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8. 在新年晚会的投飞镖游戏环节中，5名同学的投掷成绩(单位:环)分别是7,8,7,10,8,则这组数据的离差平方和是
6
，方差为1.2
。答案
6 1.2
解析
【分析】
要计算这组数据的离差平方和与方差，需按固定顺序逐步计算：首先先求出这组数据的平均数；再用每个数据减去平均数得到离差，将所有离差平方后求和，即可得到离差平方和；最后用离差平方和除以数据的总个数，就能求出方差。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数
本组共有5个数据，分别为7,8,7,10,8，平均数为：
$\bar{x}=\frac{7+8+7+10+8}{5}=\frac{40}{5}=8$
第二步：计算离差平方和
离差平方和是每个数据与平均数差的平方的总和，计算如下：
$\begin{aligned}&(7-8)^2+(8-8)^2+(7-8)^2+(10-8)^2+(8-8)^2\\=&(-1)^2+0^2+(-1)^2+2^2+0^2\\=&1+0+1+4+0\\=&6\end{aligned}$
第三步：计算方差
方差为离差平方和除以数据总个数，即：
$s^2=\frac{6}{5}=1.2$
【答案】
6；1.2
【知识点】
平均数计算；离差平方和；方差计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心是牢记各统计量的计算顺序，计算时注意平方运算和加法运算的准确性，避免因粗心算错数值失分。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的离差平方和与方差，需按固定顺序逐步计算：首先先求出这组数据的平均数；再用每个数据减去平均数得到离差，将所有离差平方后求和，即可得到离差平方和；最后用离差平方和除以数据的总个数，就能求出方差。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数
本组共有5个数据，分别为7,8,7,10,8，平均数为：
$\bar{x}=\frac{7+8+7+10+8}{5}=\frac{40}{5}=8$
第二步：计算离差平方和
离差平方和是每个数据与平均数差的平方的总和，计算如下：
$\begin{aligned}&(7-8)^2+(8-8)^2+(7-8)^2+(10-8)^2+(8-8)^2\\=&(-1)^2+0^2+(-1)^2+2^2+0^2\\=&1+0+1+4+0\\=&6\end{aligned}$
第三步：计算方差
方差为离差平方和除以数据总个数，即：
$s^2=\frac{6}{5}=1.2$
【答案】
6；1.2
【知识点】
平均数计算；离差平方和；方差计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心是牢记各统计量的计算顺序，计算时注意平方运算和加法运算的准确性，避免因粗心算错数值失分。
【难度系数】
0.8
9. 小明用$s^2=\frac{1}{10}[(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + \dots + (x_{10} - 3)^2]$计算一组数据的方差，那么$x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_{10}=$
30
。答案
30
解析
【分析】
我们首先回忆方差的计算公式：方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据的总个数，$\overline{x}$是这组数据的平均数。解题时先对照题目给出的方差公式，找到对应的$n$和$\overline{x}$，再利用“数据总和=平均数×数据个数”就能算出所求的和。
【解析】
根据方差的计算公式可知，题目中给出的式子$\frac{1}{10}[(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + \dots + (x_{10} - 3)^2]$里：
数据总个数$n=10$，这组数据的平均数$\overline{x}=3$。
由平均数的定义：$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_{10}}{n}$，可得：
$x_1+x_2+\dots+x_{10}=\overline{x} × n = 3×10=30$。
【答案】
30
【知识点】
方差的定义；平均数的计算
【点评】
本题考查对方差公式中各参数含义的理解，解题的核心是准确识别出公式中的平均数和数据总数，属于基础概念考查题，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
我们首先回忆方差的计算公式：方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据的总个数，$\overline{x}$是这组数据的平均数。解题时先对照题目给出的方差公式，找到对应的$n$和$\overline{x}$，再利用“数据总和=平均数×数据个数”就能算出所求的和。
【解析】
根据方差的计算公式可知，题目中给出的式子$\frac{1}{10}[(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + \dots + (x_{10} - 3)^2]$里：
数据总个数$n=10$，这组数据的平均数$\overline{x}=3$。
由平均数的定义：$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_{10}}{n}$，可得：
$x_1+x_2+\dots+x_{10}=\overline{x} × n = 3×10=30$。
【答案】
30
【知识点】
方差的定义；平均数的计算
【点评】
本题考查对方差公式中各参数含义的理解，解题的核心是准确识别出公式中的平均数和数据总数，属于基础概念考查题，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 已知样本数据 $ x_1, x_2, \dots, x_n $ 的平均数是5，方差是4，则数据 $ 2x_1 + 3, 2x_2 + 3, \dots, 2x_n + 3 $ 的平均数为
13
，方差为 16
。答案
13 16
解析
【分析】
解决本题需要分别利用平均数和方差的性质分析数据变换后的变化规律：①首先回忆平均数的计算规则，当一组数据中的每个数都变为$ax_i + b$的形式时，新的平均数会对应变为原平均数的$a$倍再加$b$；②方差反映的是数据的波动程度，给每个数据加相同的常数不会改变数据的波动大小，只有乘的系数会影响方差，且方差变为原方差乘系数的平方。我们可以直接代入原平均数和方差的数值计算，也可以通过平均数、方差的定义公式推导验证结果。
【解析】
第一步：计算新数据的平均数
已知原数据的平均数$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=5$，
新数据的平均数$\bar{x}'=\frac{(2x_1+3)+(2x_2+3)+\dots+(2x_n+3)}{n}$
$=\frac{2(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n}{n}$
$=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3$
代入原平均数值，得$\bar{x}'=2×5+3=13$。
第二步：计算新数据的方差
已知原数据的方差$s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}=4$，
新数据的方差$s'^2=\frac{(2x_1+3-\bar{x}')^2+(2x_2+3-\bar{x}')^2+\dots+(2x_n+3-\bar{x}')^2}{n}$
把$\bar{x}'=13$代入，得$2x_i+3-13=2x_i-10=2(x_i-5)$，因此：
$s'^2=\frac{[2(x_1-5)]^2+[2(x_2-5)]^2+\dots+[2(x_n-5)]^2}{n}$
$=\frac{4[(x_1-5)^2+(x_2-5)^2+\dots+(x_n-5)^2]}{n}$
$=4×\frac{(x_1-5)^2+(x_2-5)^2+\dots+(x_n-5)^2}{n}$
代入原方差数值，得$s'^2=4×4=16$。
【答案】
13；16
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换后统计量的变化规律，解题核心是区分平均数和方差的变化差异：平均数随线性变换同步做相同的线性运算，而方差仅受系数影响，是原方差乘系数的平方，常数项不改变方差大小，做题时不要混淆两者的变化规则。
【难度系数】
0.8
解决本题需要分别利用平均数和方差的性质分析数据变换后的变化规律：①首先回忆平均数的计算规则，当一组数据中的每个数都变为$ax_i + b$的形式时，新的平均数会对应变为原平均数的$a$倍再加$b$；②方差反映的是数据的波动程度，给每个数据加相同的常数不会改变数据的波动大小，只有乘的系数会影响方差，且方差变为原方差乘系数的平方。我们可以直接代入原平均数和方差的数值计算，也可以通过平均数、方差的定义公式推导验证结果。
【解析】
第一步：计算新数据的平均数
已知原数据的平均数$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=5$，
新数据的平均数$\bar{x}'=\frac{(2x_1+3)+(2x_2+3)+\dots+(2x_n+3)}{n}$
$=\frac{2(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n}{n}$
$=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3$
代入原平均数值，得$\bar{x}'=2×5+3=13$。
第二步：计算新数据的方差
已知原数据的方差$s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}=4$，
新数据的方差$s'^2=\frac{(2x_1+3-\bar{x}')^2+(2x_2+3-\bar{x}')^2+\dots+(2x_n+3-\bar{x}')^2}{n}$
把$\bar{x}'=13$代入，得$2x_i+3-13=2x_i-10=2(x_i-5)$，因此：
$s'^2=\frac{[2(x_1-5)]^2+[2(x_2-5)]^2+\dots+[2(x_n-5)]^2}{n}$
$=\frac{4[(x_1-5)^2+(x_2-5)^2+\dots+(x_n-5)^2]}{n}$
$=4×\frac{(x_1-5)^2+(x_2-5)^2+\dots+(x_n-5)^2}{n}$
代入原方差数值，得$s'^2=4×4=16$。
【答案】
13；16
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换后统计量的变化规律，解题核心是区分平均数和方差的变化差异：平均数随线性变换同步做相同的线性运算，而方差仅受系数影响，是原方差乘系数的平方，常数项不改变方差大小，做题时不要混淆两者的变化规则。
【难度系数】
0.8
11. 如图所示的是某市连续5天的天气情况。
(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
(2)根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论。
(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
(2)根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论。
答案
解:(1)这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是
$\bar{x}_高=\frac{23+25+23+25+24}{5}=24(℃)$，
$\bar{x}_低=\frac{21+22+15+15+17}{5}=18(℃)$。
方差分别是
$s^2_高=\frac{(23-24)^2+(25-24)^2+(23-24)^2+(25-24)^2+(24-24)^2}{5}=0.8$，
$s^2_低=\frac{(21-18)^2+(22-18)^2+(15-18)^2+(15-18)^2+(17-18)^2}{5}=8.8$。
由$s^2_高＜s^2_低$可知，这5天的日最低气温波动大。
(2)(答案不唯一，合理即可)如:①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是2℃，3℃，8℃，10℃，7℃，可以看出雨天的日温差较小。②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了。
$\bar{x}_高=\frac{23+25+23+25+24}{5}=24(℃)$，
$\bar{x}_低=\frac{21+22+15+15+17}{5}=18(℃)$。
方差分别是
$s^2_高=\frac{(23-24)^2+(25-24)^2+(23-24)^2+(25-24)^2+(24-24)^2}{5}=0.8$，
$s^2_低=\frac{(21-18)^2+(22-18)^2+(15-18)^2+(15-18)^2+(17-18)^2}{5}=8.8$。
由$s^2_高＜s^2_低$可知，这5天的日最低气温波动大。
(2)(答案不唯一，合理即可)如:①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是2℃，3℃，8℃，10℃，7℃，可以看出雨天的日温差较小。②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了。
解析
【分析】
(1) 要判断两组数据的波动大小，需利用方差的性质：方差越大，数据的波动越剧烈。因此解题思路为：第一步分别计算日最高气温、日最低气温的平均数；第二步根据方差公式分别计算两组数据的方差；第三步比较两个方差的大小，即可判断哪组数据波动更大。
(2) 本问为开放性问题，可从天气现象、气温差、空气质量三类信息中选取不同角度，总结符合数据规律的合理结论即可，注意两个结论的类型不能重复。
【解析】
(1) 先计算两组气温的平均数：
日最高气温的平均数：$\bar{x}_高=\frac{23+25+23+25+24}{5}=24(℃)$
日最低气温的平均数：$\bar{x}_低=\frac{21+22+15+15+17}{5}=18(℃)$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算方差：
$s^2_高=\frac{(23-24)^2+(25-24)^2+(23-24)^2+(25-24)^2+(24-24)^2}{5}=0.8$
$s^2_低=\frac{(21-18)^2+(22-18)^2+(15-18)^2+(15-18)^2+(17-18)^2}{5}=8.8$
因为$s^2_高＜s^2_低$，方差越大数据波动越大，因此日最低气温波动更大。
(2) 可从不同角度总结结论，例如：
① 对比5天的天气现象和日温差可知，雨天的日温差更小；
② 对比25日到27日的天气和空气质量可知，降雨后空气质量有所改善。
【答案】
(1) 该市这5天的日最低气温波动大；
(2) 示例：①雨天的日温差较小；②下雨后空气质量改善（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
平均数计算；方差的应用；统计图表分析
【点评】
本题以生活中常见的天气统计数据为载体，既考查了平均数、方差的计算方法，也考查了方差的实际意义和数据信息提取分析能力，贴近生活实际，能体现统计知识的实用价值。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断两组数据的波动大小，需利用方差的性质：方差越大，数据的波动越剧烈。因此解题思路为：第一步分别计算日最高气温、日最低气温的平均数；第二步根据方差公式分别计算两组数据的方差；第三步比较两个方差的大小，即可判断哪组数据波动更大。
(2) 本问为开放性问题，可从天气现象、气温差、空气质量三类信息中选取不同角度，总结符合数据规律的合理结论即可，注意两个结论的类型不能重复。
【解析】
(1) 先计算两组气温的平均数：
日最高气温的平均数：$\bar{x}_高=\frac{23+25+23+25+24}{5}=24(℃)$
日最低气温的平均数：$\bar{x}_低=\frac{21+22+15+15+17}{5}=18(℃)$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算方差：
$s^2_高=\frac{(23-24)^2+(25-24)^2+(23-24)^2+(25-24)^2+(24-24)^2}{5}=0.8$
$s^2_低=\frac{(21-18)^2+(22-18)^2+(15-18)^2+(15-18)^2+(17-18)^2}{5}=8.8$
因为$s^2_高＜s^2_低$，方差越大数据波动越大，因此日最低气温波动更大。
(2) 可从不同角度总结结论，例如：
① 对比5天的天气现象和日温差可知，雨天的日温差更小；
② 对比25日到27日的天气和空气质量可知，降雨后空气质量有所改善。
【答案】
(1) 该市这5天的日最低气温波动大；
(2) 示例：①雨天的日温差较小；②下雨后空气质量改善（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
平均数计算；方差的应用；统计图表分析
【点评】
本题以生活中常见的天气统计数据为载体，既考查了平均数、方差的计算方法，也考查了方差的实际意义和数据信息提取分析能力，贴近生活实际，能体现统计知识的实用价值。
【难度系数】
0.8
12.某校举办了一次趣味数学竞赛,满分100分,学生得分均为整数,成绩达到60分及以上为合格,达到90分及以上为优秀。这次竞赛中,甲、乙两组学生成绩如下:
甲组:30,60,60,60,60,60,70,90,90,100;
乙组:50,60,60,60,70,70,70,70,80,90。
(1)根据以上成绩得到的统计分析表中
a=
c=
(2)计算乙组学生成绩的方差和优秀率,如果你是该校数学竞赛的教练员,现在需要选一组同学代表学校参加复赛,你会选择哪一组?请说明理由。
甲组:30,60,60,60,60,60,70,90,90,100;
乙组:50,60,60,60,70,70,70,70,80,90。
(1)根据以上成绩得到的统计分析表中
a=
60
分,b=68
分,c=
70
分。(2)计算乙组学生成绩的方差和优秀率,如果你是该校数学竞赛的教练员,现在需要选一组同学代表学校参加复赛,你会选择哪一组?请说明理由。
答案
解:(1)60 68 70
(2)$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(50-68)^2+(60-68)^2×3+(70-68)^2×4+(80-68)^2+(90-68)^2]=116$，优秀率为10%。选择乙组，因为是选一组同学代表学校参加复赛，甲、乙两组学生成绩的平均数一样，但乙组学生成绩的方差较小，成绩比较稳定，所以选择乙组。(理由不唯一，合理即可)
(2)$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(50-68)^2+(60-68)^2×3+(70-68)^2×4+(80-68)^2+(90-68)^2]=116$，优秀率为10%。选择乙组，因为是选一组同学代表学校参加复赛，甲、乙两组学生成绩的平均数一样，但乙组学生成绩的方差较小，成绩比较稳定，所以选择乙组。(理由不唯一，合理即可)
解析
【分析】
(1) 求a：a是甲组成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计甲组各分数出现的次数即可得a的值；求b：b是乙组成绩的平均数，将乙组所有成绩求和后除以总人数10即可算出b；求c：c是乙组成绩的众数，统计乙组各分数出现的次数，出现次数最多的数即为c。
(2) 计算乙组方差直接套用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$即可；优秀率是成绩≥90分的人数除以总人数；选择参赛组时，结合平均数、方差、优秀率等统计量的实际意义分析，理由合理即可。
【解析】
(1) 甲组成绩中60分出现了5次，出现次数最多，因此众数$a=60$分；
乙组的平均数：$b=\frac{50+60×3+70×4+80+90}{10}=\frac{680}{10}=68$分；
乙组成绩中70分出现了4次，出现次数最多，因此众数$c=70$分。
(2) 计算乙组方差：
$\begin{aligned}s^2_乙&=\frac{1}{10}×[(50-68)^2+3×(60-68)^2+4×(70-68)^2+(80-68)^2+(90-68)^2]\\&=\frac{1}{10}×(324+192+16+144+484)\\&=\frac{1}{10}×1160\\&=116\end{aligned}$
乙组成绩90分及以上的共1人，优秀率为$\frac{1}{10}×100\%=10\%$。
选组决策：选择乙组，理由：甲、乙两组平均成绩相同，乙组方差小于甲组，说明乙组成绩更稳定，因此选乙组（理由合理即可）。
【答案】
(1) $\boxed{60}$，$\boxed{68}$，$\boxed{70}$
(2) 乙组方差为$\boxed{116}$，优秀率为$\boxed{10\%}$；选择乙组，理由：甲乙两组平均成绩相同，乙组方差更小，成绩更稳定（合理即可）
【知识点】
众数的判定，平均数的计算，方差的计算与应用
【点评】
本题属于统计基础题型，重点考查常见统计量的计算及实际应用，要求学生熟练掌握众数、平均数、方差的定义和计算规则，能结合不同统计量的意义解决实际决策问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求a：a是甲组成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计甲组各分数出现的次数即可得a的值；求b：b是乙组成绩的平均数，将乙组所有成绩求和后除以总人数10即可算出b；求c：c是乙组成绩的众数，统计乙组各分数出现的次数，出现次数最多的数即为c。
(2) 计算乙组方差直接套用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$即可；优秀率是成绩≥90分的人数除以总人数；选择参赛组时，结合平均数、方差、优秀率等统计量的实际意义分析，理由合理即可。
【解析】
(1) 甲组成绩中60分出现了5次，出现次数最多，因此众数$a=60$分；
乙组的平均数：$b=\frac{50+60×3+70×4+80+90}{10}=\frac{680}{10}=68$分；
乙组成绩中70分出现了4次，出现次数最多，因此众数$c=70$分。
(2) 计算乙组方差：
$\begin{aligned}s^2_乙&=\frac{1}{10}×[(50-68)^2+3×(60-68)^2+4×(70-68)^2+(80-68)^2+(90-68)^2]\\&=\frac{1}{10}×(324+192+16+144+484)\\&=\frac{1}{10}×1160\\&=116\end{aligned}$
乙组成绩90分及以上的共1人，优秀率为$\frac{1}{10}×100\%=10\%$。
选组决策：选择乙组，理由：甲、乙两组平均成绩相同，乙组方差小于甲组，说明乙组成绩更稳定，因此选乙组（理由合理即可）。
【答案】
(1) $\boxed{60}$，$\boxed{68}$，$\boxed{70}$
(2) 乙组方差为$\boxed{116}$，优秀率为$\boxed{10\%}$；选择乙组，理由：甲乙两组平均成绩相同，乙组方差更小，成绩更稳定（合理即可）
【知识点】
众数的判定，平均数的计算，方差的计算与应用
【点评】
本题属于统计基础题型，重点考查常见统计量的计算及实际应用，要求学生熟练掌握众数、平均数、方差的定义和计算规则，能结合不同统计量的意义解决实际决策问题。
【难度系数】
0.7
