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2.【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图26－4－13①②所示.
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面图如图26－4－13③所示，从点A击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4 m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55 m，人与球网之间的距离OC＝1.6 m.假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F.
(1)在图26－4－13③中以O为坐标原点，OF所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，请直接写出两种击球路线对应的函数解析式.
【模型应用】
(2)甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36 m/s.网前吊球时，羽毛球下降的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为$h=5t^2$.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5 s.请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球.
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面图如图26－4－13③所示，从点A击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4 m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55 m，人与球网之间的距离OC＝1.6 m.假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F.
(1)在图26－4－13③中以O为坐标原点，OF所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，请直接写出两种击球路线对应的函数解析式.
【模型应用】
(2)甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36 m/s.网前吊球时，羽毛球下降的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为$h=5t^2$.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5 s.请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球.
答案
2. 解:(1)图略.扣杀球击球路线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}$.
网前吊球击球路线对应的函数解析式为$y=-\frac{5}{16}x^2+\frac{12}{5}$.
(2)对于$y=-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}$,
令y=0,则$-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}=0$,
∴$x=\frac{24}{5}$,$\therefore F(\frac{24}{5},0)$,$\therefore OF=\frac{24}{5}\ \mathrm{m}$,
$\therefore AF=\sqrt{OF^2 + OA^2}=\sqrt{(\frac{24}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5}(\mathrm{m})$.
∵扣杀球时,羽毛球的平均速度约为36 m/s,
∴羽毛球经过$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{36}=\frac{\sqrt{5}}{15}(\mathrm{s})$落地.
∵$\frac{\sqrt{5}}{15}＜0.5$,
∴乙不能接到扣杀球的击球.
∵从点A击球,击球点是抛物线的最高点,
∴$\frac{12}{5}=5t^2$.$\because t＞0$,$\therefore t=\frac{2\sqrt{3}}{5}$.
∵$\frac{2\sqrt{3}}{5}＞0.5$,
∴乙能接到网前吊球的击球.
网前吊球击球路线对应的函数解析式为$y=-\frac{5}{16}x^2+\frac{12}{5}$.
(2)对于$y=-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}$,
令y=0,则$-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}=0$,
∴$x=\frac{24}{5}$,$\therefore F(\frac{24}{5},0)$,$\therefore OF=\frac{24}{5}\ \mathrm{m}$,
$\therefore AF=\sqrt{OF^2 + OA^2}=\sqrt{(\frac{24}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5}(\mathrm{m})$.
∵扣杀球时,羽毛球的平均速度约为36 m/s,
∴羽毛球经过$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{36}=\frac{\sqrt{5}}{15}(\mathrm{s})$落地.
∵$\frac{\sqrt{5}}{15}＜0.5$,
∴乙不能接到扣杀球的击球.
∵从点A击球,击球点是抛物线的最高点,
∴$\frac{12}{5}=5t^2$.$\because t＞0$,$\therefore t=\frac{2\sqrt{3}}{5}$.
∵$\frac{2\sqrt{3}}{5}＞0.5$,
∴乙能接到网前吊球的击球.
解析
【分析】
(1) 先确定已知点坐标：击球点A坐标为(0, 2.4)，点D在B正上方0.05m处，结合BC=1.55m、OC=1.6m，可得D点坐标为(1.6, 1.6)。扣杀路线为直线，用待定系数法设一次函数解析式，代入A、D两点即可求解；网前吊球路线是抛物线，且A是抛物线顶点（对称轴为y轴），设顶点式二次函数解析式，代入A、D两点即可求解。
(2) 计算扣杀球落地时间：先令一次函数y=0求出落点F的横坐标，用勾股定理算出击球点A到落点F的距离，结合速度求出落地时间，与0.5s比较；计算网前吊球落地时间：总下降高度为AO的长度，代入h=5t²求出落地时间，与0.5s比较，落地时间大于0.5s的击球方式乙可以接到。
【解析】
(1) 建立坐标系后，A点坐标为$(0,\frac{12}{5})$，D点坐标为$(1.6,1.6)$。
① 设扣杀球的直线解析式为$y=kx+b$，将$A(0,\frac{12}{5})$代入得$b=\frac{12}{5}$，再将$D(1.6,1.6)$代入得$1.6=1.6k+\frac{12}{5}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，因此扣杀球路线解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}$。
② 设网前吊球的抛物线解析式为$y=ax^2+c$，A为抛物线顶点，将$A(0,\frac{12}{5})$代入得$c=\frac{12}{5}$，再将$D(1.6,1.6)$代入得$1.6=a×1.6^2+\frac{12}{5}$，解得$a=-\frac{5}{16}$，因此网前吊球路线解析式为$y=-\frac{5}{16}x^2+\frac{12}{5}$。
(2) 计算扣杀球落地时间：
令扣杀球解析式中$y=0$，得$-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}=0$，解得$x=\frac{24}{5}$，即落点F坐标为$(\frac{24}{5},0)$。
由勾股定理得$AF=\sqrt{(\frac{24}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{m}$，
扣杀球落地时间$t_1=\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{36}=\frac{\sqrt{5}}{15}\ \mathrm{s}$，
$\because \frac{\sqrt{5}}{15}＜0.5$，$\therefore$乙不能接到扣杀球。
计算网前吊球落地时间：
吊球总下降高度$h=2.4\ \mathrm{m}$，代入$h=5t^2$得$2.4=5t^2$，$t＞0$，解得$t=\frac{2\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{s}$，
$\because \frac{2\sqrt{3}}{5}＞0.5$，$\therefore$乙能接到网前吊球。
【答案】
(1) 扣杀球路线：$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{12}{5}}$；网前吊球路线：$\boldsymbol{y=-\dfrac{5}{16}x^2+\dfrac{12}{5}}$
(2) 乙能接到网前吊球的击球。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；二次函数应用
【点评】
本题结合体育运动场景，将实际问题转化为函数问题，考查了一次函数和二次函数的实际应用，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式，同时能够结合实际条件完成计算判断，有利于锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先确定已知点坐标：击球点A坐标为(0, 2.4)，点D在B正上方0.05m处，结合BC=1.55m、OC=1.6m，可得D点坐标为(1.6, 1.6)。扣杀路线为直线，用待定系数法设一次函数解析式，代入A、D两点即可求解；网前吊球路线是抛物线，且A是抛物线顶点（对称轴为y轴），设顶点式二次函数解析式，代入A、D两点即可求解。
(2) 计算扣杀球落地时间：先令一次函数y=0求出落点F的横坐标，用勾股定理算出击球点A到落点F的距离，结合速度求出落地时间，与0.5s比较；计算网前吊球落地时间：总下降高度为AO的长度，代入h=5t²求出落地时间，与0.5s比较，落地时间大于0.5s的击球方式乙可以接到。
【解析】
(1) 建立坐标系后，A点坐标为$(0,\frac{12}{5})$，D点坐标为$(1.6,1.6)$。
① 设扣杀球的直线解析式为$y=kx+b$，将$A(0,\frac{12}{5})$代入得$b=\frac{12}{5}$，再将$D(1.6,1.6)$代入得$1.6=1.6k+\frac{12}{5}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，因此扣杀球路线解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}$。
② 设网前吊球的抛物线解析式为$y=ax^2+c$，A为抛物线顶点，将$A(0,\frac{12}{5})$代入得$c=\frac{12}{5}$，再将$D(1.6,1.6)$代入得$1.6=a×1.6^2+\frac{12}{5}$，解得$a=-\frac{5}{16}$，因此网前吊球路线解析式为$y=-\frac{5}{16}x^2+\frac{12}{5}$。
(2) 计算扣杀球落地时间：
令扣杀球解析式中$y=0$，得$-\frac{1}{2}x+\frac{12}{5}=0$，解得$x=\frac{24}{5}$，即落点F坐标为$(\frac{24}{5},0)$。
由勾股定理得$AF=\sqrt{(\frac{24}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{m}$，
扣杀球落地时间$t_1=\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{36}=\frac{\sqrt{5}}{15}\ \mathrm{s}$，
$\because \frac{\sqrt{5}}{15}＜0.5$，$\therefore$乙不能接到扣杀球。
计算网前吊球落地时间：
吊球总下降高度$h=2.4\ \mathrm{m}$，代入$h=5t^2$得$2.4=5t^2$，$t＞0$，解得$t=\frac{2\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{s}$，
$\because \frac{2\sqrt{3}}{5}＞0.5$，$\therefore$乙能接到网前吊球。
【答案】
(1) 扣杀球路线：$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{12}{5}}$；网前吊球路线：$\boldsymbol{y=-\dfrac{5}{16}x^2+\dfrac{12}{5}}$
(2) 乙能接到网前吊球的击球。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；二次函数应用
【点评】
本题结合体育运动场景，将实际问题转化为函数问题，考查了一次函数和二次函数的实际应用，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式，同时能够结合实际条件完成计算判断，有利于锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.6
