登录
3. 如图，已知：点E在正方形ABCD的边CB的延长线上，DE与边AB相交于点F，FG//BE，FG与AE相交于点G. 求证：GF=BF. 
（第3题）
（第3题）答案
3. 由$GF// AD$，知$\frac{GF}{AD}=\frac{EF}{ED}$. 因为四边形ABCD是正方形，所以$AB// CD$，从而$\frac{EF}{ED}=\frac{BF}{CD}$. 所以，$\frac{GF}{AD}=\frac{BF}{CD}$. 又由$AD=CD$，得$GF=BF$.
4. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上.
（1）如果$DE // BC$，且$S_{△ ADE}=4$，$S_{△ BCE}=24$，求$S_{△ BDE}$；
（2）如果$S_{△ ADE}=S_1$，$S_{△ BDE}=S_2$，那么当$S_{△ BCE}$与$S_1$、$S_2$满足什么等量关系时，DE与BC一定平行？
（1）如果$DE // BC$，且$S_{△ ADE}=4$，$S_{△ BCE}=24$，求$S_{△ BDE}$；
（2）如果$S_{△ ADE}=S_1$，$S_{△ BDE}=S_2$，那么当$S_{△ BCE}$与$S_1$、$S_2$满足什么等量关系时，DE与BC一定平行？
答案
4. (1) 由$DE// BC$，知$△ ADE∽△ ABC$，从而$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2$. 设$S_{△ BDE}=x$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABE}}=\frac{4}{x+4}$，$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{4+24+x}$，从而$\frac{4}{28+x}=(\frac{4}{x+4})^2$，解得$x=-12$(舍去)或$x=8$，即$S_{△ BDE}=8$.
(2) 当$DE// BC$时，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，又$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABE}}=\frac{AD}{AB}$，$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}=\frac{AE}{AC}$，得$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABE}}=\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}$，即$\frac{S_1}{S_1+S_2}=\frac{S_1+S_2}{S_1+S_2+S_{△ BCE}}$，因此$S_{△ BCE}=\frac{S_2(S_1+S_2)}{S_1}$. 反之，由$S_{△ BCE}=\frac{S_2(S_1+S_2)}{S_1}$，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，又$∠ A$是公共角，所以$△ ADE∽△ ABC$，从而$∠ ADE=∠ ABC$，因此$DE// BC$.
所以，当$S_{△ BCE}=\frac{S_2(S_1+S_2)}{S_1}$时，$DE// BC$.
(2) 当$DE// BC$时，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，又$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABE}}=\frac{AD}{AB}$，$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}=\frac{AE}{AC}$，得$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABE}}=\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}$，即$\frac{S_1}{S_1+S_2}=\frac{S_1+S_2}{S_1+S_2+S_{△ BCE}}$，因此$S_{△ BCE}=\frac{S_2(S_1+S_2)}{S_1}$. 反之，由$S_{△ BCE}=\frac{S_2(S_1+S_2)}{S_1}$，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，又$∠ A$是公共角，所以$△ ADE∽△ ABC$，从而$∠ ADE=∠ ABC$，因此$DE// BC$.
所以，当$S_{△ BCE}=\frac{S_2(S_1+S_2)}{S_1}$时，$DE// BC$.
