综合与应用
5. 如图，$△ ABC$是一块直角三角形空地的平面示意图，$∠ ABC=90°$，边$AB=8\ \mathrm{m}$，$BC=6\ \mathrm{m}$. 现要在空地内划出一个正方形区域建造水池，这个正方形的四个顶点必须在$△ ABC$的边上.
（1）在图(1)中画出一个符合要求的正方形，并求这个正方形的面积；
（2）再想一想其他画法，画在图(2)中，并求这个正方形的面积.

5. 提示：所作图形如所示.
设正方形的边长为$x\ \mathrm{m}$.
如图(1)，由$EF// BC$，知$△ AEF∽△ ABC$，得$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$，即$\frac{8-x}{8}=\frac{x}{6}$，解得$x=\frac{24}{7}$.
所以，图(1)中的正方形的边长为$\frac{24}{7}\ \mathrm{m}$，面积为$(\frac{24}{7})^2=\frac{576}{49}(\mathrm{m}^2)$.
如图(2)，过点$B$作$BN⊥ AC$，垂足为$N$.
由$∠ ABC=90°$，得$AC=10\ \mathrm{m}$. 又由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BN· AC=\frac{1}{2}AB· BC$，得$BN=4.8\ \mathrm{m}$.
由四边形$EFGH$为正方形，知$HE// AC$，从而$△ BHE∽△ BCA$，于是$\frac{BM}{BN}=\frac{HE}{CA}$，即$\frac{4.8-x}{4.8}=\frac{x}{10}$，解得$x=\frac{120}{37}$.
所以，图(2)中的正方形的边长为$\frac{120}{37}\ \mathrm{m}$，面积为$(\frac{120}{37})^2=\frac{14400}{1369}(\mathrm{m}^2)$.