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1. 三角形两边的和
大于
第三边，三角形两边的差小于
第三边。答案
1. 大于 小于
解析
【分析】
这道题考查三角形三边的基本关系，思考步骤如下：①回忆三角形的构成逻辑：两点之间线段最短，因此三角形中连接任意两个顶点的边的长度，一定小于另外两条边的长度之和，由此可得两边之和与第三边的关系；②对“两边之和大于第三边”的不等式做移项变形，就能推导出两边之差与第三边的关系，直接对应填空即可。
【解析】
设三角形的三边长分别为a、b、c：
1. 根据两点之间线段最短的基本事实，可得$a+b＞c$、$b+c＞a$、$a+c＞b$，因此三角形两边的和大于第三边；
2. 对上述不等式移项，比如由$a+b＞c$可得$a＞c-b$、$b＞c-a$，同理可推得任意两边的差都小于第三边。
因此两个空依次填大于、小于。
【答案】
大于 小于
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是对三角形三边基本性质的直接考察，属于基础识记类题型，熟练掌握该性质是后续解决三角形边长取值范围、判断三条线段能否构成三角形等问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形三边的基本关系，思考步骤如下：①回忆三角形的构成逻辑：两点之间线段最短，因此三角形中连接任意两个顶点的边的长度，一定小于另外两条边的长度之和，由此可得两边之和与第三边的关系；②对“两边之和大于第三边”的不等式做移项变形，就能推导出两边之差与第三边的关系，直接对应填空即可。
【解析】
设三角形的三边长分别为a、b、c：
1. 根据两点之间线段最短的基本事实，可得$a+b＞c$、$b+c＞a$、$a+c＞b$，因此三角形两边的和大于第三边；
2. 对上述不等式移项，比如由$a+b＞c$可得$a＞c-b$、$b＞c-a$，同理可推得任意两边的差都小于第三边。
因此两个空依次填大于、小于。
【答案】
大于 小于
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是对三角形三边基本性质的直接考察，属于基础识记类题型，熟练掌握该性质是后续解决三角形边长取值范围、判断三条线段能否构成三角形等问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
例1 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是(
A.2 cm，4 cm，6 cm
B.8 cm，7 cm，15 cm
C.3 cm，4 cm，5 cm
D.5 cm，5 cm，11 cm
例2 已知一个等腰三角形的腰长为5，则它的底边长可能为
C
).A.2 cm，4 cm，6 cm
B.8 cm，7 cm，15 cm
C.3 cm，4 cm，5 cm
D.5 cm，5 cm，11 cm
例2 已知一个等腰三角形的腰长为5，则它的底边长可能为
3
.(写一个即可)答案
例1 C 例2 答案不唯一，如：3
解析
【分析】
要解决这两道题，核心是运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，判断三条线段能否构成三角形时，只需验证较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可，因为如果短边之和都大于长边，其余两边之和必然大于第三边。对于例1，我们逐个对选项用该方法验证即可；对于例2，已知等腰三角形两腰长均为5，结合三边关系求出底边的取值范围，在范围内任选一个符合要求的数即可。
【解析】
例1解析
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：较短两边之和＞最长边时，可构成三角形。
选项A：较短两边为2cm、4cm，和为$2+4=6\mathrm{cm}$，等于最长边6cm，不满足要求，不能构成三角形；
选项B：较短两边为7cm、8cm，和为$7+8=15\mathrm{cm}$，等于最长边15cm，不满足要求，不能构成三角形；
选项C：较短两边为3cm、4cm，和为$3+4=7\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以构成三角形；
选项D：较短两边为5cm、5cm，和为$5+5=10\mathrm{cm}＜11\mathrm{cm}$，不满足要求，不能构成三角形。
例2解析
等腰三角形的两腰长度相等，已知腰长为5，设底边长为$a$，根据三边关系：
1. 两腰之和大于底边：$5+5＞a$，即$a＜10$；
2. 底边与一腰之和大于另一腰：$a+5＞5$，即$a＞0$。
因此底边长的取值范围是$0＜a＜10$，在该范围内任取一个正数即可，例如3。
【答案】
例1：C；例2：3（答案不唯一，大于0且小于10的正数均可）
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 等腰三角形的定义
【点评】
这两道题是三角形边的相关性质的基础考查题型，判断能否构成三角形时使用“短边之和大于最长边”的技巧可大幅提升解题速度，等腰三角形类题目要注意先明确腰长和底边长的对应关系，再结合三边关系求解，属于考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.85
要解决这两道题，核心是运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，判断三条线段能否构成三角形时，只需验证较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可，因为如果短边之和都大于长边，其余两边之和必然大于第三边。对于例1，我们逐个对选项用该方法验证即可；对于例2，已知等腰三角形两腰长均为5，结合三边关系求出底边的取值范围，在范围内任选一个符合要求的数即可。
【解析】
例1解析
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：较短两边之和＞最长边时，可构成三角形。
选项A：较短两边为2cm、4cm，和为$2+4=6\mathrm{cm}$，等于最长边6cm，不满足要求，不能构成三角形；
选项B：较短两边为7cm、8cm，和为$7+8=15\mathrm{cm}$，等于最长边15cm，不满足要求，不能构成三角形；
选项C：较短两边为3cm、4cm，和为$3+4=7\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以构成三角形；
选项D：较短两边为5cm、5cm，和为$5+5=10\mathrm{cm}＜11\mathrm{cm}$，不满足要求，不能构成三角形。
例2解析
等腰三角形的两腰长度相等，已知腰长为5，设底边长为$a$，根据三边关系：
1. 两腰之和大于底边：$5+5＞a$，即$a＜10$；
2. 底边与一腰之和大于另一腰：$a+5＞5$，即$a＞0$。
因此底边长的取值范围是$0＜a＜10$，在该范围内任取一个正数即可，例如3。
【答案】
例1：C；例2：3（答案不唯一，大于0且小于10的正数均可）
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 等腰三角形的定义
【点评】
这两道题是三角形边的相关性质的基础考查题型，判断能否构成三角形时使用“短边之和大于最长边”的技巧可大幅提升解题速度，等腰三角形类题目要注意先明确腰长和底边长的对应关系，再结合三边关系求解，属于考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.85
2. 将三根木条钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状
不会
改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形。答案
2. 不会
解析
【分析】
解题时首先定位考点为三角形的特性相关知识，回忆所学内容可知三角形具有稳定性，稳定性的核心含义是三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，即使受到外力扭动也不会发生形状改变，结合这一性质即可判断出结果。
【解析】
根据三角形的基本性质：三角形具有稳定性，当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小就唯一确定，受到外力扭动时不会发生形状改变，因此此处应填“不会”。
【答案】
不会
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是对三角形稳定性概念的基础考查，属于概念识记类题目，只要熟练掌握三角形的基本特性即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先定位考点为三角形的特性相关知识，回忆所学内容可知三角形具有稳定性，稳定性的核心含义是三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，即使受到外力扭动也不会发生形状改变，结合这一性质即可判断出结果。
【解析】
根据三角形的基本性质：三角形具有稳定性，当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小就唯一确定，受到外力扭动时不会发生形状改变，因此此处应填“不会”。
【答案】
不会
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是对三角形稳定性概念的基础考查，属于概念识记类题目，只要熟练掌握三角形的基本特性即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
例3 下列图形中，具有稳定性的是(
例4 安装空调外机时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是(
A.三角形两边的和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边的差小于第三边
D.直角三角形的性质
A
). 例4 安装空调外机时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是(
B
). A.三角形两边的和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边的差小于第三边
D.直角三角形的性质
答案
例3 A 例4 B
解析
【分析】
这两道题的核心考点是三角形的稳定性，解题思路如下：1. 首先明确三角形的特有性质：三角形具有稳定性，四边形及边数更多的多边形不具备稳定性，该性质多用于需要结构稳固的生活场景中。2. 解答例3时，只需判断各选项图形是否为三角形结构，具有三角形结构的图形就具备稳定性。3. 解答例4时，观察固定空调外机的支架构成了三角形结构，目的是让支架更稳固不易变形，对应三角形稳定性的性质，再匹配对应选项即可。
【解析】
例3
根据三角形的特性：三角形具有稳定性，其余多边形（如四边形等）不具有稳定性。观察选项中的图形，只有A选项的图形为三角形结构，因此具有稳定性，其余选项的图形不含有稳定的三角形结构，不具有稳定性，故选A。
例4
安装空调外机的固定支架形成了三角形结构，利用了三角形具有稳定性的特点，可使支架更加稳固、不易变形，该原理对应选项B。选项A、C的三角形三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，和结构稳固性无关；选项D的直角三角形性质与本题应用场景无关，因此选B。
【答案】
例3：A；例4：B
【知识点】
1. 三角形的稳定性
2. 几何图形的实际应用
【点评】
这两道题结合生活场景考查三角形稳定性的相关知识，属于基础应用类题目，掌握三角形稳定性的特征即可快速解题，同时体现了数学知识在生活中的实用性。
【难度系数】
0.9
这两道题的核心考点是三角形的稳定性，解题思路如下：1. 首先明确三角形的特有性质：三角形具有稳定性，四边形及边数更多的多边形不具备稳定性，该性质多用于需要结构稳固的生活场景中。2. 解答例3时，只需判断各选项图形是否为三角形结构，具有三角形结构的图形就具备稳定性。3. 解答例4时，观察固定空调外机的支架构成了三角形结构，目的是让支架更稳固不易变形，对应三角形稳定性的性质，再匹配对应选项即可。
【解析】
例3
根据三角形的特性：三角形具有稳定性，其余多边形（如四边形等）不具有稳定性。观察选项中的图形，只有A选项的图形为三角形结构，因此具有稳定性，其余选项的图形不含有稳定的三角形结构，不具有稳定性，故选A。
例4
安装空调外机的固定支架形成了三角形结构，利用了三角形具有稳定性的特点，可使支架更加稳固、不易变形，该原理对应选项B。选项A、C的三角形三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，和结构稳固性无关；选项D的直角三角形性质与本题应用场景无关，因此选B。
【答案】
例3：A；例4：B
【知识点】
1. 三角形的稳定性
2. 几何图形的实际应用
【点评】
这两道题结合生活场景考查三角形稳定性的相关知识，属于基础应用类题目，掌握三角形稳定性的特征即可快速解题，同时体现了数学知识在生活中的实用性。
【难度系数】
0.9
1. 下列长度的三条线段，可以组成三角形的是(
①1，2，3；②4，5，7；③5，13，19；④6，18，23.
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
D
).①1，2，3；②4，5，7；③5，13，19；④6，18，23.
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案
1. D
解析
【分析】
判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形三边关系，为了提高解题效率，无需验证三组两边之和的关系，只需比较两条较短线段的长度和与最长线段的大小即可：若较短两边之和大于最长边，即可组成三角形，反之则不能。接下来我们依次对4组线段逐一判断，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法如下：
①组：三条线段长为1，2，3，最长边为3，较短两边和为$1+2=3$，$3=3$，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
②组：三条线段长为4，5，7，最长边为7，较短两边和为$4+5=9$，$9＞7$，满足要求，可以组成三角形；
③组：三条线段长为5，13，19，最长边为19，较短两边和为$5+13=18$，$18＜19$，不满足要求，不能组成三角形；
④组：三条线段长为6，18，23，最长边为23，较短两边和为$6+18=24$，$24＞23$，满足要求，可以组成三角形。
综上，能组成三角形的是②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握简便判断方法可快速得出结论，做题时要注意不要混淆“两边之和大于第三边”的判断标准，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形三边关系，为了提高解题效率，无需验证三组两边之和的关系，只需比较两条较短线段的长度和与最长线段的大小即可：若较短两边之和大于最长边，即可组成三角形，反之则不能。接下来我们依次对4组线段逐一判断，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法如下：
①组：三条线段长为1，2，3，最长边为3，较短两边和为$1+2=3$，$3=3$，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
②组：三条线段长为4，5，7，最长边为7，较短两边和为$4+5=9$，$9＞7$，满足要求，可以组成三角形；
③组：三条线段长为5，13，19，最长边为19，较短两边和为$5+13=18$，$18＜19$，不满足要求，不能组成三角形；
④组：三条线段长为6，18，23，最长边为23，较短两边和为$6+18=24$，$24＞23$，满足要求，可以组成三角形。
综上，能组成三角形的是②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握简便判断方法可快速得出结论，做题时要注意不要混淆“两边之和大于第三边”的判断标准，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
2. 有如图所示的两种围篱笆的方法. 用第
一
种方法围篱笆更牢固，这是应用了三角形具有稳定性
的数学原理.答案
2. 一 三角形具有稳定性
解析
【分析】
要判断哪种围篱笆的方法更牢固，需要结合不同几何图形的特性分析：我们学过三角形具备不容易变形的特性，而四边形容易变形。先观察两种围法的结构：第一种围法的篱笆被分成多个三角形，第二种围法的篱笆被分成多个四边形，结合两种图形的特性即可得出结论。
【解析】
首先观察两种篱笆的结构：
1. 第一种围法中，篱笆的格子均为三角形结构；第二种围法中，篱笆的格子均为四边形（长方形）结构。
2. 根据几何图形的性质：三角形具有稳定性，受力后不容易发生变形；四边形具有不稳定性，受力后很容易变形。
因此第一种围篱笆的方法更牢固，应用的是三角形具有稳定性的数学原理。
【答案】
一；三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题是几何特性在生活中的实际应用类题目，难度较低，只要掌握三角形和四边形的基本特性，就能快速作答，生活中很多场景都会用到这两个特性，大家可以多留意观察。
【难度系数】
0.9
要判断哪种围篱笆的方法更牢固，需要结合不同几何图形的特性分析：我们学过三角形具备不容易变形的特性，而四边形容易变形。先观察两种围法的结构：第一种围法的篱笆被分成多个三角形，第二种围法的篱笆被分成多个四边形，结合两种图形的特性即可得出结论。
【解析】
首先观察两种篱笆的结构：
1. 第一种围法中，篱笆的格子均为三角形结构；第二种围法中，篱笆的格子均为四边形（长方形）结构。
2. 根据几何图形的性质：三角形具有稳定性，受力后不容易发生变形；四边形具有不稳定性，受力后很容易变形。
因此第一种围篱笆的方法更牢固，应用的是三角形具有稳定性的数学原理。
【答案】
一；三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题是几何特性在生活中的实际应用类题目，难度较低，只要掌握三角形和四边形的基本特性，就能快速作答，生活中很多场景都会用到这两个特性，大家可以多留意观察。
【难度系数】
0.9
3.（教材改编）（1）已知等腰三角形的一边长为3，一边长为4，则它的周长为
10或11
；（2）已知等腰三角形的一边长为4，一边长为10，则它的周长为24
。答案
3. (1)10或11 (2)24
解析
【分析】
解决本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系分析：首先等腰三角形的两条腰长度相等，因此已知两条不等的边长时，需分两种情况讨论：已知的两条边分别作为腰、作为底；其次三角形需满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况要先验证是否能构成三角形，不符合的情况舍去，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，验证：$3+3＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+4=10$；
②当腰长为4时，三角形三边长为4，4，3，验证：$3+4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$4+4+3=11$；
因此第一空填10或11。
（2）分两种情况讨论：
①当腰长为4时，三角形三边长为4，4，10，验证：$4+4=8＜10$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
②当腰长为10时，三角形三边长为10，10，4，验证：$4+10＞10$，满足三角形三边关系，此时周长为$10+10+4=24$；
因此第二空填24。
【答案】
(1)10或11；(2)24
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础题，易错点是容易忽略分类讨论，或者分类后忘记验证三角形三边关系，导致出现错解，做题时要注意养成先验证三边合法性再计算的习惯。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系分析：首先等腰三角形的两条腰长度相等，因此已知两条不等的边长时，需分两种情况讨论：已知的两条边分别作为腰、作为底；其次三角形需满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况要先验证是否能构成三角形，不符合的情况舍去，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，验证：$3+3＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+4=10$；
②当腰长为4时，三角形三边长为4，4，3，验证：$3+4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$4+4+3=11$；
因此第一空填10或11。
（2）分两种情况讨论：
①当腰长为4时，三角形三边长为4，4，10，验证：$4+4=8＜10$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
②当腰长为10时，三角形三边长为10，10，4，验证：$4+10＞10$，满足三角形三边关系，此时周长为$10+10+4=24$；
因此第二空填24。
【答案】
(1)10或11；(2)24
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础题，易错点是容易忽略分类讨论，或者分类后忘记验证三角形三边关系，导致出现错解，做题时要注意养成先验证三边合法性再计算的习惯。
【难度系数】
0.7
