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1.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)满足$h=10t-5t^2$,那么球弹起后又回到地面所花的时间是(
A.5秒
B.10秒
C.1秒
D.2秒
D
)A.5秒
B.10秒
C.1秒
D.2秒
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确球回到地面的特征：此时球距离地面的高度h=0。我们只需将h=0代入给定的高度与时间的函数关系式，解出对应的t值，再结合实际场景舍去不符合要求的解，即可得到所求时间。
【解析】
当球弹起后回到地面时，距离地面的高度h=0，将h=0代入$h=10t-5t^2$，可得：
$0=10t-5t^2$
整理方程得：$5t^2-10t=0$
提取公因式得：$5t(t-2)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=2$
其中$t=0$是球刚从地面弹起的初始时刻，不符合“弹起后回到地面”的要求，故舍去，因此球弹起后回到地面所花的时间是2秒。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合竖直上抛的运动场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是抓住实际场景对应的函数值特征，同时要注意对方程的根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确球回到地面的特征：此时球距离地面的高度h=0。我们只需将h=0代入给定的高度与时间的函数关系式，解出对应的t值，再结合实际场景舍去不符合要求的解，即可得到所求时间。
【解析】
当球弹起后回到地面时，距离地面的高度h=0，将h=0代入$h=10t-5t^2$，可得：
$0=10t-5t^2$
整理方程得：$5t^2-10t=0$
提取公因式得：$5t(t-2)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=2$
其中$t=0$是球刚从地面弹起的初始时刻，不符合“弹起后回到地面”的要求，故舍去，因此球弹起后回到地面所花的时间是2秒。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合竖直上抛的运动场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是抓住实际场景对应的函数值特征，同时要注意对方程的根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
2.如图26－4－10是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，则水面下降
图26－4－10 图26－4－11
$\frac{14}{9}$
m时，水面宽8 m. 图26－4－10 图26－4－11
答案
2.$\frac{14}{9}$
解析
【分析】
这是二次函数解决实际问题的典型题型，解题思路如下：①首先合理建立平面直角坐标系，为了简化计算，通常将抛物线的顶点（拱顶）设为原点，对称轴设为y轴；②利用已知条件，用待定系数法求出抛物线的解析式；③当水面宽为8m时，对应横坐标为±4，将x=4代入解析式求出此时对应的纵坐标，再计算该纵坐标与原水面纵坐标的差值，即可得到水面下降的高度。
【解析】
解：以拱顶为原点，过原点且平行于水面的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线顶点在原点，开口向下，故设抛物线解析式为$ y=ax^2 (a≠0) $。
当拱顶离水面2m，水面宽6m时，水面上的点坐标为$(3, -2)$，将其代入解析式得：
$ -2 = a×3^2 $
解得$ a=-\frac{2}{9} $，因此抛物线解析式为$ y=-\frac{2}{9}x^2 $。
当水面宽为8m时，此时对应点的横坐标为$x=4$，代入解析式得：
$ y=-\frac{2}{9}×4^2 = -\frac{32}{9} $
原水面的纵坐标为$-2=-\frac{18}{9}$，故水面下降的高度为：
$ \left| -\frac{18}{9} - ( -\frac{32}{9} ) \right| = \frac{14}{9} \, \mathrm{m} $
【答案】
$\frac{14}{9}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类基础题型，核心是通过建立合适的坐标系将几何实际问题转化为二次函数的代数问题，解题时要注意坐标的正负对应的实际高度关系，避免计算差值时出错。
【难度系数】
0.65
这是二次函数解决实际问题的典型题型，解题思路如下：①首先合理建立平面直角坐标系，为了简化计算，通常将抛物线的顶点（拱顶）设为原点，对称轴设为y轴；②利用已知条件，用待定系数法求出抛物线的解析式；③当水面宽为8m时，对应横坐标为±4，将x=4代入解析式求出此时对应的纵坐标，再计算该纵坐标与原水面纵坐标的差值，即可得到水面下降的高度。
【解析】
解：以拱顶为原点，过原点且平行于水面的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线顶点在原点，开口向下，故设抛物线解析式为$ y=ax^2 (a≠0) $。
当拱顶离水面2m，水面宽6m时，水面上的点坐标为$(3, -2)$，将其代入解析式得：
$ -2 = a×3^2 $
解得$ a=-\frac{2}{9} $，因此抛物线解析式为$ y=-\frac{2}{9}x^2 $。
当水面宽为8m时，此时对应点的横坐标为$x=4$，代入解析式得：
$ y=-\frac{2}{9}×4^2 = -\frac{32}{9} $
原水面的纵坐标为$-2=-\frac{18}{9}$，故水面下降的高度为：
$ \left| -\frac{18}{9} - ( -\frac{32}{9} ) \right| = \frac{14}{9} \, \mathrm{m} $
【答案】
$\frac{14}{9}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类基础题型，核心是通过建立合适的坐标系将几何实际问题转化为二次函数的代数问题，解题时要注意坐标的正负对应的实际高度关系，避免计算差值时出错。
【难度系数】
0.65
3.佳佳看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度$y$(m)与水柱距喷水头的水平距离$x$(m)之间近似满足函数关系：$y=-\frac{1}{10}(x-h)^2 + k$，如图26－4－11，已知水柱在距喷水头$P$水平距离5 m处达到最高，最高点距离地面3.2 m.身高1.6 m的佳佳站在水柱正下方，且距喷水头$P$水平距离8 m的位置，她的头顶
不能
碰到水柱.（填“能”或“不能”）答案
3.不能
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题干给出的水柱最高点的信息，确定抛物线顶点式中的参数h和k，得到完整的函数解析式；再将佳佳所在位置的水平距离代入解析式，求出对应位置的水柱高度；最后将计算出的水柱高度和佳佳的身高比较，判断是否能碰到。
【解析】
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(5, 3.2)$，
将顶点坐标代入函数表达式$y=-\frac{1}{10}(x-h)^2 + k$，可得$h=5$，$k=3.2$，
因此函数解析式为：$y=-\frac{1}{10}(x-5)^2 + 3.2$。
当$x=8$时，代入解析式得：
$y=-\frac{1}{10}×(8-5)^2 + 3.2 = -\frac{1}{10}×9 + 3.2 = 2.3$（m）
因为$2.3\mathrm{m}＞1.6\mathrm{m}$，即该位置水柱高度高于佳佳的头顶高度，所以她的头顶不能碰到水柱。
【答案】
不能
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用
【点评】
本题是抛物线在生活中的常见应用题型，解题核心是利用顶点坐标确定二次函数解析式，再代入自变量求解函数值进行比较，掌握二次函数顶点式的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题干给出的水柱最高点的信息，确定抛物线顶点式中的参数h和k，得到完整的函数解析式；再将佳佳所在位置的水平距离代入解析式，求出对应位置的水柱高度；最后将计算出的水柱高度和佳佳的身高比较，判断是否能碰到。
【解析】
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(5, 3.2)$，
将顶点坐标代入函数表达式$y=-\frac{1}{10}(x-h)^2 + k$，可得$h=5$，$k=3.2$，
因此函数解析式为：$y=-\frac{1}{10}(x-5)^2 + 3.2$。
当$x=8$时，代入解析式得：
$y=-\frac{1}{10}×(8-5)^2 + 3.2 = -\frac{1}{10}×9 + 3.2 = 2.3$（m）
因为$2.3\mathrm{m}＞1.6\mathrm{m}$，即该位置水柱高度高于佳佳的头顶高度，所以她的头顶不能碰到水柱。
【答案】
不能
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用
【点评】
本题是抛物线在生活中的常见应用题型，解题核心是利用顶点坐标确定二次函数解析式，再代入自变量求解函数值进行比较，掌握二次函数顶点式的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
1. 某景区大门上半部分的截面示意图如图26－4－12所示，顶部边缘$L_1$，左、右门洞边缘$L_2$，$L_3$均呈抛物线形，水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$，$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$，$L_2$，$L_3$关于$BO$所在直线对称.$MN$，$MP$，$NQ$为框架，点$M$，$N$在$L_1$上，点$P$，$Q$分别在$L_2$，$L_3$上，$MN// AC$，$MP⊥ AC$，$NQ⊥ AC$.以$O$为原点，以$AC$所在直线为$x$轴，$BO$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_1$对应的函数解析式；
(2)已知抛物线$L_3$对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$，$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，求$MN$的长.
图26－4－12
(1)求抛物线$L_1$对应的函数解析式；
(2)已知抛物线$L_3$对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$，$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，求$MN$的长.
图26－4－12
答案
1. 解:(1)
∵BO=4 m,
∴抛物线$L_1$的顶点B的坐标为(0,4),
设抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=a(x-0)^2+4$,
∵AC=16 m,
∴结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0),
将点C(8,0)的坐标代入$y=a(x-0)^2+4$,得0=64a+4,则$a=-\frac{1}{16}$,
∴抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$.
(2)设点N的横坐标为a,由(1)得抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$,
∵$MN// AC$,$NQ⊥ AC$,$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$,
且抛物线$L_3$对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$,
∴$y_N - y_Q = -\frac{1}{16}a^2 +4 -[-\frac{3}{16}(a-4)^2]=\frac{5}{2}$,
整理得$a^2 -3(a-4)^2=24$,
∴$a^2 -3a^2 +24a -48=24$,
∴$a^2 -12a +36=(a-6)^2=0$,
解得$a_1=a_2=6$,
∴易得$MN=2×6=12(\mathrm{m})$.
∵BO=4 m,
∴抛物线$L_1$的顶点B的坐标为(0,4),
设抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=a(x-0)^2+4$,
∵AC=16 m,
∴结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0),
将点C(8,0)的坐标代入$y=a(x-0)^2+4$,得0=64a+4,则$a=-\frac{1}{16}$,
∴抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$.
(2)设点N的横坐标为a,由(1)得抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$,
∵$MN// AC$,$NQ⊥ AC$,$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$,
且抛物线$L_3$对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$,
∴$y_N - y_Q = -\frac{1}{16}a^2 +4 -[-\frac{3}{16}(a-4)^2]=\frac{5}{2}$,
整理得$a^2 -3(a-4)^2=24$,
∴$a^2 -3a^2 +24a -48=24$,
∴$a^2 -12a +36=(a-6)^2=0$,
解得$a_1=a_2=6$,
∴易得$MN=2×6=12(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线$L_1$的解析式时，首先观察到$L_1$的顶点为$B(0,4)$，因此选择顶点式设解析式更简便。已知$AC=16\ \mathrm{m}$，结合坐标系对称性可得$L_1$过点$C(8,0)$，将该点代入所设顶点式即可求出系数$a$，得到解析式。
(2) 要求$MN$的长，先利用$NQ⊥ AC$的特征，可知点$N$和点$Q$横坐标相同，设为$a$。$NQ$的长度等于点$N$的纵坐标减去点$Q$的纵坐标（$N$在上方，$Q$在下方），分别将$x=a$代入$L_1$和$L_3$的解析式表示出两点纵坐标，结合$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$列方程求解$a$的值，再根据$MN$关于$y$轴对称的性质，$MN$的长度为$2a$，代入即可得结果。
【解析】
(1) $\because BO=4\ \mathrm{m}$，$\therefore$抛物线$L_1$的顶点$B$的坐标为$(0,4)$，
设抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=ax^2+4$，
$\because AC=16\ \mathrm{m}$，结合二次函数的对称性得$A(-8,0)$，$C(8,0)$，
将点$C(8,0)$代入$y=ax^2+4$，得：
$0=a×8^2+4$，即$64a+4=0$，解得$a=-\frac{1}{16}$，
$\therefore$抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$。
(2) 设点$N$的横坐标为$a$，
$\because MN// AC$，$NQ⊥ AC$，$\therefore$点$Q$的横坐标也为$a$，
点$N$在$L_1$上，纵坐标为$y_N=-\frac{1}{16}a^2 +4$，
点$Q$在$L_3$上，纵坐标为$y_Q=-\frac{3}{16}(a-4)^2$，
由$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，可得$y_N - y_Q=\frac{5}{2}$，即：
$-\frac{1}{16}a^2 +4 -[-\frac{3}{16}(a-4)^2]=\frac{5}{2}$，
两边同乘16去分母得：$-a^2 +64 +3(a-4)^2=40$，
整理得：$a^2 -12a +36=0$，即$(a-6)^2=0$，
解得$a_1=a_2=6$，
$\because MN$关于$y$轴对称，$\therefore MN$的长为$2×6=12(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{16}x^2+4$；(2) $12\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际场景为载体考查二次函数的应用，解题的关键是结合坐标系的特征，明确线段长度和点坐标的关系，合理设未知数并列方程求解，需要熟练掌握二次函数顶点式的用法及对称性的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线$L_1$的解析式时，首先观察到$L_1$的顶点为$B(0,4)$，因此选择顶点式设解析式更简便。已知$AC=16\ \mathrm{m}$，结合坐标系对称性可得$L_1$过点$C(8,0)$，将该点代入所设顶点式即可求出系数$a$，得到解析式。
(2) 要求$MN$的长，先利用$NQ⊥ AC$的特征，可知点$N$和点$Q$横坐标相同，设为$a$。$NQ$的长度等于点$N$的纵坐标减去点$Q$的纵坐标（$N$在上方，$Q$在下方），分别将$x=a$代入$L_1$和$L_3$的解析式表示出两点纵坐标，结合$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$列方程求解$a$的值，再根据$MN$关于$y$轴对称的性质，$MN$的长度为$2a$，代入即可得结果。
【解析】
(1) $\because BO=4\ \mathrm{m}$，$\therefore$抛物线$L_1$的顶点$B$的坐标为$(0,4)$，
设抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=ax^2+4$，
$\because AC=16\ \mathrm{m}$，结合二次函数的对称性得$A(-8,0)$，$C(8,0)$，
将点$C(8,0)$代入$y=ax^2+4$，得：
$0=a×8^2+4$，即$64a+4=0$，解得$a=-\frac{1}{16}$，
$\therefore$抛物线$L_1$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$。
(2) 设点$N$的横坐标为$a$，
$\because MN// AC$，$NQ⊥ AC$，$\therefore$点$Q$的横坐标也为$a$，
点$N$在$L_1$上，纵坐标为$y_N=-\frac{1}{16}a^2 +4$，
点$Q$在$L_3$上，纵坐标为$y_Q=-\frac{3}{16}(a-4)^2$，
由$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，可得$y_N - y_Q=\frac{5}{2}$，即：
$-\frac{1}{16}a^2 +4 -[-\frac{3}{16}(a-4)^2]=\frac{5}{2}$，
两边同乘16去分母得：$-a^2 +64 +3(a-4)^2=40$，
整理得：$a^2 -12a +36=0$，即$(a-6)^2=0$，
解得$a_1=a_2=6$，
$\because MN$关于$y$轴对称，$\therefore MN$的长为$2×6=12(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{16}x^2+4$；(2) $12\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际场景为载体考查二次函数的应用，解题的关键是结合坐标系的特征，明确线段长度和点坐标的关系，合理设未知数并列方程求解，需要熟练掌握二次函数顶点式的用法及对称性的应用。
【难度系数】
0.6
