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3.（广州期中）如图，一只手盖住了三角形的一部分，则该三角形是(
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
C
)。A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆三角形按角分类的判断规则：判断三角形的类型，只需确定它的最大内角的类型，即可对应得到三角形的类型。首先观察题图，被手遮盖后露出的角明显大于90°，属于钝角，说明这个三角形的最大内角是钝角，结合对应定义就能直接判断三角形的类型。
【解析】
1. 观察题图，三角形露出的角大于90°，属于钝角；
2. 根据三角形按角分类的定义：若三角形内有一个内角是钝角，该三角形就属于钝角三角形；
3. 因此该三角形为钝角三角形，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；钝角三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确识别露出角的类型，结合三角形按角分类的规则即可直接判断，无需考虑被遮盖的两个角的大小。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形按角分类的判断规则：判断三角形的类型，只需确定它的最大内角的类型，即可对应得到三角形的类型。首先观察题图，被手遮盖后露出的角明显大于90°，属于钝角，说明这个三角形的最大内角是钝角，结合对应定义就能直接判断三角形的类型。
【解析】
1. 观察题图，三角形露出的角大于90°，属于钝角；
2. 根据三角形按角分类的定义：若三角形内有一个内角是钝角，该三角形就属于钝角三角形；
3. 因此该三角形为钝角三角形，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；钝角三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确识别露出角的类型，结合三角形按角分类的规则即可直接判断，无需考虑被遮盖的两个角的大小。
【难度系数】
0.9
4. 如图，图中有
8
个三角形；其中以AB为边的三角形是 △ABO, △ABC, △ABD
；以$∠ ACB$为一个内角的三角形是 △BOC, △ABC
；在$△ BOC$中，边OC所对的角是 ∠OBC
，$∠ OCB$所对的边是 OB
。答案
8；△ABO, △ABC, △ABD；△BOC, △ABC；∠OBC；OB
解析
【分析】
解题时可按如下思路逐步推导：①数三角形个数时，要遵循有序计数的原则，先数单个的小三角形，再数由多个小三角形组合成的大三角形，避免漏数或重复计数；②找以指定边为边的三角形，只需筛选出包含这条边的所有三角形即可；③找以指定角为内角的三角形，筛选出包含该角的三角形即可；④三角形中某条边对应的角是不与这条边共顶点的角，某个角对应的边是不与这个角共顶点的边，据此可找到对应边和角。
【解析】
1. 计算三角形总数：
单个独立的小三角形有△AOB、△BOC、△COD、△DOA，共4个；
由2个小三角形拼成的大三角形有△ABC、△ABD、△BCD、△ACD，共4个；
总共有4+4=8个三角形。
2. 找以AB为边的三角形：包含AB边的三角形有△ABO、△ABC、△ABD。
3. 找以∠ACB为内角的三角形：包含∠ACB的三角形有△BOC、△ABC。
4. △BOC中，边OC的端点为O、C，剩余顶点为B，故OC所对的角是∠OBC；∠OCB的顶点为C，剩余两个顶点为O、B，故∠OCB所对的边是OB。
【答案】
8；△ABO, △ABC, △ABD；△BOC, △ABC；∠OBC；OB
【知识点】
三角形的概念，图形计数，三角形边角对应关系
【点评】
本题属于三角形基础概念的常规考查题，重点需要注意计数时按顺序进行，避免重复和遗漏，熟练掌握三角形边和角的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可按如下思路逐步推导：①数三角形个数时，要遵循有序计数的原则，先数单个的小三角形，再数由多个小三角形组合成的大三角形，避免漏数或重复计数；②找以指定边为边的三角形，只需筛选出包含这条边的所有三角形即可；③找以指定角为内角的三角形，筛选出包含该角的三角形即可；④三角形中某条边对应的角是不与这条边共顶点的角，某个角对应的边是不与这个角共顶点的边，据此可找到对应边和角。
【解析】
1. 计算三角形总数：
单个独立的小三角形有△AOB、△BOC、△COD、△DOA，共4个；
由2个小三角形拼成的大三角形有△ABC、△ABD、△BCD、△ACD，共4个；
总共有4+4=8个三角形。
2. 找以AB为边的三角形：包含AB边的三角形有△ABO、△ABC、△ABD。
3. 找以∠ACB为内角的三角形：包含∠ACB的三角形有△BOC、△ABC。
4. △BOC中，边OC的端点为O、C，剩余顶点为B，故OC所对的角是∠OBC；∠OCB的顶点为C，剩余两个顶点为O、B，故∠OCB所对的边是OB。
【答案】
8；△ABO, △ABC, △ABD；△BOC, △ABC；∠OBC；OB
【知识点】
三角形的概念，图形计数，三角形边角对应关系
【点评】
本题属于三角形基础概念的常规考查题，重点需要注意计数时按顺序进行，避免重复和遗漏，熟练掌握三角形边和角的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且满足$(a-2)^2 + |b-2| = 0$，则此三角形一定是(
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
A
).A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，求出a、b的边长，再根据三角形边长的关系判断三角形的形状。注意本题仅给出a、b的关系，未给出c的边长信息，因此只能判定两条边相等，无法判断是否为直角三角形或等边三角形。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值均为非负数，即$(a-2)^2≥0$，$|b-2|≥0$，且$(a-2)^2 + |b-2| = 0$
∴ $\begin{cases}a-2=0 \\ b-2=0\end{cases}$
解得 $a=2$，$b=2$
∴ $a=b$，即三角形有两条边长相等，因此该三角形是等腰三角形。
由于题目未给出边长c的取值，无法判断c是否等于2，也无法判断三边长是否满足勾股定理，因此不能判定为等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础型考题，将非负性的应用与三角形分类结合考查，易错点是忽略c的长度不确定，主观臆断c的取值，从而错选等边三角形或等腰直角三角形。
【难度系数】
0.75
解题时首先利用非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，求出a、b的边长，再根据三角形边长的关系判断三角形的形状。注意本题仅给出a、b的关系，未给出c的边长信息，因此只能判定两条边相等，无法判断是否为直角三角形或等边三角形。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值均为非负数，即$(a-2)^2≥0$，$|b-2|≥0$，且$(a-2)^2 + |b-2| = 0$
∴ $\begin{cases}a-2=0 \\ b-2=0\end{cases}$
解得 $a=2$，$b=2$
∴ $a=b$，即三角形有两条边长相等，因此该三角形是等腰三角形。
由于题目未给出边长c的取值，无法判断c是否等于2，也无法判断三边长是否满足勾股定理，因此不能判定为等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础型考题，将非负性的应用与三角形分类结合考查，易错点是忽略c的长度不确定，主观臆断c的取值，从而错选等边三角形或等腰直角三角形。
【难度系数】
0.75
6. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点P从点A出发，沿射线AB方向运动(点P不与点A，B重合)。运动开始后，在△PCB形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是(
A.直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等边三角形→直角三角形→等腰三角形
C.等边三角形→等腰三角形→直角三角形
D.等腰三角形→直角三角形→等边三角形
B
)。A.直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等边三角形→直角三角形→等腰三角形
C.等边三角形→等腰三角形→直角三角形
D.等腰三角形→直角三角形→等边三角形
答案
B
解析
【分析】
解题先从已知条件入手，先利用直角三角形的角度性质求出固定角∠B的度数，再按照点P从A出发沿射线AB运动的顺序，依次推导△PCB出现的特殊三角形：首先明确∠B=60°是固定值，结合特殊三角形的判定条件，逐步分析P在不同位置时△PCB的形状，还要注意P是沿射线运动，不要遗漏B点之后的运动区间。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，因此∠ABC=60°，且由直角三角形30°角的性质可得BC=$\frac{1}{2}$AB。
点P沿射线AB运动过程中：
1. 当P在AB线段上，且满足PB=BC时，因为∠B=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此此时△PCB是等边三角形，是第一个出现的特殊三角形；
2. P继续向B点运动，当∠CPB=90°时，△PCB有一个内角为直角，是直角三角形，是第二个出现的特殊三角形；
3. P经过B点后继续沿射线AB运动，此时∠CBP=180°-60°=120°，当满足BC=BP时，△PCB两边相等，是等腰三角形，是第三个出现的特殊三角形。
因此依次出现的特殊三角形为等边三角形→直角三角形→等腰三角形。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形30°角性质；等边三角形判定；等腰三角形判定
【点评】
本题结合动点场景考查特殊三角形的判定，需要对动点的运动过程进行分段分析，容易出错的点是忽略“射线AB”的条件，只考虑P在AB线段上的情况，解题时抓住固定角∠B=60°的特征分析，可降低推导难度。
【难度系数】
0.6
解题先从已知条件入手，先利用直角三角形的角度性质求出固定角∠B的度数，再按照点P从A出发沿射线AB运动的顺序，依次推导△PCB出现的特殊三角形：首先明确∠B=60°是固定值，结合特殊三角形的判定条件，逐步分析P在不同位置时△PCB的形状，还要注意P是沿射线运动，不要遗漏B点之后的运动区间。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，因此∠ABC=60°，且由直角三角形30°角的性质可得BC=$\frac{1}{2}$AB。
点P沿射线AB运动过程中：
1. 当P在AB线段上，且满足PB=BC时，因为∠B=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此此时△PCB是等边三角形，是第一个出现的特殊三角形；
2. P继续向B点运动，当∠CPB=90°时，△PCB有一个内角为直角，是直角三角形，是第二个出现的特殊三角形；
3. P经过B点后继续沿射线AB运动，此时∠CBP=180°-60°=120°，当满足BC=BP时，△PCB两边相等，是等腰三角形，是第三个出现的特殊三角形。
因此依次出现的特殊三角形为等边三角形→直角三角形→等腰三角形。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形30°角性质；等边三角形判定；等腰三角形判定
【点评】
本题结合动点场景考查特殊三角形的判定，需要对动点的运动过程进行分段分析，容易出错的点是忽略“射线AB”的条件，只考虑P在AB线段上的情况，解题时抓住固定角∠B=60°的特征分析，可降低推导难度。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在网格中，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形.
(1)以AB为一边可以画出
(2)以C为顶点可以画出
(1)以AB为一边可以画出
3
个三角形；(2)以C为顶点可以画出
6
个三角形.答案
(1)3 (2)6
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，首先明确固定边为AB，要构成三角形，第三个顶点需要满足和A、B两点不共线，从剩余的C、D、E三个点中判断，三个点均与AB不共线，每个点都能和AB组成一个三角形，数出符合条件的数量即可。
(2) 解决第二问时，首先固定顶点为C，需要从剩余的A、B、D、E四个点中任选2个作为另外两个顶点，只要这两个点和C不共线就能构成三角形，按顺序枚举所有两点组合，排除共线的情况（本题无共线情况），统计总数即可。
【解析】
(1) 以AB为一边时，第三个顶点可选C、D、E，对应得到△ABC、△ABD、△ABE，共3个三角形。
(2) 以C为顶点时，剩余点中任选两个的组合为：AB、AD、AE、BD、BE、DE，对应得到△ABC、△ADC、△AEC、△BDC、△BEC、△DEC，共6个三角形。
【答案】
(1)3；(2)6
【知识点】
三角形的定义、枚举法计数
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形的构成条件，解题时注意三点共线时无法构成三角形，按固定顺序枚举可以有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问时，首先明确固定边为AB，要构成三角形，第三个顶点需要满足和A、B两点不共线，从剩余的C、D、E三个点中判断，三个点均与AB不共线，每个点都能和AB组成一个三角形，数出符合条件的数量即可。
(2) 解决第二问时，首先固定顶点为C，需要从剩余的A、B、D、E四个点中任选2个作为另外两个顶点，只要这两个点和C不共线就能构成三角形，按顺序枚举所有两点组合，排除共线的情况（本题无共线情况），统计总数即可。
【解析】
(1) 以AB为一边时，第三个顶点可选C、D、E，对应得到△ABC、△ABD、△ABE，共3个三角形。
(2) 以C为顶点时，剩余点中任选两个的组合为：AB、AD、AE、BD、BE、DE，对应得到△ABC、△ADC、△AEC、△BDC、△BEC、△DEC，共6个三角形。
【答案】
(1)3；(2)6
【知识点】
三角形的定义、枚举法计数
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形的构成条件，解题时注意三点共线时无法构成三角形，按固定顺序枚举可以有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.8
8. 观察图形规律：
(1)图①中共有
(2)由以上规律进行猜想，第n个图中共有
(1)图①中共有
3
个三角形，图②中共有6
个三角形，图③中共有10
个三角形；(2)由以上规律进行猜想，第n个图中共有
$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
个三角形.(用含n的代数式表示)答案
(1)3 6 10 (2)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
解析
【分析】
数这类共顶点、底边在同一直线上的三角形个数时，三角形的总个数等于底边上线段的总个数。计数线段时可按“从小到大累加”的方法：若底边上有k条互不重叠的小线段，总线段数为$k+(k-1)+\dots+2+1=\frac{k(k+1)}{2}$。先分别数出3个图底边的小线段数量，计算得到对应三角形个数；再对比序号和结果的关系，推导第n个图的表达式。
【解析】
(1) 图①的底边上有2条互不重叠的小线段，三角形总个数为$2+1=3$；
图②的底边上有3条互不重叠的小线段，三角形总个数为$3+2+1=6$；
图③的底边上有4条互不重叠的小线段，三角形总个数为$4+3+2+1=10$。
(2) 观察规律：第1个图（n=1），三角形个数为$\frac{(1+1)(1+2)}{2}=3$；第2个图（n=2），三角形个数为$\frac{(2+1)(2+2)}{2}=6$；第3个图（n=3），三角形个数为$\frac{(3+1)(3+2)}{2}=10$。
由此可得，第n个图中三角形的个数为$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
(1) 3，6，10
(2) $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
三角形的概念，图形规律探究，线段计数
【点评】
本题核心是利用共顶点三角形的计数特征，将三角形计数转化为底边线段计数，再通过从特殊到一般的归纳方法推导通用规律，掌握线段计数方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
数这类共顶点、底边在同一直线上的三角形个数时，三角形的总个数等于底边上线段的总个数。计数线段时可按“从小到大累加”的方法：若底边上有k条互不重叠的小线段，总线段数为$k+(k-1)+\dots+2+1=\frac{k(k+1)}{2}$。先分别数出3个图底边的小线段数量，计算得到对应三角形个数；再对比序号和结果的关系，推导第n个图的表达式。
【解析】
(1) 图①的底边上有2条互不重叠的小线段，三角形总个数为$2+1=3$；
图②的底边上有3条互不重叠的小线段，三角形总个数为$3+2+1=6$；
图③的底边上有4条互不重叠的小线段，三角形总个数为$4+3+2+1=10$。
(2) 观察规律：第1个图（n=1），三角形个数为$\frac{(1+1)(1+2)}{2}=3$；第2个图（n=2），三角形个数为$\frac{(2+1)(2+2)}{2}=6$；第3个图（n=3），三角形个数为$\frac{(3+1)(3+2)}{2}=10$。
由此可得，第n个图中三角形的个数为$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
(1) 3，6，10
(2) $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
三角形的概念，图形规律探究，线段计数
【点评】
本题核心是利用共顶点三角形的计数特征，将三角形计数转化为底边线段计数，再通过从特殊到一般的归纳方法推导通用规律，掌握线段计数方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
