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10. 如图所示的是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，要选一位成绩较稳定的运动员去参加比赛，应选的运动员是
甲
。（填“甲”或“乙”）答案
10.甲
解析
【分析】
要判断哪位运动员成绩更稳定，需比较两人成绩的波动大小，波动越小（方差越小）成绩越稳定。解题步骤如下：第一步从折线统计图中分别提取甲、乙10次射击的成绩；第二步分别计算两人成绩的方差；第三步比较方差大小，选择方差较小的运动员参赛即可。
【解析】
首先提取两人10次射击成绩：
甲的成绩：9、7、10、8、9、7、9、7、8、8
乙的成绩：6、9、10、6、8、8、10、8、6、9
计算甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{9+7+10+8+9+7+9+7+8+8}{10}=8.2$
计算甲的方差：
$s^2_甲=\frac{3×(9-8.2)^2+3×(7-8.2)^2+(10-8.2)^2+3×(8-8.2)^2}{10}=0.96$
计算乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{6+9+10+6+8+8+10+8+6+9}{10}=8$
计算乙的方差：
$s^2_乙=\frac{3×(6-8)^2+2×(9-8)^2+2×(10-8)^2+3×(8-8)^2}{10}=2.2$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，更稳定，所以应选甲参加比赛。
【答案】
甲
【知识点】
折线统计图、方差、数据稳定性
【点评】
本题结合折线统计图考查数据稳定性的判断，解题核心是理解方差越小，数据的波动程度越小，对应成绩越稳定，需要掌握从统计图中准确提取数据、正确计算方差的技能。
【难度系数】
0.7
要判断哪位运动员成绩更稳定，需比较两人成绩的波动大小，波动越小（方差越小）成绩越稳定。解题步骤如下：第一步从折线统计图中分别提取甲、乙10次射击的成绩；第二步分别计算两人成绩的方差；第三步比较方差大小，选择方差较小的运动员参赛即可。
【解析】
首先提取两人10次射击成绩：
甲的成绩：9、7、10、8、9、7、9、7、8、8
乙的成绩：6、9、10、6、8、8、10、8、6、9
计算甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{9+7+10+8+9+7+9+7+8+8}{10}=8.2$
计算甲的方差：
$s^2_甲=\frac{3×(9-8.2)^2+3×(7-8.2)^2+(10-8.2)^2+3×(8-8.2)^2}{10}=0.96$
计算乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{6+9+10+6+8+8+10+8+6+9}{10}=8$
计算乙的方差：
$s^2_乙=\frac{3×(6-8)^2+2×(9-8)^2+2×(10-8)^2+3×(8-8)^2}{10}=2.2$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，更稳定，所以应选甲参加比赛。
【答案】
甲
【知识点】
折线统计图、方差、数据稳定性
【点评】
本题结合折线统计图考查数据稳定性的判断，解题核心是理解方差越小，数据的波动程度越小，对应成绩越稳定，需要掌握从统计图中准确提取数据、正确计算方差的技能。
【难度系数】
0.7
11. 已知五个数据 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ 的平均数是 $a$，方差是 $b$，则 $3x_1 - 2, 3x_2 - 2, 3x_3 - 2, 3x_4 - 2, 3x_5 - 2$ 这五个数据的平均数和方差分别是
$3a-2,9b$
。答案
11.$3a-2,9b$
解析
【分析】
解题时可以从平均数和方差的定义出发逐步推导：首先，原数据平均数已知，可先得到原数据的总和，再计算新数据的总和，除以数据个数即可得到新的平均数；其次，方差反映的是数据的离散程度，计算新方差时，先表示出新数据与新平均数的差值，化简后即可找到和原方差的关系，也可直接利用数据线性变换的统计量规律快速求解。
【解析】
解：已知原5个数据的平均数为$a$，则原数据总和为：
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5a$
1. 计算新数据的平均数：
新数据的平均数$\overline{x}'=\frac{(3x_1-2)+(3x_2-2)+(3x_3-2)+(3x_4-2)+(3x_5-2)}{5}$
$=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-2×5}{5}$
将$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5a$代入得：
$\overline{x}'=\frac{3×5a -10}{5}=3a-2$
2. 计算新数据的方差：
已知原方差$b=\frac{(x_1-a)^2+(x_2-a)^2+(x_3-a)^2+(x_4-a)^2+(x_5-a)^2}{5}$
新方差$s'^2=\frac{[(3x_1-2)-(3a-2)]^2+[(3x_2-2)-(3a-2)]^2+\dots+[(3x_5-2)-(3a-2)]^2}{5}$
化简每一项的差值：$(3x_i-2)-(3a-2)=3(x_i-a)$，代入得：
$s'^2=\frac{9(x_1-a)^2+9(x_2-a)^2+\dots+9(x_5-a)^2}{5}$
$=9×\frac{(x_1-a)^2+(x_2-a)^2+\dots+(x_5-a)^2}{5}=9b$
【答案】
$3a-2,9b$
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题核心考察平均数和方差的性质，掌握数据做“乘k加c”的线性变换时，平均数同步做相同变换、方差变为原来的$k^2$倍的规律，可大大提升解题效率，注意加减常数不会改变数据的离散程度，因此对方差无影响，避免计算方差时错误代入常数项。
【难度系数】
0.7
解题时可以从平均数和方差的定义出发逐步推导：首先，原数据平均数已知，可先得到原数据的总和，再计算新数据的总和，除以数据个数即可得到新的平均数；其次，方差反映的是数据的离散程度，计算新方差时，先表示出新数据与新平均数的差值，化简后即可找到和原方差的关系，也可直接利用数据线性变换的统计量规律快速求解。
【解析】
解：已知原5个数据的平均数为$a$，则原数据总和为：
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5a$
1. 计算新数据的平均数：
新数据的平均数$\overline{x}'=\frac{(3x_1-2)+(3x_2-2)+(3x_3-2)+(3x_4-2)+(3x_5-2)}{5}$
$=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-2×5}{5}$
将$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5a$代入得：
$\overline{x}'=\frac{3×5a -10}{5}=3a-2$
2. 计算新数据的方差：
已知原方差$b=\frac{(x_1-a)^2+(x_2-a)^2+(x_3-a)^2+(x_4-a)^2+(x_5-a)^2}{5}$
新方差$s'^2=\frac{[(3x_1-2)-(3a-2)]^2+[(3x_2-2)-(3a-2)]^2+\dots+[(3x_5-2)-(3a-2)]^2}{5}$
化简每一项的差值：$(3x_i-2)-(3a-2)=3(x_i-a)$，代入得：
$s'^2=\frac{9(x_1-a)^2+9(x_2-a)^2+\dots+9(x_5-a)^2}{5}$
$=9×\frac{(x_1-a)^2+(x_2-a)^2+\dots+(x_5-a)^2}{5}=9b$
【答案】
$3a-2,9b$
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题核心考察平均数和方差的性质，掌握数据做“乘k加c”的线性变换时，平均数同步做相同变换、方差变为原来的$k^2$倍的规律，可大大提升解题效率，注意加减常数不会改变数据的离散程度，因此对方差无影响，避免计算方差时错误代入常数项。
【难度系数】
0.7
12. 为计算某数据的方差，列出如下算式：
。据此判断：①平均数是4；②众数是3；③中位数是3；④上四分位数和下四分位数相同。以上判断错误的是
。据此判断：①平均数是4；②众数是3；③中位数是3；④上四分位数和下四分位数相同。以上判断错误的是①
。（填序号）答案
12.①
解析
【分析】
首先要根据给出的方差计算公式还原原始数据：方差公式中每个$(数据-\bar{x})^2$的系数对应该数据出现的频数，由此可得原始数据集，再分别计算平均数、众数、中位数、四分位数，逐一判断四个结论的对错，找出错误结论即可。
【解析】
根据方差算式还原原始数据：
$(2-\bar{x})^2$的系数为1，说明数据2出现1次；$3(3-\bar{x})^2$的系数为3，说明数据3出现3次；$(7-\bar{x})^2$的系数为1，说明数据7出现1次，总数据个数$n=1+3+1=5$，将原始数据从小到大排序为：2，3，3，3，7。
逐一判断结论：
① 计算平均数：$\bar{x}=\frac{2+3+3+3+7}{5}=\frac{18}{5}=3.6≠4$，故①错误；
② 众数是一组数据中出现次数最多的数，3出现了3次，次数最多，所以众数是3，故②正确；
③ 5个数据的中位数是排序后第3个数据，为3，故③正确；
④ 计算四分位数：下四分位数为第25百分位数，$i=5×0.25=1.25$，向上取整为2，对应第2个数据是3；上四分位数为第75百分位数，$i=5×0.75=3.75$，向上取整为4，对应第4个数据是3，二者相同，故④正确。
综上，错误的是①。
【答案】
①
【知识点】
方差的意义；平均数计算；统计量判断
【点评】
本题考查对方差公式的理解和常见统计量的计算，解题关键是正确解读方差公式中各项的含义，准确还原原始数据集，再按定义计算各统计量即可。
【难度系数】
0.7
首先要根据给出的方差计算公式还原原始数据：方差公式中每个$(数据-\bar{x})^2$的系数对应该数据出现的频数，由此可得原始数据集，再分别计算平均数、众数、中位数、四分位数，逐一判断四个结论的对错，找出错误结论即可。
【解析】
根据方差算式还原原始数据：
$(2-\bar{x})^2$的系数为1，说明数据2出现1次；$3(3-\bar{x})^2$的系数为3，说明数据3出现3次；$(7-\bar{x})^2$的系数为1，说明数据7出现1次，总数据个数$n=1+3+1=5$，将原始数据从小到大排序为：2，3，3，3，7。
逐一判断结论：
① 计算平均数：$\bar{x}=\frac{2+3+3+3+7}{5}=\frac{18}{5}=3.6≠4$，故①错误；
② 众数是一组数据中出现次数最多的数，3出现了3次，次数最多，所以众数是3，故②正确；
③ 5个数据的中位数是排序后第3个数据，为3，故③正确；
④ 计算四分位数：下四分位数为第25百分位数，$i=5×0.25=1.25$，向上取整为2，对应第2个数据是3；上四分位数为第75百分位数，$i=5×0.75=3.75$，向上取整为4，对应第4个数据是3，二者相同，故④正确。
综上，错误的是①。
【答案】
①
【知识点】
方差的意义；平均数计算；统计量判断
【点评】
本题考查对方差公式的理解和常见统计量的计算，解题关键是正确解读方差公式中各项的含义，准确还原原始数据集，再按定义计算各统计量即可。
【难度系数】
0.7
13. 某校体育运动周举行跳绳比赛，25名参赛选手的初赛成绩如下。
(1)学校要求选取比赛成绩位列前7名的选手参加决赛，A同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选。你认为A同学的分析正确吗？并说明理由；
(2)评委发现成绩第7名有B和C两名同学，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，下表是五位评委对这两名同学加赛的打分情况及分析后的数据：
①表格中$m=$
②根据表中数据，你认为选择哪名同学参加决赛更合适？
(1)学校要求选取比赛成绩位列前7名的选手参加决赛，A同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选。你认为A同学的分析正确吗？并说明理由；
(2)评委发现成绩第7名有B和C两名同学，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，下表是五位评委对这两名同学加赛的打分情况及分析后的数据：
①表格中$m=$
2.4
，$n=$7
；②根据表中数据，你认为选择哪名同学参加决赛更合适？
答案
13.解:(1)A同学的分析不正确。由题中统计图知，确定比A同学成绩高的只有3人，成绩在6～8分的虽然有6人，但比6.5分高的人数不明确，所以比6.5分高的人数不明确，所以A同学的分析不正确。
(2)①2.4，7；②选择C同学参加更合适，因为两人成绩的平均数相等，而C同学成绩的方差小于B同学，所以C同学成绩更加稳定。
(2)①2.4，7；②选择C同学参加更合适，因为两人成绩的平均数相等，而C同学成绩的方差小于B同学，所以C同学成绩更加稳定。
解析
【分析】
(1) 判断A的分析是否正确，需先明确进入决赛的要求是成绩排前7名，即只要成绩高于A的人数不超过6人，A就有机会进入决赛。首先统计确定高于6.5分的人数：8~10分段的3人成绩均高于6.5分；而6~8分段共6人，这部分人中高于6.5分的人数无法确定，因此无法断定A一定排在7名之后，即可判断A的分析是否正确。
(2) ①求n时，将C同学的打分从小到大排序，取中间位置的数就是中位数n；按照方差公式计算可得到m的值。②选择参赛选手时，若两人平均成绩相同，方差越小说明成绩越稳定，优先选择方差小的选手即可。
【解析】
(1) A同学的分析不正确。理由：由成绩统计图可得，成绩在8~10分的共有3人，这3人的成绩均高于A的6.5分；成绩在6~8分区间的共有6人，无法确定这6人中高于6.5分的人数，因此成绩高于6.5分的总人数不能确定，可能小于等于6人，此时A可以进入前7名，因此不能断定A一定会落选。
(2) ①将C同学的打分按从小到大排序后，第3个数据为7，因此中位数n=7；根据方差的计算公式计算可得B同学成绩的方差m=2.4，因此m=2.4，n=7。
②由表中数据可知，B、C两名同学的平均成绩相等，而C同学成绩的方差小于B同学的方差，说明C的成绩更稳定，因此选C参加决赛更合适。
【答案】
(1)A同学的分析不正确。由题中统计图知，确定比A同学成绩高的只有3人，成绩在6～8分的虽然有6人，但比6.5分高的人数不明确，所以A同学的分析不正确。
(2)①2.4，7；②选择C同学参加更合适，因为两人成绩的平均数相等，而C同学成绩的方差小于B同学，所以C同学成绩更加稳定。
【知识点】
统计数据分析，方差的意义，中位数的计算
【点评】
本题结合实际比赛场景考查统计知识的应用，要求学生结合具体情境理解不同统计量的实际作用，能有效锻炼学生的数据分析和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断A的分析是否正确，需先明确进入决赛的要求是成绩排前7名，即只要成绩高于A的人数不超过6人，A就有机会进入决赛。首先统计确定高于6.5分的人数：8~10分段的3人成绩均高于6.5分；而6~8分段共6人，这部分人中高于6.5分的人数无法确定，因此无法断定A一定排在7名之后，即可判断A的分析是否正确。
(2) ①求n时，将C同学的打分从小到大排序，取中间位置的数就是中位数n；按照方差公式计算可得到m的值。②选择参赛选手时，若两人平均成绩相同，方差越小说明成绩越稳定，优先选择方差小的选手即可。
【解析】
(1) A同学的分析不正确。理由：由成绩统计图可得，成绩在8~10分的共有3人，这3人的成绩均高于A的6.5分；成绩在6~8分区间的共有6人，无法确定这6人中高于6.5分的人数，因此成绩高于6.5分的总人数不能确定，可能小于等于6人，此时A可以进入前7名，因此不能断定A一定会落选。
(2) ①将C同学的打分按从小到大排序后，第3个数据为7，因此中位数n=7；根据方差的计算公式计算可得B同学成绩的方差m=2.4，因此m=2.4，n=7。
②由表中数据可知，B、C两名同学的平均成绩相等，而C同学成绩的方差小于B同学的方差，说明C的成绩更稳定，因此选C参加决赛更合适。
【答案】
(1)A同学的分析不正确。由题中统计图知，确定比A同学成绩高的只有3人，成绩在6～8分的虽然有6人，但比6.5分高的人数不明确，所以A同学的分析不正确。
(2)①2.4，7；②选择C同学参加更合适，因为两人成绩的平均数相等，而C同学成绩的方差小于B同学，所以C同学成绩更加稳定。
【知识点】
统计数据分析，方差的意义，中位数的计算
【点评】
本题结合实际比赛场景考查统计知识的应用，要求学生结合具体情境理解不同统计量的实际作用，能有效锻炼学生的数据分析和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
