6)+(+0.4)=-1.2$（秒）
再计算平均偏差：
$-1.2÷6=-0.2$（秒）
平均成绩为：
$15+(-0.2)=14.8$（秒）
答：这个小组男生的平均成绩是14.8秒。
【答案】
(1) 13.7秒
(2) 14.8秒
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减运算；有理数除法
【点评】
本题结合生活场景考查有理数的应用，解题核心是准确理解正负数的实际含义，计算时注意符号处理，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8

14. 阅读以下材料，完成相关的填空和计算。
(1)根据倒数的定义我们知道，若$(a+b)÷c=3$，则$c÷(a+b)=$。
(2)计算：$(-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{12})÷(-\dfrac{1}{36})$。
(3)根据以上信息可知$(-\dfrac{1}{36})÷(-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{12})=$。

14. (1)$\frac{1}{3}$ 解析:根据倒数的定义,若$(a+b)÷c=3$,则$c÷(a+b)=\frac{1}{3}$。故答案为$\frac{1}{3}$。
(2)原式=$(-\frac{2}{9}+\frac{1}{4}-\frac{5}{12})×(-36)=-\frac{2}{9}×(-36)+\frac{1}{4}×(-36)-\frac{5}{12}×(-36)=8-9+15=14$。
(3)$\frac{1}{14}$ 解析:因为$(-\frac{2}{9}+\frac{1}{4}-\frac{5}{12})÷(-\frac{1}{36})=14$,所以$(-\frac{1}{36})÷(-\frac{2}{9}+\frac{1}{4}-\frac{5}{12})=\frac{1}{14}$。故答案为$\frac{1}{14}$。

【分析】
1. 第(1)问：解题核心是运用倒数的定义，若两个非零数的商为k，则它们交换位置后的商为k的倒数。已知$(a+b)÷c=3$，将$a+b$整体看作一个数，$c$看作另一个数，直接求3的倒数即可得到结果。
2. 第(2)问：有理数的除法运算遵循“除以一个非零数等于乘这个数的倒数”的法则，先把除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算，比先计算括号内的和再做除法更简便，计算时注意符号的变化。
3. 第(3)问：观察算式可知，本问的被除数和除数恰好是第(2)问的除数和被除数，二者的商互为倒数，直接用第(2)问的结果求倒数即可，无需重复计算，简化运算过程。
【解析】
(1) 根据倒数的定义，若$(a+b)÷c=3$（$a+b≠0$），则$c÷(a+b)$是3的倒数，即$\frac{1}{3}$。
(2) 先将除法转化为乘法，再运用乘法分配律计算：
原式$=(-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{12})×(-36)$
$=-\dfrac{2}{9}×(-36)+\dfrac{1}{4}×(-36)-\dfrac{5}{12}×(-36)$
$=8 - 9 + 15$
$=14$
(3) 由第(2)问可知$(-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{12})÷(-\dfrac{1}{36})=14$，根据倒数的性质，两个非零数交换被除数和除数位置后的商互为倒数，因此$(-\dfrac{1}{36})÷(-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{12})=\frac{1}{14}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$14$；(3)$\frac{1}{14}$
【知识点】
倒数的定义；有理数的除法法则；乘法分配律
【点评】
本题侧重考查有理数运算的灵活应用，通过倒数性质可以避免重复运算，有效提升计算效率，同时提醒学生在计算有理数混合运算时，优先观察算式特征选择简便方法，注意运算过程中的符号判断。
【难度系数】
0.8

15. 定义:$a$是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的差倒数。例如:2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=-1$，$-1$的差倒数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$。已知$a_1=-\frac{1}{2}$，$a_2$是$a_1$的差倒数，$a_3$是$a_2$的差倒数，$a_4$是$a_3$的差倒数……以此类推，则$a_{2026}=$。

15. $-\frac{1}{2}$ 解析:$a_1=-\frac{1}{2}$,$a_2$ 是 $a_1$ 的差倒数,即 $a_2=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}$;$a_3$ 是 $a_2$ 的差倒数,即 $a_3=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$;$a_4$ 是 $a_3$ 的差倒数,即 $a_4=\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}$……以此类推。因为 2026÷3=675……1,所以 $a_{2026}=a_1=-\frac{1}{2}$。故答案为$-\frac{1}{2}$。

【分析】
解决本题首先要准确理解题目给出的“差倒数”的新定义，按照定义先计算出前几项的数值，观察数值的变化规律，找到循环周期；再用总项数除以周期，根据余数判断所求项对应的是周期内的第几个数，即可求出结果。
【解析】
根据差倒数的定义计算：
已知$a_1=-\frac{1}{2}$，
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$，
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$，
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}$，
可以发现数列以$-\frac{1}{2},\frac{2}{3},3$三个数为一个周期循环出现。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$a_{2026}$和周期内的第一个数相等，即$a_{2026}=a_1=-\frac{1}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
有理数的除法；新定义运算；数字规律探究
【点评】
本题属于新定义下的规律探究题，解题的核心是先读懂新运算的规则，通过计算前若干项归纳出数字的循环周期，再结合周期的特点求解目标项，能有效考查运算能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7