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11.【综合与实践】若$(a-1)x^{|a|}+4=0$是关于$x$的一元一次方程。
(1)求$a$的值；
(2)请写出这个方程；
(3)解这个方程。
(1)求$a$的值；
(2)请写出这个方程；
(3)解这个方程。
答案
11. 解:(1)根据一元一次方程的定义可知
$a-1≠0,|a|=1$,解得 $a=-1$。
(2)将 $a=-1$ 代入方程得 $-2x+4=0$。
(3)由 $-2x+4=0$,解得 $x=2$。
$a-1≠0,|a|=1$,解得 $a=-1$。
(2)将 $a=-1$ 代入方程得 $-2x+4=0$。
(3)由 $-2x+4=0$,解得 $x=2$。
解析
【分析】
本题围绕一元一次方程的定义展开解题。(1)求a的值时，首先明确一元一次方程的两个核心条件：一是只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不为0，据此列关于a的关系式求解即可。(2)将求出的a值代入原式，就能得到对应的一元一次方程。(3)解一元一次方程时，通过移项、系数化为1的常规步骤即可求出x的值。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|a|=1 \\ a-1≠ 0\end{cases}$
由$|a|=1$得$a=\pm 1$，结合$a-1≠ 0$即$a≠ 1$，因此解得$a=-1$。
(2) 将$a=-1$代入原方程$(a-1)x^{|a|}+4=0$，可得：
$(-1-1)x^{|-1|}+4=0$，化简得$-2x+4=0$。
(3) 解方程$-2x+4=0$：
移项得$-2x=-4$，
系数化为1，两边同时除以$-2$，得$x=2$。
【答案】
(1) $a=-1$；(2) $-2x+4=0$；(3) $x=2$
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确掌握一元一次方程的定义，尤其要注意一次项系数不为0这个容易遗漏的条件，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤即可轻松求解。
【难度系数】
0.85
本题围绕一元一次方程的定义展开解题。(1)求a的值时，首先明确一元一次方程的两个核心条件：一是只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不为0，据此列关于a的关系式求解即可。(2)将求出的a值代入原式，就能得到对应的一元一次方程。(3)解一元一次方程时，通过移项、系数化为1的常规步骤即可求出x的值。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|a|=1 \\ a-1≠ 0\end{cases}$
由$|a|=1$得$a=\pm 1$，结合$a-1≠ 0$即$a≠ 1$，因此解得$a=-1$。
(2) 将$a=-1$代入原方程$(a-1)x^{|a|}+4=0$，可得：
$(-1-1)x^{|-1|}+4=0$，化简得$-2x+4=0$。
(3) 解方程$-2x+4=0$：
移项得$-2x=-4$，
系数化为1，两边同时除以$-2$，得$x=2$。
【答案】
(1) $a=-1$；(2) $-2x+4=0$；(3) $x=2$
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确掌握一元一次方程的定义，尤其要注意一次项系数不为0这个容易遗漏的条件，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤即可轻松求解。
【难度系数】
0.85
12.【综合与实践】在解方程$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)=35$时，小明被难住。以下是小明、小丽、小飞同学的对话和解答过程，请你将其补充完整。
小明:你俩只要帮我讲讲解此方程第一步的想法、依据就可以了。
小丽:解此方程的第一步,我观察到含有括号,我认为应先
请利用小丽的想法写出完整的解答过程。
小飞:解此方程的第一步还可以这样想,我观察到此方程含分母,我认为应先
请利用小飞的想法写出完整的解答过程。
小明:你俩只要帮我讲讲解此方程第一步的想法、依据就可以了。
小丽:解此方程的第一步,我观察到含有括号,我认为应先
去括号
,依据是乘法对加法的分配律
,就可以考虑合并同类项了。请利用小丽的想法写出完整的解答过程。
小飞:解此方程的第一步还可以这样想,我观察到此方程含分母,我认为应先
去分母
,在方程两边都乘4
,依据是等式的基本性质
。请利用小飞的想法写出完整的解答过程。
答案
12. 解:去括号 乘法对加法的分配律
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(x-94)=35,\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}×94=35,\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}×94+35,\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}×94+35,x=78$。
去分母 乘4 等式的基本性质
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(x-94)=35,2x+(x-94)=4×35,2x+x-94=140,3x=234,x=78$。
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(x-94)=35,\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}×94=35,\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}×94+35,\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}×94+35,x=78$。
去分母 乘4 等式的基本性质
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(x-94)=35,2x+(x-94)=4×35,2x+x-94=140,3x=234,x=78$。
解析
【分析】
解该一元一次方程有两种常见入手思路：第一种是先处理括号，方程中含有带括号的项，先去括号可将所有项展开，后续就能合并同类项简化计算，去括号的依据是乘法对加法的分配律；第二种是先处理分母，方程内系数均为分数，先去分母将系数转化为整数可降低分数运算的出错率，去分母的依据是等式的基本性质，给方程两边同乘所有分母的最小公倍数即可消去分母，再按步骤求解即可。
【解析】
小丽的解法：
第一步应先去括号，依据是乘法对加法的分配律，完整解答如下：
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)=35$
去括号，得：$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}×94=35$
移项，得：$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}×94+35$
合并同类项，得：$\frac{3}{4}x=\frac{234}{4}$
系数化为1，得：$x=78$
小飞的解法：
第一步应先去分母，在方程两边都乘4，依据是等式的基本性质，完整解答如下：
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)=35$
去分母，得：$2x+(x-94)=4×35$
去括号，得：$2x+x-94=140$
移项、合并同类项，得：$3x=234$
系数化为1，得：$x=78$
【答案】
小丽：去括号；乘法对加法的分配律；解答过程见上述解析，最终$x=78$。
小飞：去分母；乘4；等式的基本性质；解答过程见上述解析，最终$x=78$。
【知识点】
一元一次方程的解法、乘法分配律、等式的基本性质
【点评】
本题考查解一元一次方程的两种基础思路，能帮助学生理解解方程各步骤的理论依据，解题时需注意去括号不要漏乘括号内的项，去分母不要漏乘不含分母的常数项，可有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.8
解该一元一次方程有两种常见入手思路：第一种是先处理括号，方程中含有带括号的项，先去括号可将所有项展开，后续就能合并同类项简化计算，去括号的依据是乘法对加法的分配律；第二种是先处理分母，方程内系数均为分数，先去分母将系数转化为整数可降低分数运算的出错率，去分母的依据是等式的基本性质，给方程两边同乘所有分母的最小公倍数即可消去分母，再按步骤求解即可。
【解析】
小丽的解法：
第一步应先去括号，依据是乘法对加法的分配律，完整解答如下：
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)=35$
去括号，得：$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}×94=35$
移项，得：$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}×94+35$
合并同类项，得：$\frac{3}{4}x=\frac{234}{4}$
系数化为1，得：$x=78$
小飞的解法：
第一步应先去分母，在方程两边都乘4，依据是等式的基本性质，完整解答如下：
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}(x - 94)=35$
去分母，得：$2x+(x-94)=4×35$
去括号，得：$2x+x-94=140$
移项、合并同类项，得：$3x=234$
系数化为1，得：$x=78$
【答案】
小丽：去括号；乘法对加法的分配律；解答过程见上述解析，最终$x=78$。
小飞：去分母；乘4；等式的基本性质；解答过程见上述解析，最终$x=78$。
【知识点】
一元一次方程的解法、乘法分配律、等式的基本性质
【点评】
本题考查解一元一次方程的两种基础思路，能帮助学生理解解方程各步骤的理论依据，解题时需注意去括号不要漏乘括号内的项，去分母不要漏乘不含分母的常数项，可有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.8
