登录
2.某商店购进一批单价为25元的日用品,如果以单价35元销售,那么半个月内可销售出300件.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量减少,销售单价每提高1元,销售量相应减少10件.当销售单价提高
10
元时,半个月可获得最大利润,最大利润为4000
元.答案
2.10 4000
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决利润最值的问题，解题思路如下：首先明确利润的基本计算公式：总利润=单件利润×销售量。我们可以设销售单价提高的金额为自变量x，总利润为因变量y，先分别用含x的式子表示出提价后的单件利润和对应的销售量，再根据利润公式列出y关于x的二次函数关系式，最后结合二次函数的性质（开口向下的抛物线顶点处取最大值）求出最值即可，计算时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义（销售量不能为负数）。
【解析】
设销售单价提高x元时，半个月获得的利润为y元。
1. 表示单件利润：提价后售价为$(35+x)$元，进价为25元，因此单件利润为：$35+x -25=10+x$（元）；
2. 表示销售量：单价每提高1元销量减少10件，因此提价x元后的销售量为：$300 - 10x$（件）；
3. 列利润函数关系式并化简求最值：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(300-10x)\\&=-10x^2 + 200x + 3000\\&=-10(x^2 - 20x) + 3000\\&=-10(x-10)^2 + 4000\end{aligned}$
因为二次项系数$a=-10＜0$，所以抛物线开口向下，当$x=10$时，$y$取得最大值，最大值为4000元。
此时销售量为$300-10×10=200＞0$，符合实际销售情况。
【答案】
10；4000
【知识点】
销售利润计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类最值问题，核心是找准数量关系列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际场景，避免出现销量为负的不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数解决利润最值的问题，解题思路如下：首先明确利润的基本计算公式：总利润=单件利润×销售量。我们可以设销售单价提高的金额为自变量x，总利润为因变量y，先分别用含x的式子表示出提价后的单件利润和对应的销售量，再根据利润公式列出y关于x的二次函数关系式，最后结合二次函数的性质（开口向下的抛物线顶点处取最大值）求出最值即可，计算时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义（销售量不能为负数）。
【解析】
设销售单价提高x元时，半个月获得的利润为y元。
1. 表示单件利润：提价后售价为$(35+x)$元，进价为25元，因此单件利润为：$35+x -25=10+x$（元）；
2. 表示销售量：单价每提高1元销量减少10件，因此提价x元后的销售量为：$300 - 10x$（件）；
3. 列利润函数关系式并化简求最值：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(300-10x)\\&=-10x^2 + 200x + 3000\\&=-10(x^2 - 20x) + 3000\\&=-10(x-10)^2 + 4000\end{aligned}$
因为二次项系数$a=-10＜0$，所以抛物线开口向下，当$x=10$时，$y$取得最大值，最大值为4000元。
此时销售量为$300-10×10=200＞0$，符合实际销售情况。
【答案】
10；4000
【知识点】
销售利润计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类最值问题，核心是找准数量关系列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际场景，避免出现销量为负的不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
1.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量$ y $(万件)与销售单价$ x $(元)之间的关系可以近似地看作一次函数$ y=-2x+100 $.(利润=售价－制造成本)
(1)写出每月的利润$ z $(万元)关于销售单价$ x $(元)的函数解析式.
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么这种产品每月的最低制造成本为多少万元？
(1)写出每月的利润$ z $(万元)关于销售单价$ x $(元)的函数解析式.
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么这种产品每月的最低制造成本为多少万元？
答案
1.解:(1)$z=(x-18)y$
$=(x-18)(-2x+100)$
$=-2x^2+136x-1800$.
(2)由 $z=350$,得 $350=-2x^2+136x-1800$,
解得 $x_1=25,x_2=43$,
$\therefore$ 当销售单价定为 25 元或 43 元时,厂商每月获利 350 万元.
$\because z=-2x^2+136x-1800=-2(x-34)^2+512$,
$\therefore$ 当销售单价为 34 元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元.
(3)结合(2)及函数 $z=-2x^2+136x-1800$ 的图象(如答图 26-4-2)可知，
当 $25≤ x≤43$ 时 $z≥350$,
又由限价 32 元,得 $25≤ x≤32$,
根据一次函数的性质,得
$y=-2x+100$ 中 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x=32$ 时,每月制造成本最低.
最低制造成本是 $18×(-2×32+100)=648$(万元),
因此,每月最低制造成本为 648 万元.
解析
【分析】
(1) 求解利润z的函数解析式，可根据“利润=每件利润×销售量”的等量关系推导：每件利润为销售单价x减去成本18元，销售量y的解析式已知，将两者相乘整理即可得到z关于x的函数式。
(2) 求利润为350万元时的销售单价，只需令z=350，代入第一问得到的二次函数解析式，解对应的一元二次方程即可；求最大利润时，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，将二次函数配方为顶点式即可得到对应最大利润和此时的销售单价。
(3) 首先结合第二问的结果和函数图象，确定z≥350时x的取值范围，再结合“销售单价不高于32元”的限制，得到x的有效范围；制造成本为18y万元，y是关于x的一次函数且y随x增大而减小，要使制造成本最低，需让y最小，即x取有效范围内的最大值，代入计算即可得到最低制造成本。
【解析】
(1) 每件产品的利润为$(x-18)$元，每月销售量为$y=-2x+100$万件，因此每月利润：
$z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x^2+136x-1800$
(2) 当$z=350$时，代入解析式得：
$350=-2x^2+136x-1800$
整理求解得$x_1=25,x_2=43$；
将二次函数配方得$z=-2(x-34)^2+512$，由于$-2＜0$，函数开口向下，顶点处取最大值，因此当$x=34$时，z取最大值512万元。
(3) 结合函数图象可知当$25≤x≤43$时$z≥350$，结合限价32元的要求，得$25≤x≤32$；
$y=-2x+100$中y随x增大而减小，因此x取最大值32时y最小，对应制造成本最低，代入计算得最低成本为$18×(-2×32+100)=648$万元。
【答案】
1.解:(1)$z=(x-18)y$
$=(x-18)(-2x+100)$
$=-2x^2+136x-1800$.
(2)由 $z=350$,得 $350=-2x^2+136x-1800$,
解得 $x_1=25,x_2=43$,
$\therefore$ 当销售单价定为 25 元或 43 元时,厂商每月获利 350 万元.
$\because z=-2x^2+136x-1800=-2(x-34)^2+512$,
$\therefore$ 当销售单价为 34 元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元.
(3)结合(2)及函数 $z=-2x^2+136x-1800$ 的图象(如答图 26-4-2)可知，
当 $25≤ x≤43$ 时 $z≥350$,
又由限价 32 元,得 $25≤ x≤32$,
根据一次函数的性质,得
$y=-2x+100$ 中 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x=32$ 时,每月制造成本最低.
最低制造成本是 $18×(-2×32+100)=648$(万元),
因此,每月最低制造成本为 648 万元.
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法，一次函数的性质
【点评】
本题是典型的利润类实际应用问题，综合考查了函数与方程的相关知识，解题时需要理清各数量间的关系，同时注意题干的限制条件，结合函数性质确定取值范围求解，能有效考查学生运用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解利润z的函数解析式，可根据“利润=每件利润×销售量”的等量关系推导：每件利润为销售单价x减去成本18元，销售量y的解析式已知，将两者相乘整理即可得到z关于x的函数式。
(2) 求利润为350万元时的销售单价，只需令z=350，代入第一问得到的二次函数解析式，解对应的一元二次方程即可；求最大利润时，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，将二次函数配方为顶点式即可得到对应最大利润和此时的销售单价。
(3) 首先结合第二问的结果和函数图象，确定z≥350时x的取值范围，再结合“销售单价不高于32元”的限制，得到x的有效范围；制造成本为18y万元，y是关于x的一次函数且y随x增大而减小，要使制造成本最低，需让y最小，即x取有效范围内的最大值，代入计算即可得到最低制造成本。
【解析】
(1) 每件产品的利润为$(x-18)$元，每月销售量为$y=-2x+100$万件，因此每月利润：
$z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x^2+136x-1800$
(2) 当$z=350$时，代入解析式得：
$350=-2x^2+136x-1800$
整理求解得$x_1=25,x_2=43$；
将二次函数配方得$z=-2(x-34)^2+512$，由于$-2＜0$，函数开口向下，顶点处取最大值，因此当$x=34$时，z取最大值512万元。
(3) 结合函数图象可知当$25≤x≤43$时$z≥350$，结合限价32元的要求，得$25≤x≤32$；
$y=-2x+100$中y随x增大而减小，因此x取最大值32时y最小，对应制造成本最低，代入计算得最低成本为$18×(-2×32+100)=648$万元。
【答案】
1.解:(1)$z=(x-18)y$
$=(x-18)(-2x+100)$
$=-2x^2+136x-1800$.
(2)由 $z=350$,得 $350=-2x^2+136x-1800$,
解得 $x_1=25,x_2=43$,
$\therefore$ 当销售单价定为 25 元或 43 元时,厂商每月获利 350 万元.
$\because z=-2x^2+136x-1800=-2(x-34)^2+512$,
$\therefore$ 当销售单价为 34 元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元.
(3)结合(2)及函数 $z=-2x^2+136x-1800$ 的图象(如答图 26-4-2)可知，
当 $25≤ x≤43$ 时 $z≥350$,
又由限价 32 元,得 $25≤ x≤32$,
根据一次函数的性质,得
$y=-2x+100$ 中 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x=32$ 时,每月制造成本最低.
最低制造成本是 $18×(-2×32+100)=648$(万元),
因此,每月最低制造成本为 648 万元.
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法，一次函数的性质
【点评】
本题是典型的利润类实际应用问题，综合考查了函数与方程的相关知识，解题时需要理清各数量间的关系，同时注意题干的限制条件，结合函数性质确定取值范围求解，能有效考查学生运用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
2.某企业信息部进行市场调研发现：
信息一:如果单独投资 A 种产品,则所获利润 $ y_A $(万元)与投资金额 $ x $(万元)之间存在正比例函数关系:$ y_A = kx $,并且当投资5万元时,可获利润2万元.
信息二:如果单独投资 B 种产品,则所获利润 $ y_B $(万元)与投资金额 $ x $(万元)之间存在二次函数关系:$ y_B = ax^2 + bx $,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,可获利润3.2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数解析式与二次函数解析式；
(2)如果企业同时对 A、B 两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
信息一:如果单独投资 A 种产品,则所获利润 $ y_A $(万元)与投资金额 $ x $(万元)之间存在正比例函数关系:$ y_A = kx $,并且当投资5万元时,可获利润2万元.
信息二:如果单独投资 B 种产品,则所获利润 $ y_B $(万元)与投资金额 $ x $(万元)之间存在二次函数关系:$ y_B = ax^2 + bx $,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,可获利润3.2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数解析式与二次函数解析式；
(2)如果企业同时对 A、B 两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
答案
2.解:(1)$\because x=5,y_A=2,\therefore 2=5k$,
解得 $k=0.4,\therefore y_A=0.4x$.
同理,有$\begin{cases}2.4=4a+2b,\\3.2=16a+4b\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.2,\\b=1.6.\end{cases}$
$\therefore y_B=-0.2x^2+1.6x$.
(2)设投资 B 种产品 $x$ 万元,则投资 A 种产品$(10-x)$万元,获得利润 $W$ 万元.
根据题意,得 $W=-0.2x^2+1.6x+0.4(10-x)=-0.2x^2+1.2x+4=-0.2(x-3)^2+5.8$.
由 $W=-0.2(x-3)^2+5.8$ 知,当投资 B 种产品 3 万元时,可获得最大利润,为5.8万元.
$\therefore$ 能获得最大利润的投资方案为:投资 A种产品 7 万元,B 种产品 3 万元按此方案能获得的最大利润为 5.8 万元.
点拨:本题以投资与利润为背景,利用待定系数法确定正比例函数和二次函数的解析式,再考虑由它们组成的新函数的最大值.
解得 $k=0.4,\therefore y_A=0.4x$.
同理,有$\begin{cases}2.4=4a+2b,\\3.2=16a+4b\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.2,\\b=1.6.\end{cases}$
$\therefore y_B=-0.2x^2+1.6x$.
(2)设投资 B 种产品 $x$ 万元,则投资 A 种产品$(10-x)$万元,获得利润 $W$ 万元.
根据题意,得 $W=-0.2x^2+1.6x+0.4(10-x)=-0.2x^2+1.2x+4=-0.2(x-3)^2+5.8$.
由 $W=-0.2(x-3)^2+5.8$ 知,当投资 B 种产品 3 万元时,可获得最大利润,为5.8万元.
$\therefore$ 能获得最大利润的投资方案为:投资 A种产品 7 万元,B 种产品 3 万元按此方案能获得的最大利润为 5.8 万元.
点拨:本题以投资与利润为背景,利用待定系数法确定正比例函数和二次函数的解析式,再考虑由它们组成的新函数的最大值.
解析
【分析】
（1）求函数解析式可使用待定系数法：正比例函数仅含一个未知系数k，将已知的x=5、$y_A=2$代入表达式即可求出k的值；二次函数含两个未知系数a、b，将两组对应的x、$y_B$值代入表达式得到二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
（2）要计算最大利润，先合理设变量：设投资B种产品x万元，则投资A种产品的金额为(10-x)万元，总利润W为A、B两种产品的利润之和，将两个函数代入后整理得到关于x的二次函数，将二次函数配方为顶点式，结合二次项系数的符号判断最大值对应的x值，即可得到最优投资方案和最大利润。
【解析】
(1) 对于正比例函数$y_A=kx$，将$x=5$，$y_A=2$代入得：
$2=5k$，解得$k=0.4$，
$\therefore$ 正比例函数解析式为$y_A=0.4x$。
对于二次函数$y_B=ax^2+bx$，分别将$x=2,y_B=2.4$和$x=4,y_B=3.2$代入得方程组：
$\begin{cases}2.4=4a+2b\\3.2=16a+4b\end{cases}$
解方程组：将第一个方程两边乘2得$4.8=8a+4b$，减去第二个方程得$1.6=-8a$，解得$a=-0.2$，代入第一个方程得$2.4=4×(-0.2)+2b$，解得$b=1.6$，
$\therefore$ 二次函数解析式为$y_B=-0.2x^2+1.6x$。
(2) 设投资B种产品$x$万元，则投资A种产品$(10-x)$万元，设总利润为$W$万元，根据题意得：
$W=y_B+y_A=-0.2x^2+1.6x+0.4(10-x)$
化简得：$W=-0.2x^2+1.2x+4$
配方得：$W=-0.2(x^2-6x)+4=-0.2(x^2-6x+9-9)+4=-0.2(x-3)^2+5.8$
$\because -0.2＜0$，$\therefore$ 该二次函数开口向下，当$x=3$时，$W$取得最大值，最大值为5.8万元。
此时投资A种产品的金额为$10-3=7$（万元）。
【答案】
(1) 正比例函数解析式为$y_A=0.4x$，二次函数解析式为$y_B=-0.2x^2+1.6x$；
(2) 最优投资方案为投资A种产品7万元，B种产品3万元，最大利润为5.8万元。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；函数实际应用
【点评】
本题以实际投资利润为背景，既考查了待定系数法求函数解析式的基础方法，又考查了利用二次函数解决实际最值问题的能力，解题时要注意合理设置变量，化简函数表达式时保证运算准确，同时要结合实际意义确认自变量的取值符合要求。
【难度系数】
0.7
（1）求函数解析式可使用待定系数法：正比例函数仅含一个未知系数k，将已知的x=5、$y_A=2$代入表达式即可求出k的值；二次函数含两个未知系数a、b，将两组对应的x、$y_B$值代入表达式得到二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
（2）要计算最大利润，先合理设变量：设投资B种产品x万元，则投资A种产品的金额为(10-x)万元，总利润W为A、B两种产品的利润之和，将两个函数代入后整理得到关于x的二次函数，将二次函数配方为顶点式，结合二次项系数的符号判断最大值对应的x值，即可得到最优投资方案和最大利润。
【解析】
(1) 对于正比例函数$y_A=kx$，将$x=5$，$y_A=2$代入得：
$2=5k$，解得$k=0.4$，
$\therefore$ 正比例函数解析式为$y_A=0.4x$。
对于二次函数$y_B=ax^2+bx$，分别将$x=2,y_B=2.4$和$x=4,y_B=3.2$代入得方程组：
$\begin{cases}2.4=4a+2b\\3.2=16a+4b\end{cases}$
解方程组：将第一个方程两边乘2得$4.8=8a+4b$，减去第二个方程得$1.6=-8a$，解得$a=-0.2$，代入第一个方程得$2.4=4×(-0.2)+2b$，解得$b=1.6$，
$\therefore$ 二次函数解析式为$y_B=-0.2x^2+1.6x$。
(2) 设投资B种产品$x$万元，则投资A种产品$(10-x)$万元，设总利润为$W$万元，根据题意得：
$W=y_B+y_A=-0.2x^2+1.6x+0.4(10-x)$
化简得：$W=-0.2x^2+1.2x+4$
配方得：$W=-0.2(x^2-6x)+4=-0.2(x^2-6x+9-9)+4=-0.2(x-3)^2+5.8$
$\because -0.2＜0$，$\therefore$ 该二次函数开口向下，当$x=3$时，$W$取得最大值，最大值为5.8万元。
此时投资A种产品的金额为$10-3=7$（万元）。
【答案】
(1) 正比例函数解析式为$y_A=0.4x$，二次函数解析式为$y_B=-0.2x^2+1.6x$；
(2) 最优投资方案为投资A种产品7万元，B种产品3万元，最大利润为5.8万元。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；函数实际应用
【点评】
本题以实际投资利润为背景，既考查了待定系数法求函数解析式的基础方法，又考查了利用二次函数解决实际最值问题的能力，解题时要注意合理设置变量，化简函数表达式时保证运算准确，同时要结合实际意义确认自变量的取值符合要求。
【难度系数】
0.7
