1. 一种折叠凳及其侧面示意图如图所示，若$AC=BC=12\ \mathrm{cm}$，则折叠凳的宽$AB$可能为()。

A.$20\ \mathrm{cm}$
B.$24\ \mathrm{cm}$
C.$30\ \mathrm{cm}$
D.$36\ \mathrm{cm}$

1. A

【分析】
观察示意图可知，点A、B、C构成△ABC，已知AC和BC的长度，要求AB的取值，需用到三角形三边关系定理。首先回忆三角形三边满足的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们先根据已知的两条边长求出AB的取值范围，再结合实际结构排除三点共线的情况，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
在△ABC中，根据三角形三边关系：
两边之差＜第三边＜两边之和，
已知AC=BC=12cm，代入得：
$12-12 ＜ AB ＜ 12+12$，
即$0\ \mathrm{cm} ＜ AB ＜ 24\ \mathrm{cm}$。
当AB=24cm时，A、B、C三点共线，无法构成三角形，不符合折叠凳的实际结构，因此AB的长度需小于24cm。
观察选项，只有20cm在取值范围内。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题结合生活实际考查三角形三边关系的应用，解题的关键是结合图形确定三边的数量关系，同时注意结合实际情境排除三点共线的特殊情况，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8

2. 从长为8 cm，6 cm，5 cm，3 cm的四根木条中选取三根组成三角形，不同的选法有()。

A.1种
B.2种
C.3种
D.4种

2. C

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题时先列出从四根木条中选三根的所有可能组合，再逐一用三边关系验证，筛选出符合要求的组合即可。验证时可以直接比较较小两边的和与最大边的大小，若较小两边之和大于最大边，就能构成三角形，这样可简化计算。
【解析】
首先列出从4根木条中任选3根的所有组合，共4种：
1. 选8cm、6cm、5cm：较小两边为5cm、6cm，和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＞8$，满足三边关系，可构成三角形；
2. 选8cm、6cm、3cm：较小两边为3cm、6cm，和为$3+6=9\mathrm{cm}$，$9＞8$，满足三边关系，可构成三角形；
3. 选8cm、5cm、3cm：较小两边为3cm、5cm，和为$3+5=8\mathrm{cm}$，$8=8$，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
4. 选6cm、5cm、3cm：较小两边为3cm、5cm，和为$3+5=8\mathrm{cm}$，$8＞6$，满足三边关系，可构成三角形。
综上，符合要求的选法共有3种。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 枚举法应用
【点评】
本题重点考查三角形三边的判定规则，解题时需先完整枚举所有组合，再通过简便的验证方法筛选，要特别注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免遗漏或误判。
【难度系数】
0.7

3. 深中通道是集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是当前世界上综合建设难度最大的跨海集群工程. 其中，桥梁段组成部分的中山大桥全长1 170 m，是双塔斜拉式桥. 斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是().

A.三角形两边的和大于第三边
B.垂线段最短
C.三角形两边的差小于第三边
D.三角形具有稳定性

3. D

【分析】
解题时首先抓住题干关键信息“三角形结构，不易变形”，明确题目考查三角形相关特性的实际应用。先回忆各选项对应的知识点：A、C选项是三角形三边的数量关系，主要用于判断三条线段能否构成三角形、求解边长取值范围等，和结构是否易变形无关；B选项是垂线段的性质，用于解决最短距离类问题，和本题场景不符；只有三角形的稳定性对应“不易变形”的特点，可锁定正确选项。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 三角形两边的和大于第三边属于三角形三边关系，主要用于判断三条线段能否组成三角形等，与结构不易变形的特点无关，该选项错误；
B. 垂线段最短是点到直线距离的相关性质，常用于求解最短路径类问题，和本题考查的结构特性无关，该选项错误；
C. 三角形两边的差小于第三边同样属于三角形三边关系，不涉及结构稳定性，该选项错误；
D. 三角形具有稳定性，即三角形形状确定后不会轻易发生形变，符合斜拉式大桥使用三角形结构保证稳固、不易变形的需求，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性；三角形三边关系；垂线段的性质
【点评】
本题结合实际工程场景考查几何基础性质的应用，将知识点与生活实际相结合，要求学生能够区分不同几何性质的适用场景，准确匹配问题需求。
【难度系数】
0.9

4. 有一个长方形框架ABCD如图所示，E，F，G，H分别是四条边的中点，为使它稳固，需要在框架上钉一根木条，这根木条可以钉在().

A.B，D两点之间
B.E，G两点之间
C.F，H两点之间
D.A，B两点之间

4. A

【分析】
要解决这道题，首先回忆相关性质：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。要让易变形的长方形（四边形）框架稳固，钉木条后需要将框架分割出三角形结构，我们只需逐一判断各选项中添加木条后能否形成三角形结构即可。
【解析】
我们根据三角形具有稳定性的性质逐一分析选项：
1. 选项A：在B、D两点之间钉木条，此时长方形ABCD被对角线BD分割为△ABD和△BCD两个三角形，三角形的稳定性能让框架保持稳固，符合要求。
2. 选项B：在E、G两点之间钉木条，E、G为上下边的中点，连接后仅将长方形分成2个小长方形，均为四边形，没有形成三角形结构，无法起到稳固作用，不符合要求。
3. 选项C：在F、H两点之间钉木条，F、H为左右边的中点，连接后仅将长方形分成2个小长方形，均为四边形，没有形成三角形结构，无法起到稳固作用，不符合要求。
4. 选项D：A、B两点本身就是长方形框架的已有边，在此处钉木条不会形成新的三角形结构，不能提升框架的稳固性，不符合要求。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
这道题是三角形稳定性的实际应用类题目，解题的核心是判断添加木条后是否能将原四边形分割为三角形结构，结合生活常识很容易判断。
【难度系数】
0.8

5. (教材改编)若$△ ABC$的三边长分别为2，$x-1$，7，则$x$的取值范围为。

5. $6＜x＜10$

【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们把已知的两条定长边2和7作为参照，第三条边x-1的长度必须满足“大于两边之差、小于两边之和”，据此列出关于x的不等式，再解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $7 - 2 ＜ x - 1 ＜ 7 + 2$
化简不等式得：$5 ＜ x - 1 ＜ 9$
不等式各部分同时加1，得：$6 ＜ x ＜ 10$
【答案】
$6＜x＜10$
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题，核心是熟练掌握三角形三边的取值规律，列不等式时注意是大于两边的正差、小于两边的和，解不等式时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8

6. 在$△ ABC$中，已知$AB=2$，$BC=5$，且$AC$的长为奇数，则$△ ABC$的周长是。

6. 12

【分析】
解题时首先运用三角形三边关系确定第三边AC的取值范围，再结合“AC长为奇数”的限定筛选出AC的具体值，最后将三边相加即可得到三角形周长。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$BC-AB ＜ AC ＜ BC+AB$
代入$AB=2$，$BC=5$，计算得：
$5-2 ＜ AC ＜ 5+2$，即$3 ＜ AC ＜ 7$
已知AC的长为奇数，因此符合取值范围的AC的长度为5
则$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=2+5+5=12$
【答案】
12
【知识点】
三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，解题关键是先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合限定条件确定第三边的长度，计算时注意不要漏看“AC长为奇数”的限制要求。
【难度系数】
0.8

7.（教材改编）用一条长为28 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为7 cm的等腰三角形吗？若能，请求出另外两边的长；若不能，请说明理由.

7. 解：(1)设底边长为$x$ cm，则腰长为$3x$ cm. 依题意，得$x+3x+3x=28$，解得$x=4$. $\therefore 3x=12$. $\therefore$该等腰三角形三边的长分别为12 cm，12 cm，4 cm.
(2)能. 分以下两种情况讨论：①若底边长为7 cm，则其余两边长分别为10.5 cm，10.5 cm，能构成三角形；②若腰长为7 cm，则底边长为14 cm. $\because 7+7=14$，不符合三角形的三边关系，$\therefore$腰长不能为7 cm. 综上所述，能围成底边长为7 cm的等腰三角形，此时另外两边的长分别为10.5 cm，10.5 cm.

【分析】
（1）已知等腰三角形两腰长度相等，周长为28cm，且腰长是底边长的3倍，我们可以通过设底边长为未知数，用含未知数的式子表示腰长，再根据“周长=底边长+2×腰长”的等量关系列方程求解，最后验证所得边长是否满足三角形三边关系即可。
（2）题目仅说明有一边长为7cm，未指明该边是腰还是底边，因此需要分两种情况分类讨论：一是7cm为底边长，二是7cm为腰长，两种情况分别计算出另外两边的长度后，都要验证是否符合“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，不符合的情况要舍去。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$3x$ cm。
依题意列方程：$x+3x+3x=28$，
合并同类项得$7x=28$，解得$x=4$，
因此腰长为$3x=3×4=12$（cm）。
验证：$4+12＞12$，满足三角形三边关系，因此三边长有效。
(2) 能围成，分两种情况讨论：
① 若7cm为底边长，设腰长为$y$ cm，
列方程得$2y+7=28$，解得$y=10.5$，
此时三边长为7cm、10.5cm、10.5cm，验证得$7+10.5＞10.5$，符合三边关系，可构成三角形。
② 若7cm为腰长，设底边长为$z$ cm，
列方程得$7×2+z=28$，解得$z=14$，
此时三边长为7cm、7cm、14cm，验证得$7+7=14$，不符合三角形三边关系，该情况舍去。
【答案】
(1) 三边的长分别为12 cm，12 cm，4 cm；
(2) 能围成，另外两边的长分别为10.5 cm，10.5 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础典型题，解题核心是抓住等腰三角形边的特征，易错点是遇到未指明类型的边长时，遗漏分类讨论的步骤，或者计算后没有验证三边关系导致错解。
【难度系数】
0.7

8. 如图，P为$△ ABC$内任意一点. 求证:
$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$.

8. 证明：在$△ APB$中，$PA+PB＞AB$；在$△ PBC$中，$PB+PC＞BC$；在$△ APC$中，$PC+PA＞AC$. 将以上三个不等式两边分别相加，得$PA+PB+PB+PC+PC+PA＞AB+BC+AC$，即$2PA+2PB+2PC＞AB+BC+AC$，$\therefore PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$.

【分析】
要证明线段和的不等关系，优先考虑三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。观察图形可知，点P与△ABC的三个顶点构成了△APB、△PBC、△APC三个小三角形，我们可以先在每个小三角形中应用三边关系写出对应的不等式，再将三个不等式相加，通过化简变形即可得到待证结论。
【解析】
证明：
在$△ APB$中，根据三角形三边关系可得$PA+PB＞AB$；
在$△ PBC$中，根据三角形三边关系可得$PB+PC＞BC$；
在$△ APC$中，根据三角形三边关系可得$PC+PA＞AC$。
将以上三个不等式的左右两边分别相加，得：
$PA+PB+PB+PC+PC+PA＞AB+BC+AC$
合并同类项得：$2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC$
不等式两边同时除以2，得：$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$
【答案】
$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$
【知识点】
三角形三边关系，不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是合理拆分出三个小三角形，分别列出三边不等关系后通过不等式运算推导结论，有助于提升学生对图形的观察分析能力和不等式变形能力。
【难度系数】
0.8