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3 平均数与方差(第3课时)
课堂精要·梳理内容
1. 离差平方和是各个数据与 之差的平方和；通常用 来表示，一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则 = 。离差平方和是刻画数据 的一个统计量。
2. 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的 ，通常用 来表示，一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则 = 。而标准差是方差的 ，通常用 来表示，$s=$ 。一般而言，一组数据的方差或标准差越 ，这组数据越稳定。
课堂精要·梳理内容
1. 离差平方和是各个数据与 之差的平方和；通常用 来表示，一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则 = 。离差平方和是刻画数据 的一个统计量。
2. 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的 ，通常用 来表示，一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则 = 。而标准差是方差的 ，通常用 来表示，$s=$ 。一般而言，一组数据的方差或标准差越 ，这组数据越稳定。
答案
1. 它们平均数 $S^2$ $S^2$
$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$
离散程度
2. 平均数 $s^2$
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
算术平方根 $s$
$\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]}$ 小
$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$
离散程度
2. 平均数 $s^2$
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
算术平方根 $s$
$\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]}$ 小
解析
【分析】
这道题是关于离差平方和、方差、标准差的基础概念填空题，解题时只需结合教材中对应统计量的定义、表示符号、计算公式、统计意义，逐个对应空缺内容填写即可。首先回忆离差的含义：离差是单个数据与数据集平均数的差值，因此离差平方和就是所有离差的平方相加的总和，用来反映数据的离散情况；在此基础上，方差是离差平方和的平均值，标准差是方差的算术平方根，二者都是衡量数据稳定性的常用统计量，取值越小说明数据波动越小、越稳定。
【解析】
1. 根据离差平方和的定义：离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，通常用$S^2$来表示；若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则$S^2=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$，离差平方和是刻画数据离散程度的统计量。
2. 根据方差、标准差的定义：方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，通常用$s^2$来表示，对应公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$；标准差是方差的算术平方根，通常用$s$表示，对应公式为$s=\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]}$；一般而言，一组数据的方差或标准差越小，数据的波动越小，这组数据越稳定。
【答案】
1. 它们平均数；$S^2$；$S^2$；$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$；离散程度
2. 平均数；$s^2$；$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$；算术平方根；$s$；$\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]}$；小
【知识点】
离差平方和的概念；方差的定义与公式；标准差的意义
【点评】
本题属于统计模块的基础概念考查题，主要围绕刻画数据离散程度的常见统计量设置，核心是对基础定义、公式和统计意义的记忆掌握，是后续进行数据统计分析的必备基础。
【难度系数】
0.9
这道题是关于离差平方和、方差、标准差的基础概念填空题，解题时只需结合教材中对应统计量的定义、表示符号、计算公式、统计意义，逐个对应空缺内容填写即可。首先回忆离差的含义：离差是单个数据与数据集平均数的差值，因此离差平方和就是所有离差的平方相加的总和，用来反映数据的离散情况；在此基础上，方差是离差平方和的平均值，标准差是方差的算术平方根，二者都是衡量数据稳定性的常用统计量，取值越小说明数据波动越小、越稳定。
【解析】
1. 根据离差平方和的定义：离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，通常用$S^2$来表示；若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则$S^2=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$，离差平方和是刻画数据离散程度的统计量。
2. 根据方差、标准差的定义：方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，通常用$s^2$来表示，对应公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$；标准差是方差的算术平方根，通常用$s$表示，对应公式为$s=\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]}$；一般而言，一组数据的方差或标准差越小，数据的波动越小，这组数据越稳定。
【答案】
1. 它们平均数；$S^2$；$S^2$；$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$；离散程度
2. 平均数；$s^2$；$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$；算术平方根；$s$；$\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]}$；小
【知识点】
离差平方和的概念；方差的定义与公式；标准差的意义
【点评】
本题属于统计模块的基础概念考查题，主要围绕刻画数据离散程度的常见统计量设置，核心是对基础定义、公式和统计意义的记忆掌握，是后续进行数据统计分析的必备基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列不是表示数据离散程度的量的是（
A.方差
B.离差平方和
C.平均数
D.标准差
C
）。A.方差
B.离差平方和
C.平均数
D.标准差
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确不同统计量的作用，我们学过的统计量分为两类，一类反映数据的集中趋势，也就是数据的整体平均、中间水平，另一类反映数据的离散程度，也就是数据的波动大小、分散情况。我们只需逐个判断每个选项对应的统计量属于哪一类，找出不属于离散程度类的即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方差：计算的是各数据与平均数差的平方的平均值，能直观反映数据的波动大小，属于表示数据离散程度的量；
B. 离差平方和：是各数据与平均数差的平方的总和，同样可以体现数据偏离平均水平的程度，和离散程度相关；
C. 平均数：是所有数据之和除以数据的个数，反映的是数据的平均水平，属于表示数据集中趋势的量，不表示离散程度；
D. 标准差：是方差的算术平方根，作用和方差一致，也是表示数据离散程度的量。
因此符合题意的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
平均数的意义；方差与标准差的意义；统计量的分类
【点评】
本题考查基础统计量的概念辨析，解题的核心是准确区分反映集中趋势和离散程度的两类统计量，只要记牢各统计量的作用就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确不同统计量的作用，我们学过的统计量分为两类，一类反映数据的集中趋势，也就是数据的整体平均、中间水平，另一类反映数据的离散程度，也就是数据的波动大小、分散情况。我们只需逐个判断每个选项对应的统计量属于哪一类，找出不属于离散程度类的即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方差：计算的是各数据与平均数差的平方的平均值，能直观反映数据的波动大小，属于表示数据离散程度的量；
B. 离差平方和：是各数据与平均数差的平方的总和，同样可以体现数据偏离平均水平的程度，和离散程度相关；
C. 平均数：是所有数据之和除以数据的个数，反映的是数据的平均水平，属于表示数据集中趋势的量，不表示离散程度；
D. 标准差：是方差的算术平方根，作用和方差一致，也是表示数据离散程度的量。
因此符合题意的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
平均数的意义；方差与标准差的意义；统计量的分类
【点评】
本题考查基础统计量的概念辨析，解题的核心是准确区分反映集中趋势和离散程度的两类统计量，只要记牢各统计量的作用就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙、丙、丁四名同学在四次数学测验中成绩的平均数相同，方差分别为$s_{甲}^{2}=5.5$，$s_{乙}^{2}=7.3$，$s_{丙}^{2}=8.6$，$s_{丁}^{2}=4.5$，则成绩最稳定的是（
A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学
D
）。A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学
答案
D
解析
【分析】
拿到这道题首先明确已知条件：四名同学四次测验成绩的平均数相同，给出了四人成绩的方差，要求选出成绩最稳定的同学。解题思路如下：首先回忆方差的作用，方差是衡量一组数据波动程度的统计量，当几组数据的平均数相同时，方差越小说明数据的波动越小，成绩就越稳定。接下来只需要比较四个方差的大小，找到数值最小的方差对应的同学即可得到答案。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，当各组数据的平均数相同时，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定。
对四人的方差进行大小比较：
$s_{丁}^{2}=4.5＜s_{甲}^{2}=5.5＜s_{乙}^{2}=7.3＜s_{丙}^{2}=8.6$
可知丁同学的成绩方差最小，因此丁同学的成绩最稳定。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题是方差应用的基础题型，主要考查方差的实际意义，只要掌握“平均数相同时，方差越小数据越稳定”的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确已知条件：四名同学四次测验成绩的平均数相同，给出了四人成绩的方差，要求选出成绩最稳定的同学。解题思路如下：首先回忆方差的作用，方差是衡量一组数据波动程度的统计量，当几组数据的平均数相同时，方差越小说明数据的波动越小，成绩就越稳定。接下来只需要比较四个方差的大小，找到数值最小的方差对应的同学即可得到答案。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，当各组数据的平均数相同时，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定。
对四人的方差进行大小比较：
$s_{丁}^{2}=4.5＜s_{甲}^{2}=5.5＜s_{乙}^{2}=7.3＜s_{丙}^{2}=8.6$
可知丁同学的成绩方差最小，因此丁同学的成绩最稳定。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题是方差应用的基础题型，主要考查方差的实际意义，只要掌握“平均数相同时，方差越小数据越稳定”的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 某射击教练对甲、乙两名射击选手的5次成绩(单位:环)进行了统计,如下表所示:
设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为$\bar{x}_甲,\bar{x}_乙$,射击成绩的方差分别为$s^2_甲,s^2_乙$,则下列判断正确的是(
A.$\bar{x}_甲＜\bar{x}_乙,s^2_甲＞s^2_乙$
B.$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙,s^2_甲＜s^2_乙$
C.$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙,s^2_甲=s^2_乙$
D.$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙,s^2_甲＞s^2_乙$
设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为$\bar{x}_甲,\bar{x}_乙$,射击成绩的方差分别为$s^2_甲,s^2_乙$,则下列判断正确的是(
D
)。A.$\bar{x}_甲＜\bar{x}_乙,s^2_甲＞s^2_乙$
B.$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙,s^2_甲＜s^2_乙$
C.$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙,s^2_甲=s^2_乙$
D.$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙,s^2_甲＞s^2_乙$
答案
D
解析
【分析】
要判断两人平均数和方差的大小关系，需分两步计算：第一步先根据平均数公式，用5次成绩总和除以5分别算出甲、乙的平均成绩；第二步再根据方差公式，计算两人成绩的方差，最后比较两个平均数和方差的大小就能选出正确选项。
【解析】
首先计算两人的平均成绩：
$\bar{x}_甲=\frac{10+9+8+5+8}{5}=\frac{40}{5}=8$
$\bar{x}_乙=\frac{8+8+7+9+8}{5}=\frac{40}{5}=8$
可得$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$。
再计算两人成绩的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}[(10-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+(5-8)^2+(8-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+9+0)=\frac{14}{5}=2.8$
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(8-8)^2+(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+0+1+1+0)=\frac{2}{5}=0.4$
可得$s^2_甲＞s^2_乙$。
综上$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙,s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查平均数和方差的公式运用，计算过程难度较低，只要熟练掌握相关公式、计算时细心，就能顺利得分。同时通过本题也能加深对方差含义的理解：方差越大，数据波动越大，稳定性越差。
【难度系数】
0.8
要判断两人平均数和方差的大小关系，需分两步计算：第一步先根据平均数公式，用5次成绩总和除以5分别算出甲、乙的平均成绩；第二步再根据方差公式，计算两人成绩的方差，最后比较两个平均数和方差的大小就能选出正确选项。
【解析】
首先计算两人的平均成绩：
$\bar{x}_甲=\frac{10+9+8+5+8}{5}=\frac{40}{5}=8$
$\bar{x}_乙=\frac{8+8+7+9+8}{5}=\frac{40}{5}=8$
可得$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$。
再计算两人成绩的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}[(10-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+(5-8)^2+(8-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+9+0)=\frac{14}{5}=2.8$
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(8-8)^2+(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+0+1+1+0)=\frac{2}{5}=0.4$
可得$s^2_甲＞s^2_乙$。
综上$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙,s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查平均数和方差的公式运用，计算过程难度较低，只要熟练掌握相关公式、计算时细心，就能顺利得分。同时通过本题也能加深对方差含义的理解：方差越大，数据波动越大，稳定性越差。
【难度系数】
0.8
4. 下图是小明和小华射箭的成绩统计图，两人都射了10次，射箭成绩的方差较小的是（
A.小华
B.小明
C.两人一样
D.无法确定
B
）。A.小华
B.小明
C.两人一样
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
要判断谁的射箭成绩方差更小，首先明确方差的核心意义：方差是衡量一组数据波动程度的统计量，数据波动幅度越小，方差越小，数据越稳定。因此我们只需要观察折线统计图中两人成绩的波动情况即可，不需要计算具体的方差数值。首先观察小明的成绩折线，整体起伏非常小，成绩集中在4环附近；再看小华的成绩折线，高低起伏很大，最低1环、最高6环，波动幅度远大于小明，由此就能判断出方差更小的对象。
【解析】
方差的作用是反映一组数据的波动大小：数据波动越小，方差越小；数据波动越大，方差越大。
观察折线统计图可得：
小明的10次射箭成绩都在4环上下，波动幅度非常小；
小华的10次射箭成绩最高为6环，最低为1环，波动幅度很大。
因此小明的射箭成绩方差更小。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义；折线统计图分析
【点评】
本题考查方差的实际应用，属于基础题，无需计算具体方差数值，只需通过观察折线的起伏程度判断数据波动大小，就能快速得出结论，解题的关键是理解方差和数据波动的对应关系。
【难度系数】
0.8
要判断谁的射箭成绩方差更小，首先明确方差的核心意义：方差是衡量一组数据波动程度的统计量，数据波动幅度越小，方差越小，数据越稳定。因此我们只需要观察折线统计图中两人成绩的波动情况即可，不需要计算具体的方差数值。首先观察小明的成绩折线，整体起伏非常小，成绩集中在4环附近；再看小华的成绩折线，高低起伏很大，最低1环、最高6环，波动幅度远大于小明，由此就能判断出方差更小的对象。
【解析】
方差的作用是反映一组数据的波动大小：数据波动越小，方差越小；数据波动越大，方差越大。
观察折线统计图可得：
小明的10次射箭成绩都在4环上下，波动幅度非常小；
小华的10次射箭成绩最高为6环，最低为1环，波动幅度很大。
因此小明的射箭成绩方差更小。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义；折线统计图分析
【点评】
本题考查方差的实际应用，属于基础题，无需计算具体方差数值，只需通过观察折线的起伏程度判断数据波动大小，就能快速得出结论，解题的关键是理解方差和数据波动的对应关系。
【难度系数】
0.8
5. 在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了10次跳远测试，经计算，他们的平均成绩相同。若要比较两名同学谁的成绩更稳定，通常需要比较他们成绩的（
A.众数
B.平均数
C.离差平方和
D.频率
C
）。A.众数
B.平均数
C.离差平方和
D.频率
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确每个选项对应的统计量的作用，再结合“比较成绩稳定性”的需求逐一筛选。首先回忆：反映数据集中趋势的统计量有平均数、众数、中位数；反映数据波动（稳定）程度的统计量和离差平方、方差等有关。题目已经给出两人平均成绩相同，因此先排除衡量平均水平的量，再依次判断其余选项是否符合衡量稳定性的要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 众数是一组数据中出现次数最多的数，反映的是数据的集中趋势，代表多数水平，无法衡量成绩的稳定性，故A错误；
B. 题目已经明确两名同学平均成绩相同，且平均数仅反映数据的平均水平，不能体现波动程度，故B错误；
C. 离差平方和是每个数据与平均数的差的平方总和，当两组数据的个数、平均数都相同时，离差平方和越大，说明数据偏离平均水平的程度越大，波动越大，成绩越不稳定，因此可以用来比较稳定性，故C正确；
D. 频率是某一数据出现的次数占总次数的比例，和成绩的稳定性没有关联，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
统计量的含义；数据稳定性的判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同统计量的实际意义，解题的关键是明确反映数据集中趋势和反映数据波动程度的统计量的区别。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确每个选项对应的统计量的作用，再结合“比较成绩稳定性”的需求逐一筛选。首先回忆：反映数据集中趋势的统计量有平均数、众数、中位数；反映数据波动（稳定）程度的统计量和离差平方、方差等有关。题目已经给出两人平均成绩相同，因此先排除衡量平均水平的量，再依次判断其余选项是否符合衡量稳定性的要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 众数是一组数据中出现次数最多的数，反映的是数据的集中趋势，代表多数水平，无法衡量成绩的稳定性，故A错误；
B. 题目已经明确两名同学平均成绩相同，且平均数仅反映数据的平均水平，不能体现波动程度，故B错误；
C. 离差平方和是每个数据与平均数的差的平方总和，当两组数据的个数、平均数都相同时，离差平方和越大，说明数据偏离平均水平的程度越大，波动越大，成绩越不稳定，因此可以用来比较稳定性，故C正确；
D. 频率是某一数据出现的次数占总次数的比例，和成绩的稳定性没有关联，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
统计量的含义；数据稳定性的判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同统计量的实际意义，解题的关键是明确反映数据集中趋势和反映数据波动程度的统计量的区别。
【难度系数】
0.8
6. 一组数据4,5,a,6,8的平均数$\bar{x}=5$，则方差$s^2=$
4
。答案
4
解析
【分析】
要解这道题需分两步思考：第一步，根据平均数的计算公式，已知平均数和其余4个数据，可列方程求出未知数据a的值；第二步，将所有数据代入方差的计算公式，即可求出方差。
【解析】
1. 求未知数据a的值：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，其中$n$是数据个数，本题中$n=5$，$\bar{x}=5$，代入得：
$\frac{4+5+a+6+8}{5}=5$
先计算已知数据的和：$4+5+6+8=23$，则：
$\frac{23+a}{5}=5$
两边同乘5得$23+a=25$，解得$a=2$。
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入$n=5$、$\bar{x}=5$和所有数据：
$s^2=\frac{1}{5}[(4-5)^2+(5-5)^2+(2-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2]$
分别计算各平方项：
$(4-5)^2=1$，$(5-5)^2=0$，$(2-5)^2=9$，$(6-5)^2=1$，$(8-5)^2=9$
求和得：$1+0+9+1+9=20$，因此：
$s^2=\frac{20}{5}=4$
【答案】
4
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查平均数和方差的基础公式应用，解题的关键是先通过平均数求出未知数据，计算过程中注意平方项运算准确即可。
【难度系数】
0.8
要解这道题需分两步思考：第一步，根据平均数的计算公式，已知平均数和其余4个数据，可列方程求出未知数据a的值；第二步，将所有数据代入方差的计算公式，即可求出方差。
【解析】
1. 求未知数据a的值：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，其中$n$是数据个数，本题中$n=5$，$\bar{x}=5$，代入得：
$\frac{4+5+a+6+8}{5}=5$
先计算已知数据的和：$4+5+6+8=23$，则：
$\frac{23+a}{5}=5$
两边同乘5得$23+a=25$，解得$a=2$。
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入$n=5$、$\bar{x}=5$和所有数据：
$s^2=\frac{1}{5}[(4-5)^2+(5-5)^2+(2-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2]$
分别计算各平方项：
$(4-5)^2=1$，$(5-5)^2=0$，$(2-5)^2=9$，$(6-5)^2=1$，$(8-5)^2=9$
求和得：$1+0+9+1+9=20$，因此：
$s^2=\frac{20}{5}=4$
【答案】
4
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查平均数和方差的基础公式应用，解题的关键是先通过平均数求出未知数据，计算过程中注意平方项运算准确即可。
【难度系数】
0.8
7. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，测得它们的株高分别如下(单位:cm)：
甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40。
(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得整齐？
甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40。
(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得整齐？
答案
解:(1)$\bar{x}_甲=\frac{1}{10}×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=\frac{1}{10}×300=30(\mathrm{cm})$，
$\bar{x}_乙=\frac{1}{10}×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=\frac{1}{10}×310=31(\mathrm{cm})$。
因为$\bar{x}_甲＜\bar{x}_乙$，所以乙种玉米苗长得高。
(2)$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(25-30)^2+(41-30)^2+\dots+(42-30)^2]=\frac{1}{10}×1042=104.2$。
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(27-31)^2+(16-31)^2+\dots+(40-31)^2]=\frac{1}{10}×1288=128.8$。
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲种玉米苗长得整齐。
$\bar{x}_乙=\frac{1}{10}×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=\frac{1}{10}×310=31(\mathrm{cm})$。
因为$\bar{x}_甲＜\bar{x}_乙$，所以乙种玉米苗长得高。
(2)$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(25-30)^2+(41-30)^2+\dots+(42-30)^2]=\frac{1}{10}×1042=104.2$。
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(27-31)^2+(16-31)^2+\dots+(40-31)^2]=\frac{1}{10}×1288=128.8$。
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲种玉米苗长得整齐。
解析
【分析】
要判断哪种玉米苗长得高，需要比较两种玉米苗的平均株高，即计算两组数据的算术平均数，平均数更大的玉米苗整体高度更高；要判断哪种玉米苗长得整齐，需要比较两组株高数据的波动大小，用方差衡量，方差越小说明数据波动越小，植株高度越均匀。解题时先分别计算甲、乙两组的平均数，比较大小回答第一问；再以各自平均数为基础计算方差，比较方差大小回答第二问，计算过程中要注意核对数据，避免运算错误。
【解析】
(1) 计算甲种玉米苗的平均株高：
$\bar{x}_甲=\frac{1}{10}×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=\frac{1}{10}×300=30(\mathrm{cm})$
计算乙种玉米苗的平均株高：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{10}×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=\frac{1}{10}×310=31(\mathrm{cm})$
因为$\bar{x}_甲＜\bar{x}_乙$，所以乙种玉米苗长得高。
(2) 计算甲种玉米苗株高的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(25-30)^2+(41-30)^2+(40-30)^2+(37-30)^2+(22-30)^2+(14-30)^2+(19-30)^2+(39-30)^2+(21-30)^2+(42-30)^2]=\frac{1}{10}×1042=104.2$
计算乙种玉米苗株高的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(27-31)^2+(16-31)^2+(44-31)^2+(27-31)^2+(44-31)^2+(16-31)^2+(40-31)^2+(40-31)^2+(16-31)^2+(40-31)^2]=\frac{1}{10}×1288=128.8$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲种玉米苗株高波动更小，所以甲种玉米苗长得整齐。
【答案】
(1) 乙种玉米苗长得高；
(2) 甲种玉米苗长得整齐。
【知识点】
算术平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题是统计知识的实际应用题，核心是理解平均数和方差的统计意义：平均数反映一组数据的整体平均水平，方差反映一组数据的波动稳定性，解题的关键是准确完成平均数和方差的计算，运算时注意核对数据，避免求和、平方运算出错。
【难度系数】
0.7
要判断哪种玉米苗长得高，需要比较两种玉米苗的平均株高，即计算两组数据的算术平均数，平均数更大的玉米苗整体高度更高；要判断哪种玉米苗长得整齐，需要比较两组株高数据的波动大小，用方差衡量，方差越小说明数据波动越小，植株高度越均匀。解题时先分别计算甲、乙两组的平均数，比较大小回答第一问；再以各自平均数为基础计算方差，比较方差大小回答第二问，计算过程中要注意核对数据，避免运算错误。
【解析】
(1) 计算甲种玉米苗的平均株高：
$\bar{x}_甲=\frac{1}{10}×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=\frac{1}{10}×300=30(\mathrm{cm})$
计算乙种玉米苗的平均株高：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{10}×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=\frac{1}{10}×310=31(\mathrm{cm})$
因为$\bar{x}_甲＜\bar{x}_乙$，所以乙种玉米苗长得高。
(2) 计算甲种玉米苗株高的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(25-30)^2+(41-30)^2+(40-30)^2+(37-30)^2+(22-30)^2+(14-30)^2+(19-30)^2+(39-30)^2+(21-30)^2+(42-30)^2]=\frac{1}{10}×1042=104.2$
计算乙种玉米苗株高的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(27-31)^2+(16-31)^2+(44-31)^2+(27-31)^2+(44-31)^2+(16-31)^2+(40-31)^2+(40-31)^2+(16-31)^2+(40-31)^2]=\frac{1}{10}×1288=128.8$
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲种玉米苗株高波动更小，所以甲种玉米苗长得整齐。
【答案】
(1) 乙种玉米苗长得高；
(2) 甲种玉米苗长得整齐。
【知识点】
算术平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题是统计知识的实际应用题，核心是理解平均数和方差的统计意义：平均数反映一组数据的整体平均水平，方差反映一组数据的波动稳定性，解题的关键是准确完成平均数和方差的计算，运算时注意核对数据，避免求和、平方运算出错。
【难度系数】
0.7
