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1. 如图26－4－6，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2$，当水面与桥拱顶的高度CO为4 m时，水面宽度AB为(
A.25 m
B.20 m
C.15 m
D.10 m
图26－4－6
图26－4－7
B
)A.25 m
B.20 m
C.15 m
D.10 m
图26－4－6
图26－4－7
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确该抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，已知水面与桥拱顶的高度为4m，说明水面上所有点的纵坐标均为-4，解题时先将y=-4代入抛物线解析式，求出对应的x的取值，再结合抛物线的对称性，水面宽度AB为x的正、负值之间的距离，也就是2倍的x的正值，即可求出结果。
【解析】
解：由题意可知，桥拱顶为抛物线的顶点，坐标为(0,0)，当水面与桥拱顶的高度为4m时，水面所在位置的点的纵坐标为$ y=-4 $。
将$ y=-4 $代入函数解析式$ y=-\frac{1}{25}x^2 $，得：
$ -4=-\frac{1}{25}x^2 $
化简得：$ x^2=100 $
解得：$ x_1=10，x_2=-10 $
即A点坐标为(-10,-4)，B点坐标为(10,-4)，
则水面宽度$ AB=10-(-10)=20\ \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图像与性质；抛物线上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数在实际建筑问题中的基础应用，解题的核心是将实际的高度条件转化为抛物线上点的纵坐标，代入解析式求解后结合抛物线的对称性计算宽度，掌握抛物线上点的坐标满足函数解析式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
首先明确该抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，已知水面与桥拱顶的高度为4m，说明水面上所有点的纵坐标均为-4，解题时先将y=-4代入抛物线解析式，求出对应的x的取值，再结合抛物线的对称性，水面宽度AB为x的正、负值之间的距离，也就是2倍的x的正值，即可求出结果。
【解析】
解：由题意可知，桥拱顶为抛物线的顶点，坐标为(0,0)，当水面与桥拱顶的高度为4m时，水面所在位置的点的纵坐标为$ y=-4 $。
将$ y=-4 $代入函数解析式$ y=-\frac{1}{25}x^2 $，得：
$ -4=-\frac{1}{25}x^2 $
化简得：$ x^2=100 $
解得：$ x_1=10，x_2=-10 $
即A点坐标为(-10,-4)，B点坐标为(10,-4)，
则水面宽度$ AB=10-(-10)=20\ \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图像与性质；抛物线上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数在实际建筑问题中的基础应用，解题的核心是将实际的高度条件转化为抛物线上点的纵坐标，代入解析式求解后结合抛物线的对称性计算宽度，掌握抛物线上点的坐标满足函数解析式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
2.某大学的校门是如图26－4－7所示的一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高约为（精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计）（
A.9.2 m
B.9.1 m
C.9 m
D.5.1 m
B
）A.9.2 m
B.9.1 m
C.9 m
D.5.1 m
答案
2.B
解析
【分析】
解决抛物线形实际问题的核心是将实际问题转化为二次函数问题求解，首先要合理建立平面直角坐标系简化计算：我们以大门地面中点为原点，地面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线与x轴交点为(-4,0)、(4,0)，距地面4m的铁环对应坐标为(-3,4)、(3,4)；再用待定系数法求抛物线解析式，最后计算抛物线顶点的纵坐标即为校门高度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以大门地面的中点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。
2. 确定抛物线上已知点的坐标：由大门地面宽度8m，得抛物线与x轴交点为(4,0)、(-4,0)；由两铁环水平距离6m、距地面高4m，得抛物线过点(3,4)。
3. 设抛物线解析式：因为已知抛物线与x轴的两个交点，故设交点式为$y=a(x-4)(x+4)$（$a≠0$）。
4. 代入点求系数：将(3,4)代入解析式，得：
$4=a(3-4)(3+4)$
$4=-7a$
解得$a=-\frac{4}{7}$
5. 求校门高度：校门高度为抛物线顶点的纵坐标，顶点在对称轴$x=0$处，代入解析式得：
$y=-\frac{4}{7}×(0-4)(0+4)=\frac{64}{7}\approx9.1(m)$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，解题关键是通过建立合适的坐标系，将实际长度转化为点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，最终结合二次函数的性质得到所求量，计算时要注意精确度的要求。
【难度系数】
0.6
解决抛物线形实际问题的核心是将实际问题转化为二次函数问题求解，首先要合理建立平面直角坐标系简化计算：我们以大门地面中点为原点，地面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线与x轴交点为(-4,0)、(4,0)，距地面4m的铁环对应坐标为(-3,4)、(3,4)；再用待定系数法求抛物线解析式，最后计算抛物线顶点的纵坐标即为校门高度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以大门地面的中点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。
2. 确定抛物线上已知点的坐标：由大门地面宽度8m，得抛物线与x轴交点为(4,0)、(-4,0)；由两铁环水平距离6m、距地面高4m，得抛物线过点(3,4)。
3. 设抛物线解析式：因为已知抛物线与x轴的两个交点，故设交点式为$y=a(x-4)(x+4)$（$a≠0$）。
4. 代入点求系数：将(3,4)代入解析式，得：
$4=a(3-4)(3+4)$
$4=-7a$
解得$a=-\frac{4}{7}$
5. 求校门高度：校门高度为抛物线顶点的纵坐标，顶点在对称轴$x=0$处，代入解析式得：
$y=-\frac{4}{7}×(0-4)(0+4)=\frac{64}{7}\approx9.1(m)$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，解题关键是通过建立合适的坐标系，将实际长度转化为点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，最终结合二次函数的性质得到所求量，计算时要注意精确度的要求。
【难度系数】
0.6
3.【教材P54练习T1变式】如图26－4－8，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线$y=a(x-3)^2 +2.5$运动，其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离，y(m)是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为
8
m.答案
3.8
解析
【分析】
本题是二次函数在抛体实际问题中的应用，解题思路清晰可分为两步：第一步，已知抛物线为顶点式，且抛出点A的坐标为(0,1.6)，将该点代入解析式即可求出未知系数a，得到完整的抛物线表达式；第二步，铅球落地时高度y=0，将y=0代入解析式求解x，所得正根就是铅球掷出的水平距离OB，负根不符合实际意义直接舍去即可。
【解析】
解：由题意得，铅球抛出点A的坐标为$(0,1.6)$。
将$A(0,1.6)$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2 +2.5$，得：
$1.6 = a×(0-3)^2 +2.5$
整理得$9a +2.5=1.6$，解得$a=-0.1$。
因此抛物线解析式为$y=-0.1(x-3)^2 +2.5$。
当铅球落地时，高度$y=0$，代入解析式得：
$0=-0.1(x-3)^2 +2.5$
移项得$0.1(x-3)^2=2.5$，两边同乘10得$(x-3)^2=25$。
开平方得$x-3=\pm5$，解得$x_1=8$，$x_2=-2$。
因为水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，即$OB=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是理解实际场景中特殊点的坐标含义，代入求解后注意结合实际意义取舍方程的根，掌握这类题型能很好地提升数学建模能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在抛体实际问题中的应用，解题思路清晰可分为两步：第一步，已知抛物线为顶点式，且抛出点A的坐标为(0,1.6)，将该点代入解析式即可求出未知系数a，得到完整的抛物线表达式；第二步，铅球落地时高度y=0，将y=0代入解析式求解x，所得正根就是铅球掷出的水平距离OB，负根不符合实际意义直接舍去即可。
【解析】
解：由题意得，铅球抛出点A的坐标为$(0,1.6)$。
将$A(0,1.6)$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2 +2.5$，得：
$1.6 = a×(0-3)^2 +2.5$
整理得$9a +2.5=1.6$，解得$a=-0.1$。
因此抛物线解析式为$y=-0.1(x-3)^2 +2.5$。
当铅球落地时，高度$y=0$，代入解析式得：
$0=-0.1(x-3)^2 +2.5$
移项得$0.1(x-3)^2=2.5$，两边同乘10得$(x-3)^2=25$。
开平方得$x-3=\pm5$，解得$x_1=8$，$x_2=-2$。
因为水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，即$OB=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是理解实际场景中特殊点的坐标含义，代入求解后注意结合实际意义取舍方程的根，掌握这类题型能很好地提升数学建模能力。
【难度系数】
0.7
4.【教材P55习题T2变式】自动无人驾驶技术已经在某些城市开始应用.某型号无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时,其刹车距离$s$(m)与刹车时的速度$x$(m/s)满足关系式$s=\frac{1}{200}x^2 - \frac{1}{20}x$.若刹车距离为10 m,则刹车时的速度为
50
m/s.答案
4.50
解析
【分析】
已知刹车距离$s$与刹车速度$x$的函数关系式，题目给出刹车距离为10m，解题时首先将$s=10$代入给定的关系式，得到关于$x$的一元二次方程；接下来求解该一元二次方程，最后结合“速度为正数”的实际意义，舍去不符合题意的负根，即可得到正确的刹车速度。
【解析】
解：由题意知刹车距离$s=10\ \mathrm{m}$，将其代入关系式$s=\frac{1}{200}x^2 - \frac{1}{20}x$，得：
$10 = \frac{1}{200}x^2 - \frac{1}{20}x$
两边同时乘以200消去分母，得：
$2000 = x^2 - 10x$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 10x - 2000 = 0$
由求根公式，$a=1$，$b=-10$，$c=-2000$，判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-10)^2 -4×1×(-2000)=8100$
则：
$x=\frac{10\pm\sqrt{8100}}{2×1}=\frac{10\pm90}{2}$
解得$x_1=50$，$x_2=-40$。
因为刹车速度为正数，故舍去$x=-40$，即刹车时的速度为50m/s。
【答案】
50
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的求解、实际问题根的检验
【点评】
本题以无人驾驶刹车测试为背景，考查将实际问题转化为数学问题的能力，解题的关键是正确代入数值得到方程，同时要注意求解后检验根是否符合实际情景，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.75
已知刹车距离$s$与刹车速度$x$的函数关系式，题目给出刹车距离为10m，解题时首先将$s=10$代入给定的关系式，得到关于$x$的一元二次方程；接下来求解该一元二次方程，最后结合“速度为正数”的实际意义，舍去不符合题意的负根，即可得到正确的刹车速度。
【解析】
解：由题意知刹车距离$s=10\ \mathrm{m}$，将其代入关系式$s=\frac{1}{200}x^2 - \frac{1}{20}x$，得：
$10 = \frac{1}{200}x^2 - \frac{1}{20}x$
两边同时乘以200消去分母，得：
$2000 = x^2 - 10x$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 10x - 2000 = 0$
由求根公式，$a=1$，$b=-10$，$c=-2000$，判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-10)^2 -4×1×(-2000)=8100$
则：
$x=\frac{10\pm\sqrt{8100}}{2×1}=\frac{10\pm90}{2}$
解得$x_1=50$，$x_2=-40$。
因为刹车速度为正数，故舍去$x=-40$，即刹车时的速度为50m/s。
【答案】
50
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的求解、实际问题根的检验
【点评】
本题以无人驾驶刹车测试为背景，考查将实际问题转化为数学问题的能力，解题的关键是正确代入数值得到方程，同时要注意求解后检验根是否符合实际情景，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.75
5.【跨学科融合·生物】射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2 m以内的昆虫.如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分(如图26－4－9).在一次捕食时，射水鱼射出的水珠向上运动的高度y(cm)与向前运动的水平距离x(cm)的关系可以近似地表示为$y=-0.1x^2 +4x$.一只昆虫(看作一个点)位于射水鱼正前方竖直距离40cm处，射水鱼正好能捕食到这只昆虫，则该昆虫位于射水鱼正前方的水平距离
20
cm处.答案
5.20
解析
【分析】
解题时先抓住题干的关键条件：射水鱼正好能捕食到昆虫，说明此时水流的竖直高度y等于昆虫的竖直高度40cm。我们只需要把y=40代入给出的二次函数解析式，将函数问题转化为一元二次方程求解，得到的正根就是昆虫距离射水鱼的水平距离。
【解析】
已知水流高度y与水平距离x的函数关系为$y=-0.1x^2 +4x$，当捕食到昆虫时，y=40cm，将y=40代入解析式：
$40=-0.1x^2 +4x$
移项整理得：
$0.1x^2 -4x +40=0$
两边同时乘10消去小数：
$x^2 -40x +400=0$
因式分解得：
$(x-20)^2=0$
解得$x=20$，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生物捕食情境考查抛物线类实际问题，解题核心是理解实际场景的临界条件对应函数的等量关系，把函数问题转化为熟悉的方程问题求解，注重知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题干的关键条件：射水鱼正好能捕食到昆虫，说明此时水流的竖直高度y等于昆虫的竖直高度40cm。我们只需要把y=40代入给出的二次函数解析式，将函数问题转化为一元二次方程求解，得到的正根就是昆虫距离射水鱼的水平距离。
【解析】
已知水流高度y与水平距离x的函数关系为$y=-0.1x^2 +4x$，当捕食到昆虫时，y=40cm，将y=40代入解析式：
$40=-0.1x^2 +4x$
移项整理得：
$0.1x^2 -4x +40=0$
两边同时乘10消去小数：
$x^2 -40x +400=0$
因式分解得：
$(x-20)^2=0$
解得$x=20$，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生物捕食情境考查抛物线类实际问题，解题核心是理解实际场景的临界条件对应函数的等量关系，把函数问题转化为熟悉的方程问题求解，注重知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
