例3 如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，E是线段CD上一点，连接AE. 图中的直角三角形共有().

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

B

【分析】
要找出图中的直角三角形，首先回忆直角三角形的定义：有一个内角为直角的三角形是直角三角形。已知AD是BC边上的高，可得AD与BC垂直，即∠ADB、∠ADE、∠ADC都是直角，接下来只需找出所有包含这几个直角的三角形即可，注意按顺序数避免漏数或多数。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=∠ADE=∠ADC=90°。
包含直角的三角形分别为：
① Rt△ABD（直角为∠ADB）；
② Rt△ADE（直角为∠ADE）；
③ Rt△ADC（直角为∠ADC）。
综上，共有3个直角三角形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先根据高的性质确定所有直角的位置，再逐一找出对应的直角三角形，计数时按顺序梳理即可避免出错。
【难度系数】
0.8

例4（教材改编）如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，$BD=AD=DC=AC$。

(1)图中的等腰三角形有；
(2)图中的等边三角形有；
(3)等腰三角形ABD的腰为，底边为，底角为，顶角为。

(1)△ABD, △ACD (2)△ACD (3)AD, BD；AB；∠BAD, ∠B；∠ADB

【分析】
解题时先明确相关定义：等腰三角形是有两条边相等的三角形，其中相等的两条边为腰，剩余的边为底边，两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角；等边三角形是三条边都相等的三角形。结合题目给出的BD=AD=DC=AC的边长条件，依次判断三角形类型、对应识别等腰三角形各部分即可求解。
【解析】
(1) 根据等腰三角形的定义判断：
∵BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
∵AD=DC=AC，△ACD满足有两条边相等，
∴△ACD也是等腰三角形。
因此图中的等腰三角形为△ABD、△ACD。
(2) 根据等边三角形的定义判断：
∵AD=DC=AC，△ACD的三条边全部相等，因此图中的等边三角形为△ACD。
(3) 对等腰△ABD分析：
相等的两条边是AD、BD，即腰为AD、BD；剩余的边AB为底边；
腰和底边的夹角是底角，即底角为∠BAD、∠B；
两条腰的夹角是顶角，即顶角为∠ADB。
【答案】
(1)△ABD, △ACD (2)△ACD (3)AD, BD；AB；∠BAD, ∠B；∠ADB
【知识点】
等腰三角形的定义，等边三角形的定义，等腰三角形的相关概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等腰、等边三角形的定义和相关要素的掌握，只要准确记忆定义，结合已知的边长相等条件逐一排查就能顺利解题。
【难度系数】
0.9

1. (1)写出以D为顶点的三角形；
(2)△BDE和△ABD的公共边和公共角分别是什么？

1. 解：(1) △ADE，△ABD，△ACD，△BDE。(2)公共边是BD，公共角是∠B。

【分析】
(1) 要找出以D为顶点的三角形，首先明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形是三角形，只需逐一找出所有包含顶点D的三角形即可。
(2) 找两个三角形的公共边和公共角时，先分别列出两个三角形的所有边和内角，对比找出同时属于两个三角形的边和角即可。
【解析】
解：(1) 观察图形，逐个筛选含顶点D的三角形：
由顶点A、D、E可组成△ADE；由顶点A、B、D可组成△ABD；由顶点A、C、D可组成△ACD；由顶点B、D、E可组成△BDE，因此上述4个三角形都是以D为顶点的三角形。
(2) 先整理△BDE的边为BD、DE、BE，内角为∠B、∠BED、∠BDE；再整理△ABD的边为AB、BD、AD，内角为∠B、∠BAD、∠ADB。对比可知，两个三角形共有的边是BD，共有的角是∠B。
【答案】
(1) △ADE，△ABD，△ACD，△BDE。(2)公共边是BD，公共角是∠B。
【知识点】
三角形的概念，公共边与公共角识别
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对三角形构成要素的掌握和图形公共元素的识别能力，熟练掌握三角形的相关基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2.（教材改编）如图，已知$AE=BE=EF=AF=FC$，$AB=AC$，$AF ⊥ AB$，$AE ⊥ AC$，找出图中的等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形.

2. 解：等边三角形有△AEF；等腰三角形有△ABC，△ABE，△ACF，△AEF；直角三角形有△ABF，△ACE；钝角三角形有△ABC，△ABE，△ACF；锐角三角形有△AEF。

【分析】
解题时首先要明确等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形的定义，再结合题目给出的边相等、垂直的已知条件，先从边的关系入手判断等边、等腰三角形，再结合垂直条件判断直角三角形，最后通过三角形内角和计算各角的度数，判断钝角和锐角三角形，注意特殊三角形的从属关系，比如等边三角形属于特殊的等腰三角形，不要漏判。
【解析】
我们先明确各类三角形的定义：
① 等边三角形：三边都相等的三角形；
② 等腰三角形：有两条边相等的三角形；
③ 直角三角形：有一个角是直角的三角形；
④ 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；
⑤ 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
结合已知条件逐步判断：
1. 已知$AE=EF=AF$，满足三边相等，因此$△ AEF$是等边三角形，它的三个内角都是$60°$，同时属于等腰三角形、锐角三角形。
2. 等腰三角形判断：已知$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形；已知$AE=BE$，故$△ ABE$是等腰三角形；已知$AF=FC$，故$△ ACF$是等腰三角形；加上等边$△ AEF$，共4个等腰三角形。
3. 直角三角形判断：已知$AF ⊥ AB$，即$∠ BAF=90°$，因此$△ ABF$是直角三角形；已知$AE ⊥ AC$，即$∠ EAC=90°$，因此$△ ACE$是直角三角形。
4. 钝角三角形判断：由$∠ BAF=90°$，$∠ EAF=60°$，可得$∠ BAE=90°-60°=30°$，又$AE=BE$，故$∠ B=∠ BAE=30°$，同理可得$∠ C=30°$，因此$△ ABC$中$∠ BAC=180°-30°-30°=120°$，是钝角，$△ ABC$为钝角三角形；$△ ABE$中$∠ AEB=180°-30°-30°=120°$，是钝角，故$△ ABE$为钝角三角形；同理可得$△ ACF$中$∠ AFC=120°$，是钝角，故$△ ACF$为钝角三角形。
5. 锐角三角形：只有$△ AEF$的三个内角均为$60°$，全是锐角，因此是锐角三角形。
【答案】
等边三角形有$△ AEF$；等腰三角形有$△ ABC$，$△ ABE$，$△ ACF$，$△ AEF$；直角三角形有$△ ABF$，$△ ACE$；钝角三角形有$△ ABC$，$△ ABE$，$△ ACF$；锐角三角形有$△ AEF$。
【知识点】
三角形的分类；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题核心考查不同类型三角形的识别，解题关键是熟练掌握各类三角形的定义，结合已知的边的关系与垂直特征，通过内角和计算角度即可完成判断，要注意等边三角形是特殊的等腰三角形，避免漏判。
【难度系数】
0.7

1. 如图，图中共有三角形().

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

A

【分析】数三角形个数时要遵循有序计数的原则，防止重复或者遗漏。可以先找全所有单个的基础小三角形，再数由几个小三角形组合而成的大三角形，最后相加得到总个数。计数时要符合三角形的定义，即只有由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接围成的封闭图形才属于三角形。
【解析】我们按照从局部到整体的顺序计数：
1. 基础小三角形：由直接相邻的三条线段围成的三角形有$△ BOC$、$△ COD$，共2个；
2. 由2个基础小三角形拼成的三角形：$△ BCD$（由$△ BOC$和$△ COD$组合而成），共1个；
3. 更大的独立三角形：$△ ABD$、$△ ABC$，共2个；
总个数：$2+1+2=5$个。
【答案】A
【知识点】三角形的定义、图形计数
【点评】本题属于基础的几何计数题，重点考查对三角形概念的理解，只要按固定顺序有序计数就能正确得出结果，切忌无规律乱数导致漏数或多数。
【难度系数】0.8

2. 三角形的分类如图所示，则Q表示的是().

A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形

D

【分析】
解题时首先回忆三角形按边的分类规则：三角形按边的相等关系可分为两类，第一类是三边都不相等的三角形，第二类是等腰三角形；而等腰三角形中包含特殊的等边三角形（三边都相等，满足“至少两边相等”的等腰三角形定义）。观察题图，Q属于等腰三角形的子类，结合选项即可判断Q的类型。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
1. 三边都不相等的三角形；
2. 等腰三角形：可进一步分为①腰和底不相等的等腰三角形，②等边三角形（腰和底相等的等腰三角形，属于特殊的等腰三角形）。
题图中Q是等腰三角形包含的特殊类型，因此Q表示等边三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形的分类；等腰三角形；等边三角形
【点评】
本题考查三角形按边分类的相关概念，解题关键是理清各类三角形之间的从属关系，属于对基础概念的考查，熟记分类标准即可快速解题。
【难度系数】
0.9