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12. 计算：
(1)$(-4)^4$与$-4^4$。
(2)$(-\dfrac{2}{3})^2$与$-\dfrac{2}{3^2}$。
(1)$(-4)^4$与$-4^4$。
(2)$(-\dfrac{2}{3})^2$与$-\dfrac{2}{3^2}$。
答案
(1)$(-4)^4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256,-4^4=-4×4×4×4=-256$。
(2)$(-\dfrac{2}{3})^2=(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{3})=\dfrac{4}{9},-\dfrac{2}{3^2}=-\dfrac{2}{3×3}=-\dfrac{2}{9}$。
(2)$(-\dfrac{2}{3})^2=(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{3})=\dfrac{4}{9},-\dfrac{2}{3^2}=-\dfrac{2}{3×3}=-\dfrac{2}{9}$。
解析
【分析】
解题的核心是先准确判定乘方的底数：若负数、分数被括号括起来作为整体在乘方的底数位置，底数就是括号内的全部数，乘方表示若干个括号内的数相乘；若没有括号，乘方的底数仅为乘方符号前紧邻的正数，前面的负号属于乘方结果的符号。明确底数后，再根据“乘方是n个相同因数的乘积”的定义计算即可。
【解析】
(1) 计算$(-4)^4$：底数为$-4$，表示4个$-4$相乘
$(-4)^4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256$
计算$-4^4$：底数为$4$，表示4个4相乘的相反数
$-4^4=-4×4×4×4=-256$
(2) 计算$(-\dfrac{2}{3})^2$：底数为$-\dfrac{2}{3}$，表示2个$-\dfrac{2}{3}$相乘
$(-\dfrac{2}{3})^2=(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{3})=\dfrac{4}{9}$
计算$-\dfrac{2}{3^2}$：底数为$3$，先算3的平方再取负
$-\dfrac{2}{3^2}=-\dfrac{2}{3×3}=-\dfrac{2}{9}$
【答案】
(1)$(-4)^4=256$，$-4^4=-256$；
(2)$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$-\dfrac{2}{3^2}=-\dfrac{2}{9}$
【知识点】
乘方的定义；底数的判定；乘方运算规则
【点评】
本题是乘方运算的基础易错题，重点考查带括号和不带括号的乘方运算的差异，解题时先明确底数再按定义运算，能有效规避符号、运算顺序类错误。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先准确判定乘方的底数：若负数、分数被括号括起来作为整体在乘方的底数位置，底数就是括号内的全部数，乘方表示若干个括号内的数相乘；若没有括号，乘方的底数仅为乘方符号前紧邻的正数，前面的负号属于乘方结果的符号。明确底数后，再根据“乘方是n个相同因数的乘积”的定义计算即可。
【解析】
(1) 计算$(-4)^4$：底数为$-4$，表示4个$-4$相乘
$(-4)^4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256$
计算$-4^4$：底数为$4$，表示4个4相乘的相反数
$-4^4=-4×4×4×4=-256$
(2) 计算$(-\dfrac{2}{3})^2$：底数为$-\dfrac{2}{3}$，表示2个$-\dfrac{2}{3}$相乘
$(-\dfrac{2}{3})^2=(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{3})=\dfrac{4}{9}$
计算$-\dfrac{2}{3^2}$：底数为$3$，先算3的平方再取负
$-\dfrac{2}{3^2}=-\dfrac{2}{3×3}=-\dfrac{2}{9}$
【答案】
(1)$(-4)^4=256$，$-4^4=-256$；
(2)$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$-\dfrac{2}{3^2}=-\dfrac{2}{9}$
【知识点】
乘方的定义；底数的判定；乘方运算规则
【点评】
本题是乘方运算的基础易错题，重点考查带括号和不带括号的乘方运算的差异，解题时先明确底数再按定义运算，能有效规避符号、运算顺序类错误。
【难度系数】
0.8
13. $(-2)^{2027} × (-\dfrac{1}{2})^{2026} =$
-2
。答案
13. -2
解析
【分析】
拿到这道题，首先观察算式的特点：两个乘方的底数-2和-1/2互为负倒数，乘积为1，且两个乘方的指数仅相差1。我们可以利用乘方的意义，把指数更大的$(-2)^{2027}$拆成$(-2)×(-2)^{2026}$，也就是1个-2乘2026个-2，此时算式就变成1个-2乘2026个-2再乘2026个-1/2。接下来根据乘法结合律，把2026个-2分别和2026个-1/2配对相乘，每对的乘积都是1，2026个1相乘结果还是1，最后用1乘剩下的-2就能得到最终结果，这样计算能避免直接算高次幂的复杂运算。
【解析】
解：根据乘方的意义拆分高次幂：
$(-2)^{2027} × (-\dfrac{1}{2})^{2026}$
$= (-2) × \underbrace{(-2) × (-2) × \dots × (-2)}_{2026个(-2)} × \underbrace{(-\dfrac{1}{2}) × (-\dfrac{1}{2}) × \dots × (-\dfrac{1}{2})}_{2026个(-\dfrac{1}{2})}$
根据乘法结合律，将2026组$(-2)×(-\dfrac{1}{2})$结合计算：
$= (-2) × \underbrace{[(-2)×(-\dfrac{1}{2})] × [(-2)×(-\dfrac{1}{2})] × \dots × [(-2)×(-\dfrac{1}{2})]}_{2026组}$
每组乘积为1，2026个1相乘仍为1：
$= (-2) × \underbrace{1 × 1 × \dots × 1}_{2026个1}$
$= (-2) × 1$
$= -2$
【答案】
-2
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法运算律；有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方运算的简便计算类题目，解题的关键是观察底数的特殊关系，通过拆分高次幂将算式转化为可配对计算的形式，简化运算过程，计算时要注意负数乘法的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
拿到这道题，首先观察算式的特点：两个乘方的底数-2和-1/2互为负倒数，乘积为1，且两个乘方的指数仅相差1。我们可以利用乘方的意义，把指数更大的$(-2)^{2027}$拆成$(-2)×(-2)^{2026}$，也就是1个-2乘2026个-2，此时算式就变成1个-2乘2026个-2再乘2026个-1/2。接下来根据乘法结合律，把2026个-2分别和2026个-1/2配对相乘，每对的乘积都是1，2026个1相乘结果还是1，最后用1乘剩下的-2就能得到最终结果，这样计算能避免直接算高次幂的复杂运算。
【解析】
解：根据乘方的意义拆分高次幂：
$(-2)^{2027} × (-\dfrac{1}{2})^{2026}$
$= (-2) × \underbrace{(-2) × (-2) × \dots × (-2)}_{2026个(-2)} × \underbrace{(-\dfrac{1}{2}) × (-\dfrac{1}{2}) × \dots × (-\dfrac{1}{2})}_{2026个(-\dfrac{1}{2})}$
根据乘法结合律，将2026组$(-2)×(-\dfrac{1}{2})$结合计算：
$= (-2) × \underbrace{[(-2)×(-\dfrac{1}{2})] × [(-2)×(-\dfrac{1}{2})] × \dots × [(-2)×(-\dfrac{1}{2})]}_{2026组}$
每组乘积为1，2026个1相乘仍为1：
$= (-2) × \underbrace{1 × 1 × \dots × 1}_{2026个1}$
$= (-2) × 1$
$= -2$
【答案】
-2
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法运算律；有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方运算的简便计算类题目，解题的关键是观察底数的特殊关系，通过拆分高次幂将算式转化为可配对计算的形式，简化运算过程，计算时要注意负数乘法的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
14. 假设一张厚度是0.1mm的纸连续对折始终是可能的。
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
(2)每层楼平均高度为3m，这张纸对折20次后约有多少层楼高？(提示：$2^{20}=1048576$，结果保留整数)
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
(2)每层楼平均高度为3m，这张纸对折20次后约有多少层楼高？(提示：$2^{20}=1048576$，结果保留整数)
答案
(1)$2^2×0.1=0.4(mm)$,即对折2次后,厚度为0.4mm。
(2)$2^{20}×0.1=104857.6(mm),104857.6mm=104.8576m$,$104.8576÷3≈35$(层)。
所以这张纸对折20次后约有35层楼高。
(2)$2^{20}×0.1=104857.6(mm),104857.6mm=104.8576m$,$104.8576÷3≈35$(层)。
所以这张纸对折20次后约有35层楼高。
解析
【分析】
解题首先要明确纸对折后的层数变化规律：每对折1次，纸的层数变为原来的2倍，对折n次后总层数为$2^n$，总厚度=单层厚度×总层数。(1)问直接代入n=2计算即可得到对折2次的厚度；(2)问先代入n=20算出总厚度，再将厚度单位从毫米换算为米，最后除以每层楼的高度，结果按要求保留整数即可，题目已给出$2^{20}$的数值，可直接使用。
【解析】
(1) 对折2次后，纸的总层数为$2^2$，总厚度计算如下：
$2^2×0.1=4×0.1=0.4(\mathrm{mm})$
(2) 对折20次后，先计算总厚度：
$2^{20}×0.1=1048576×0.1=104857.6(\mathrm{mm})$
进行单位换算：$1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$，因此$104857.6\mathrm{mm}=104857.6÷1000=104.8576\mathrm{m}$
计算对应的楼层数：$104.8576÷3≈35$（层）
【答案】
(1) 对折2次后，厚度为0.4mm；
(2) 这张纸对折20次后约有35层楼高。
【知识点】
乘方的实际应用；长度单位换算；近似数
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的应用，核心是归纳出对折n次后纸的层数为$2^n$的规律，计算时要注意统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确纸对折后的层数变化规律：每对折1次，纸的层数变为原来的2倍，对折n次后总层数为$2^n$，总厚度=单层厚度×总层数。(1)问直接代入n=2计算即可得到对折2次的厚度；(2)问先代入n=20算出总厚度，再将厚度单位从毫米换算为米，最后除以每层楼的高度，结果按要求保留整数即可，题目已给出$2^{20}$的数值，可直接使用。
【解析】
(1) 对折2次后，纸的总层数为$2^2$，总厚度计算如下：
$2^2×0.1=4×0.1=0.4(\mathrm{mm})$
(2) 对折20次后，先计算总厚度：
$2^{20}×0.1=1048576×0.1=104857.6(\mathrm{mm})$
进行单位换算：$1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$，因此$104857.6\mathrm{mm}=104857.6÷1000=104.8576\mathrm{m}$
计算对应的楼层数：$104.8576÷3≈35$（层）
【答案】
(1) 对折2次后，厚度为0.4mm；
(2) 这张纸对折20次后约有35层楼高。
【知识点】
乘方的实际应用；长度单位换算；近似数
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的应用，核心是归纳出对折n次后纸的层数为$2^n$的规律，计算时要注意统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.8
15. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统。约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制。也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几。为了区分不同
的进位制，常在数的右下角标明基数，例如$(1011)_2$就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数。
小贴士：同学们
$a^0=1(a≠0)$哦！
如十进制数3512可以表示成式子：
$3512=3×10^3+5×10^2+1×10^1+2×10^0$。
可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。
二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1。类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数。
根据上述材料，解答下列问题：
【理解】
(1)填空：
$(1011)_2=1×2^3+0×2^{—)}+\_\_\_\_\_\_×2^1+1×2^0=\_\_\_\_\_\_$。
(2)一个字长为7位的二进制数能表示的最大的十进制数是________。
【迁移】把十进制数25转化为二进制数。
【创新】把二进制数$(1011001)_2$转化为八进制数。
的进位制，常在数的右下角标明基数，例如$(1011)_2$就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数。
小贴士：同学们
$a^0=1(a≠0)$哦！如十进制数3512可以表示成式子：
$3512=3×10^3+5×10^2+1×10^1+2×10^0$。
可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。
二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1。类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数。
根据上述材料，解答下列问题：
【理解】
(1)填空：
$(1011)_2=1×2^3+0×2^{—)}+\_\_\_\_\_\_×2^1+1×2^0=\_\_\_\_\_\_$。
(2)一个字长为7位的二进制数能表示的最大的十进制数是________。
【迁移】把十进制数25转化为二进制数。
【创新】把二进制数$(1011001)_2$转化为八进制数。
答案
(1)$(1011)_2=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=11$。故答案为2；1；11。
(2)127
【迁移】因为$25=1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0$,所以把十进制数25转化为二进制数为$(11001)_2$。
【创新】二进制数$(1011001)_2$转化为十进制数为$1×2^6+0×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=89$,因为$89=1×8^2+3×8^1+1×8^0$,所以十进制89写成八进制为$(131)_8$,即二进制数$(1011001)_2$转化为八进制数为$(131)_8$。
(2)127
【迁移】因为$25=1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0$,所以把十进制数25转化为二进制数为$(11001)_2$。
【创新】二进制数$(1011001)_2$转化为十进制数为$1×2^6+0×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=89$,因为$89=1×8^2+3×8^1+1×8^0$,所以十进制89写成八进制为$(131)_8$,即二进制数$(1011001)_2$转化为八进制数为$(131)_8$。
解析
【分析】
这是一道结合进位制知识的材料阅读题，解题时先读懂材料给出的转换规则：几进制的数就可以表示为各数位数字乘基数的对应幂次的和（从右往左幂次从0开始依次递增）。①第(1)问直接套用二进制转十进制的规则补全式子计算即可；②第(2)问先明确7位最大二进制数所有数位都是1，再按规则转成十进制；③十进制转二进制时，可先把十进制数拆成多个2的幂的和，对应幂次有值的数位写1，无值写0就能得到二进制数；④二进制转八进制时，先转成十进制，再把十进制数拆成多个8的幂的和，同理就能得到八进制数。
【解析】
(1) 按照二进制数的表示规则，从左到右数位对应的2的幂次依次减1，因此第二个项的幂次为2，第三个项的数字为1，计算得：
$1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=8+0+2+1=11$
(2) 7位的最大二进制数是$(1111111)_2$，转换为十进制：
$(1111111)_2=1×2^6+1×2^5+1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0=64+32+16+8+4+2+1=127$
【迁移】将25拆分为2的幂的和：$25=16+8+1=1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0$，对应数位填写数字，得到二进制数为$(11001)_2$。
【创新】先将$(1011001)_2$转换为十进制：
$(1011001)_2=1×2^6+0×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=64+0+16+8+0+0+1=89$
再将89拆分为8的幂的和：$89=64+24+1=1×8^2+3×8^1+1×8^0$，对应数位填写数字，得到八进制数为$(131)_8$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{1}$；$\boxed{11}$
(2) $\boxed{127}$
【迁移】$\boxed{(11001)_2}$
【创新】$\boxed{(131)_8}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 进位制转换
3. 新信息迁移应用
【点评】
本题属于新定义类阅读题，以进位制转换为载体考查乘方的实际应用，需要先准确提取材料中的转换规则，再类比十进制计数方法完成不同进制的互转，出题形式灵活，侧重考查信息提取和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合进位制知识的材料阅读题，解题时先读懂材料给出的转换规则：几进制的数就可以表示为各数位数字乘基数的对应幂次的和（从右往左幂次从0开始依次递增）。①第(1)问直接套用二进制转十进制的规则补全式子计算即可；②第(2)问先明确7位最大二进制数所有数位都是1，再按规则转成十进制；③十进制转二进制时，可先把十进制数拆成多个2的幂的和，对应幂次有值的数位写1，无值写0就能得到二进制数；④二进制转八进制时，先转成十进制，再把十进制数拆成多个8的幂的和，同理就能得到八进制数。
【解析】
(1) 按照二进制数的表示规则，从左到右数位对应的2的幂次依次减1，因此第二个项的幂次为2，第三个项的数字为1，计算得：
$1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=8+0+2+1=11$
(2) 7位的最大二进制数是$(1111111)_2$，转换为十进制：
$(1111111)_2=1×2^6+1×2^5+1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0=64+32+16+8+4+2+1=127$
【迁移】将25拆分为2的幂的和：$25=16+8+1=1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0$，对应数位填写数字，得到二进制数为$(11001)_2$。
【创新】先将$(1011001)_2$转换为十进制：
$(1011001)_2=1×2^6+0×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=64+0+16+8+0+0+1=89$
再将89拆分为8的幂的和：$89=64+24+1=1×8^2+3×8^1+1×8^0$，对应数位填写数字，得到八进制数为$(131)_8$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{1}$；$\boxed{11}$
(2) $\boxed{127}$
【迁移】$\boxed{(11001)_2}$
【创新】$\boxed{(131)_8}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 进位制转换
3. 新信息迁移应用
【点评】
本题属于新定义类阅读题，以进位制转换为载体考查乘方的实际应用，需要先准确提取材料中的转换规则，再类比十进制计数方法完成不同进制的互转，出题形式灵活，侧重考查信息提取和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
