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14. 某校随机调查了本学期部分学生每天的睡眠时间情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图。
（第14题）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)本次调查的学生人数为
(2)已知该校共有2000名学生，请通过计算估计全校本学期每天的睡眠时间为6 h的学生人数；
(3)学校随后又补查了另外几名学生每天的睡眠时间情况，发现这几名学生每天的睡眠时间恰好相同，将其与之前的数据合并后，发现睡眠时间的众数变成了另外一个数，求补查人数的最小值。
（第14题）根据以上信息，解决下列问题：
(1)本次调查的学生人数为
40
，$a=$15
；(2)已知该校共有2000名学生，请通过计算估计全校本学期每天的睡眠时间为6 h的学生人数；
(3)学校随后又补查了另外几名学生每天的睡眠时间情况，发现这几名学生每天的睡眠时间恰好相同，将其与之前的数据合并后，发现睡眠时间的众数变成了另外一个数，求补查人数的最小值。
答案
14.解:(1)40 15
(2)因为 $2\ 000×\dfrac{7}{40}=350$(人)，所以估计全校本学期每天的睡眠时间为6 h的学生人数为350。
(3)补查前学生睡眠时间的众数是7 h，因为补查的几人睡眠时间恰好相同，且补查后睡眠时间的众数变成了另一个数，所以补查的人数最少为 $15-10+1=6$。
(2)因为 $2\ 000×\dfrac{7}{40}=350$(人)，所以估计全校本学期每天的睡眠时间为6 h的学生人数为350。
(3)补查前学生睡眠时间的众数是7 h，因为补查的几人睡眠时间恰好相同，且补查后睡眠时间的众数变成了另一个数，所以补查的人数最少为 $15-10+1=6$。
解析
【分析】
(1) 计算调查总人数时，可结合统计表和扇形图中对应组的频数与频率，利用“总人数=频数÷对应频率”求解；再用对应组的频数除以总人数得到频率，即可求得a的值。
(2) 利用样本估计总体的思想，先算出样本中每天睡眠时间为6h的学生占比，再乘全校总人数即可得到估计的人数。
(3) 先确定补查前的众数（即出现次数最多的睡眠时间对应的人数），要使补查后众数变为另一个数，需要让补查的同睡眠时间的总人数超过原众数的人数，最小的正整数解就是补查的最小人数。
【解析】
(1) 由统计图表信息可得，某组频数为6，对应频率为15%，因此本次调查的学生总人数为$6÷15\%=40$；对应组的频率为15%，因此$a=15$。
(2) 样本中每天睡眠时间为6h的学生占比为$\dfrac{7}{40}$，因此全校2000名学生中，每天睡眠时间为6h的估计人数为：
$2000×\dfrac{7}{40}=350$（人）
(3) 补查前，睡眠时间为7h的人数最多，共15人，因此原众数是7h。补查的学生睡眠时间都相同，要让众数变为另一个数，需要让另一个睡眠时间的总人数超过15人，其余睡眠时间中人数最多的为10人，因此补查的最小人数为：
$15-10+1=6$
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{15}$
(2) $\boldsymbol{350}$人
(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
统计图表应用，样本估计总体，众数的定义
【点评】
本题属于统计综合题，前两问侧重基础运算，掌握频数、频率、总数的关系和样本估计总体的方法即可顺利求解；第三问需要准确理解众数的概念，结合最值逻辑分析，能有效考查学生的数据分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 计算调查总人数时，可结合统计表和扇形图中对应组的频数与频率，利用“总人数=频数÷对应频率”求解；再用对应组的频数除以总人数得到频率，即可求得a的值。
(2) 利用样本估计总体的思想，先算出样本中每天睡眠时间为6h的学生占比，再乘全校总人数即可得到估计的人数。
(3) 先确定补查前的众数（即出现次数最多的睡眠时间对应的人数），要使补查后众数变为另一个数，需要让补查的同睡眠时间的总人数超过原众数的人数，最小的正整数解就是补查的最小人数。
【解析】
(1) 由统计图表信息可得，某组频数为6，对应频率为15%，因此本次调查的学生总人数为$6÷15\%=40$；对应组的频率为15%，因此$a=15$。
(2) 样本中每天睡眠时间为6h的学生占比为$\dfrac{7}{40}$，因此全校2000名学生中，每天睡眠时间为6h的估计人数为：
$2000×\dfrac{7}{40}=350$（人）
(3) 补查前，睡眠时间为7h的人数最多，共15人，因此原众数是7h。补查的学生睡眠时间都相同，要让众数变为另一个数，需要让另一个睡眠时间的总人数超过15人，其余睡眠时间中人数最多的为10人，因此补查的最小人数为：
$15-10+1=6$
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{15}$
(2) $\boldsymbol{350}$人
(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
统计图表应用，样本估计总体，众数的定义
【点评】
本题属于统计综合题，前两问侧重基础运算，掌握频数、频率、总数的关系和样本估计总体的方法即可顺利求解；第三问需要准确理解众数的概念，结合最值逻辑分析，能有效考查学生的数据分析能力。
【难度系数】
0.6
15. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手的得分数据整理成下列统计图表。
根据以上信息，完成下列问题：
(1)求出$a,b,c$的值。
(2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由。
(3)在比赛中，在所有评委给出的分数中，往往先去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分。如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为$d$，直接写出$d$与$a$的大小关系。
根据以上信息，完成下列问题：
(1)求出$a,b,c$的值。
(2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由。
(3)在比赛中，在所有评委给出的分数中，往往先去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分。如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为$d$，直接写出$d$与$a$的大小关系。
答案
15.解:(1)由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为:10,9,9,8,8,所以甲得分的方差$a=\dfrac{1}{5}×[(10-8.8)^2+2×(9-8.8)^2+2×(8-8.8)^2]=0.56$;由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为:10,9,9,9,7,所以乙得分的中位数为$b=9$;由丙得分的扇形统计图可知，丙得分的平均数$c=10×40\%+8×60\%=8.8$,所以$a=0.56,b=9,c=8.8$。
(2)选甲更合适。理由如下：
因为甲、乙、丙三人的平均成绩相等，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲。
(3)$d＜a$。
(2)选甲更合适。理由如下：
因为甲、乙、丙三人的平均成绩相等，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲。
(3)$d＜a$。
解析
【分析】
(1)求$a$（甲的方差）：先从甲的得分折线图提取5个得分，结合已知的平均分代入方差公式计算即可；求$b$（乙的中位数）：从乙的条形统计图提取5个得分，按大小排序后取最中间的数即为中位数；求$c$（丙的平均数）：从丙的扇形统计图得到各得分的占比，用加权平均数公式计算即可。
(2)选择参赛选手的决策逻辑：先比较三人的平均成绩，若平均成绩相近，再比较方差，方差越小说明成绩越稳定，优先选择方差小的选手。
(3)比较$d$和$a$的大小：去掉最高分和最低分后，数据的波动程度会变小，根据方差反映数据波动大小的性质，可直接判断方差的大小关系。
【解析】
(1)①从甲得分的折线统计图可得甲的5个得分为：10，9，9，8，8，平均分为8.8，根据方差公式：
$a=\frac{1}{5}×[(10-8.8)^2 + 2×(9-8.8)^2 + 2×(8-8.8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1.44 + 0.08 + 1.28)=0.56$
②从乙得分的条形统计图可得乙的5个得分为：10，9，9，9，7，按从小到大排序为7，9，9，9，10，最中间的数为第3个，即中位数$b=9$。
③从丙得分的扇形统计图可知，得10分的占比为40%，得8分的占比为60%，则加权平均数：
$c=10×40\% + 8×60\% = 4 + 4.8 = 8.8$
(2)选甲更合适，理由：由统计数据可知甲、乙、丙三人的平均成绩相等，说明三人整体水平相当；而甲的方差最小，说明甲的成绩波动更小，发挥更稳定，因此选甲参加市级比赛更合适。
(3)去掉甲的一个最高分10和一个最低分8后，剩余得分为9，9，8，数据波动程度小于原5个数据的波动程度，因此方差$d＜a$。
【答案】
(1)$a=0.56$，$b=9$，$c=8.8$；
(2)选甲更合适，理由见解析；
(3)$d＜a$。
【知识点】
方差的计算，中位数的定义，加权平均数的计算
【点评】
本题结合三类常见统计图表，考查了统计特征数的计算与实际应用，需要学生具备从图表中提取有效信息的能力，同时能灵活运用方差的意义解决实际决策问题，是统计部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
(1)求$a$（甲的方差）：先从甲的得分折线图提取5个得分，结合已知的平均分代入方差公式计算即可；求$b$（乙的中位数）：从乙的条形统计图提取5个得分，按大小排序后取最中间的数即为中位数；求$c$（丙的平均数）：从丙的扇形统计图得到各得分的占比，用加权平均数公式计算即可。
(2)选择参赛选手的决策逻辑：先比较三人的平均成绩，若平均成绩相近，再比较方差，方差越小说明成绩越稳定，优先选择方差小的选手。
(3)比较$d$和$a$的大小：去掉最高分和最低分后，数据的波动程度会变小，根据方差反映数据波动大小的性质，可直接判断方差的大小关系。
【解析】
(1)①从甲得分的折线统计图可得甲的5个得分为：10，9，9，8，8，平均分为8.8，根据方差公式：
$a=\frac{1}{5}×[(10-8.8)^2 + 2×(9-8.8)^2 + 2×(8-8.8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1.44 + 0.08 + 1.28)=0.56$
②从乙得分的条形统计图可得乙的5个得分为：10，9，9，9，7，按从小到大排序为7，9，9，9，10，最中间的数为第3个，即中位数$b=9$。
③从丙得分的扇形统计图可知，得10分的占比为40%，得8分的占比为60%，则加权平均数：
$c=10×40\% + 8×60\% = 4 + 4.8 = 8.8$
(2)选甲更合适，理由：由统计数据可知甲、乙、丙三人的平均成绩相等，说明三人整体水平相当；而甲的方差最小，说明甲的成绩波动更小，发挥更稳定，因此选甲参加市级比赛更合适。
(3)去掉甲的一个最高分10和一个最低分8后，剩余得分为9，9，8，数据波动程度小于原5个数据的波动程度，因此方差$d＜a$。
【答案】
(1)$a=0.56$，$b=9$，$c=8.8$；
(2)选甲更合适，理由见解析；
(3)$d＜a$。
【知识点】
方差的计算，中位数的定义，加权平均数的计算
【点评】
本题结合三类常见统计图表，考查了统计特征数的计算与实际应用，需要学生具备从图表中提取有效信息的能力，同时能灵活运用方差的意义解决实际决策问题，是统计部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
