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一、选择题
1. 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是(
A.$x^2 -4 +6x=(x+2)(x-2)+6x$
B.$6ab=2a· 3b$
C.$(x+3)(x-2)=x^2 +x -6$
D.$x^2 -8x +16=(x-4)^2$
1. 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是(
D
)A.$x^2 -4 +6x=(x+2)(x-2)+6x$
B.$6ab=2a· 3b$
C.$(x+3)(x-2)=x^2 +x -6$
D.$x^2 -8x +16=(x-4)^2$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断变形是否属于因式分解，首先需牢记因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需同时满足三个要求：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式成立。我们按照这个标准逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式的变形叫做因式分解，我们逐个分析选项：
A选项：等号右边是$(x+2)(x-2)+6x$，属于乘积加单项式的和的形式，不是纯粹的几个整式的积，不符合因式分解定义，错误；
B选项：等号左边$6ab$是单项式，而因式分解的对象必须是多项式，不符合要求，错误；
C选项：等号左边是两个整式的积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误；
D选项：等号左边是多项式$x^2-8x+16$，右边$(x-4)^2=(x-4)(x-4)$，是两个相同整式的乘积形式，完全符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解和运用，只要紧扣“多项式化为几个整式积的形式”这个判断标准，就能快速排除错误选项，做题时要特别注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.8
要判断变形是否属于因式分解，首先需牢记因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需同时满足三个要求：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式成立。我们按照这个标准逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式的变形叫做因式分解，我们逐个分析选项：
A选项：等号右边是$(x+2)(x-2)+6x$，属于乘积加单项式的和的形式，不是纯粹的几个整式的积，不符合因式分解定义，错误；
B选项：等号左边$6ab$是单项式，而因式分解的对象必须是多项式，不符合要求，错误；
C选项：等号左边是两个整式的积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误；
D选项：等号左边是多项式$x^2-8x+16$，右边$(x-4)^2=(x-4)(x-4)$，是两个相同整式的乘积形式，完全符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解和运用，只要紧扣“多项式化为几个整式积的形式”这个判断标准，就能快速排除错误选项，做题时要特别注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.8
2. 下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是(
A.$x^2 - y$
B.$x^2 + 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
B
)A.$x^2 - y$
B.$x^2 + 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用提公因式法分解因式，首先明确提公因式法的适用条件：若多项式的各项含有公共的因式（即公因式），就可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式。解题时只需逐一分析每个选项中多项式的各项是否存在公因式即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 - y$的两项是$x^2$和$-y$，没有公共的因式，不能用提公因式法分解因式；
B. 多项式$x^2 + 2x$的两项是$x^2$和$2x$，两项都含有公因式$x$，提取公因式$x$可得$x^2 + 2x = x(x+2)$，可以用提公因式法分解因式；
C. 多项式$x^2 + y^2$的两项是$x^2$和$y^2$，没有公共的因式，不能用提公因式法分解因式；
D. 多项式$x^2 - xy + y^2$的三项分别是$x^2$、$-xy$、$y^2$，没有公共的因式，不能用提公因式法分解因式。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的识别
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基本应用，解题核心是准确判断多项式各项是否存在共同的因式，是对因式分解基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式能用提公因式法分解因式，首先明确提公因式法的适用条件：若多项式的各项含有公共的因式（即公因式），就可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式。解题时只需逐一分析每个选项中多项式的各项是否存在公因式即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 - y$的两项是$x^2$和$-y$，没有公共的因式，不能用提公因式法分解因式；
B. 多项式$x^2 + 2x$的两项是$x^2$和$2x$，两项都含有公因式$x$，提取公因式$x$可得$x^2 + 2x = x(x+2)$，可以用提公因式法分解因式；
C. 多项式$x^2 + y^2$的两项是$x^2$和$y^2$，没有公共的因式，不能用提公因式法分解因式；
D. 多项式$x^2 - xy + y^2$的三项分别是$x^2$、$-xy$、$y^2$，没有公共的因式，不能用提公因式法分解因式。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的识别
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基本应用，解题核心是准确判断多项式各项是否存在共同的因式，是对因式分解基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
3. 下列用提公因式法分解因式正确的是(
A.$12ab - 9a^2b^2 = 3ab(4 - 3ab)$
B.$3x^2y - 3xy + 6y = 3y(x^2 - x + 2y)$
C.$-a^2 + ab - ab^2 = -a(a - b - b^2)$
D.$x^2y + 5xy - y = y(x^2 + 5x)$
A
)A.$12ab - 9a^2b^2 = 3ab(4 - 3ab)$
B.$3x^2y - 3xy + 6y = 3y(x^2 - x + 2y)$
C.$-a^2 + ab - ab^2 = -a(a - b - b^2)$
D.$x^2y + 5xy - y = y(x^2 + 5x)$
答案
3.A
解析
【分析】
要判断提公因式法分解因式是否正确，需遵循提公因式的核心规则解题：第一步先确定公因式，系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到括号内的剩余因式，若原多项式首项为负，提取负号时括号内各项要同步变号；最后可通过整式乘法反向验证结果是否和原式相等。我们按照这个思路逐一判断每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：多项式$12ab - 9a^2b^2$的公因式为$3ab$，提取公因式后：
$12ab÷3ab=4$，$-9a^2b^2÷3ab=-3ab$，因此分解结果为$3ab(4 - 3ab)$，该选项正确。
B选项：多项式$3x^2y - 3xy + 6y$的公因式为$3y$，提取公因式后第三项$6y÷3y=2$，正确结果应为$3y(x^2 - x + 2)$，选项中剩余项出现多余的$y$，该选项错误。
C选项：多项式$-a^2 + ab - ab^2$提取公因式$-a$时，各项要变号，正确结果应为$-a(a - b + b^2)$，选项中括号内$b^2$符号错误，该选项错误。
D选项：多项式$x^2y + 5xy - y$提取公因式$y$后，第三项$-y÷ y=-1$不能省略，正确结果应为$y(x^2 + 5x - 1)$，选项漏写常数项$-1$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的规范应用，解题时要注意准确确定公因式，提取公因式后需检查剩余项的项数、符号是否正确，避免出现漏项、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
要判断提公因式法分解因式是否正确，需遵循提公因式的核心规则解题：第一步先确定公因式，系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到括号内的剩余因式，若原多项式首项为负，提取负号时括号内各项要同步变号；最后可通过整式乘法反向验证结果是否和原式相等。我们按照这个思路逐一判断每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：多项式$12ab - 9a^2b^2$的公因式为$3ab$，提取公因式后：
$12ab÷3ab=4$，$-9a^2b^2÷3ab=-3ab$，因此分解结果为$3ab(4 - 3ab)$，该选项正确。
B选项：多项式$3x^2y - 3xy + 6y$的公因式为$3y$，提取公因式后第三项$6y÷3y=2$，正确结果应为$3y(x^2 - x + 2)$，选项中剩余项出现多余的$y$，该选项错误。
C选项：多项式$-a^2 + ab - ab^2$提取公因式$-a$时，各项要变号，正确结果应为$-a(a - b + b^2)$，选项中括号内$b^2$符号错误，该选项错误。
D选项：多项式$x^2y + 5xy - y$提取公因式$y$后，第三项$-y÷ y=-1$不能省略，正确结果应为$y(x^2 + 5x - 1)$，选项漏写常数项$-1$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的规范应用，解题时要注意准确确定公因式，提取公因式后需检查剩余项的项数、符号是否正确，避免出现漏项、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
4. 多项式$2x^2y + 6xy^2$的公因式是(
A.$xy$
B.$x^2 + y^2$
C.$2x^2y^2$
D.$2xy$
D
)A.$xy$
B.$x^2 + y^2$
C.$2x^2y^2$
D.$2xy$
答案
4.D
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循找公因式的常规步骤：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘得到的结果就是公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
对多项式$2x^2y + 6xy^2$的两项分别分析：
1. 系数部分：两项的系数分别是2和6，它们的最大公约数是2；
2. 字母部分：两项都含有的相同字母是$x$和$y$；
3. 相同字母的次数：$x$在两项中的次数分别是2和1，取最低次幂$x^1$；$y$在两项中的次数分别是1和2，取最低次幂$y^1$。
将三者相乘可得公因式为$2× x× y=2xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法
【点评】
本题考查公因式的确定方法，属于基础题型，熟练掌握找公因式的三个核心步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要确定多项式的公因式，需遵循找公因式的常规步骤：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘得到的结果就是公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
对多项式$2x^2y + 6xy^2$的两项分别分析：
1. 系数部分：两项的系数分别是2和6，它们的最大公约数是2；
2. 字母部分：两项都含有的相同字母是$x$和$y$；
3. 相同字母的次数：$x$在两项中的次数分别是2和1，取最低次幂$x^1$；$y$在两项中的次数分别是1和2，取最低次幂$y^1$。
将三者相乘可得公因式为$2× x× y=2xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法
【点评】
本题考查公因式的确定方法，属于基础题型，熟练掌握找公因式的三个核心步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5. 把多项式$x^2+ax+b$分解因式得$(x+1)(x-3)$，则$a,b$的值分别是（
A.2,3
B.-2,-3
C.-2,3
D.2,-3
B
）A.2,3
B.-2,-3
C.-2,3
D.2,-3
答案
5.B
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法是互逆变形的关系求解。解题时先将分解得到的两个因式相乘，展开为多项式形式，再将展开后的多项式与原式$x^2+ax+b$的对应项系数对比，就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
解：已知多项式$x^2+ax+b$分解因式得$(x+1)(x-3)$，根据因式分解与整式乘法为互逆运算，可得：
$x^2+ax+b=(x+1)(x-3)$
将右侧按照多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x+1)(x-3)&=x· x + x·(-3) + 1· x + 1×(-3)\\&=x^2 -3x +x -3\\&=x^2 -2x -3\end{aligned}$
因此$x^2+ax+b=x^2-2x-3$，两个多项式相等时对应同类项的系数相等，可得$a=-2$，$b=-3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解的逆运算 2.多项式乘法法则 3.同类项系数对应
【点评】
本题属于因式分解基础题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，通过展开因式对比系数求解，熟练掌握多项式乘法运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题可利用因式分解与整式乘法是互逆变形的关系求解。解题时先将分解得到的两个因式相乘，展开为多项式形式，再将展开后的多项式与原式$x^2+ax+b$的对应项系数对比，就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
解：已知多项式$x^2+ax+b$分解因式得$(x+1)(x-3)$，根据因式分解与整式乘法为互逆运算，可得：
$x^2+ax+b=(x+1)(x-3)$
将右侧按照多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x+1)(x-3)&=x· x + x·(-3) + 1· x + 1×(-3)\\&=x^2 -3x +x -3\\&=x^2 -2x -3\end{aligned}$
因此$x^2+ax+b=x^2-2x-3$，两个多项式相等时对应同类项的系数相等，可得$a=-2$，$b=-3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解的逆运算 2.多项式乘法法则 3.同类项系数对应
【点评】
本题属于因式分解基础题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，通过展开因式对比系数求解，熟练掌握多项式乘法运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 分解因式:
(1)$a^2 -5a=$
1. 分解因式:
(1)$a^2 -5a=$
$a(a-5)$
;(2)$-2x^2+2x=$$-2x(x-1)$
;(3)$a^2b+ab^2=$$ab(a+b)$
.答案
1.(1)$a(a-5)$ (2)$-2x(x-1)$ (3)$ab(a+b)$
解析
【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定多项式各项的公因式，公因式的确定方法为：先取各项系数的最大公约数，再取各项都含有的相同字母的最低次幂，二者相乘即为公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式除以公因式，所得的商作为括号内的因式即可。注意如果多项式首项系数为负，通常要提取负号，使括号内首项系数为正。
【解析】
(1) 多项式$a^2-5a$的各项公因式为$a$，提取公因式可得：
$a^2 -5a = a · a - a · 5 = a(a-5)$
(2) 多项式$-2x^2+2x$首项系数为负，公因式为$-2x$，提取公因式可得：
$-2x^2+2x = -2x · x + (-2x) · (-1) = -2x(x-1)$
(3) 多项式$a^2b+ab^2$的各项公因式为$ab$，提取公因式可得：
$a^2b+ab^2 = ab · a + ab · b = ab(a+b)$
【答案】
(1)$a(a-5)$ (2)$-2x(x-1)$ (3)$ab(a+b)$
【知识点】
提公因式法、公因式确定、因式分解符号规则
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础练习题，核心是掌握公因式的确定方法，需特别注意首项系数为负时要提取负号，避免出现符号错误，熟练掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.9
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定多项式各项的公因式，公因式的确定方法为：先取各项系数的最大公约数，再取各项都含有的相同字母的最低次幂，二者相乘即为公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式除以公因式，所得的商作为括号内的因式即可。注意如果多项式首项系数为负，通常要提取负号，使括号内首项系数为正。
【解析】
(1) 多项式$a^2-5a$的各项公因式为$a$，提取公因式可得：
$a^2 -5a = a · a - a · 5 = a(a-5)$
(2) 多项式$-2x^2+2x$首项系数为负，公因式为$-2x$，提取公因式可得：
$-2x^2+2x = -2x · x + (-2x) · (-1) = -2x(x-1)$
(3) 多项式$a^2b+ab^2$的各项公因式为$ab$，提取公因式可得：
$a^2b+ab^2 = ab · a + ab · b = ab(a+b)$
【答案】
(1)$a(a-5)$ (2)$-2x(x-1)$ (3)$ab(a+b)$
【知识点】
提公因式法、公因式确定、因式分解符号规则
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础练习题，核心是掌握公因式的确定方法，需特别注意首项系数为负时要提取负号，避免出现符号错误，熟练掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，把$R_1,R_2,R_3$三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则$U=IR_1+IR_2+IR_3$. 当$R_1=19,R_2=36,R_3=45,I=2.2$时，求得U的值是
220
.答案
2.220
解析
【分析】
观察电压公式$U=IR_1+IR_2+IR_3$，可发现式子的每一项都含有公因式$I$，因此可以先利用提公因式法对式子变形，简化计算步骤：先提取公因式$I$，将式子转化为$U=I(R_1+R_2+R_3)$，再代入数值计算，既减少运算量，也能降低出错概率。
【解析】
解：对公式$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，可得：
$U=I(R_1+R_2+R_3)$
将$R_1=19$，$R_2=36$，$R_3=45$，$I=2.2$代入式子：
第一步计算电阻和：$R_1+R_2+R_3=19+36+45=100$
第二步计算电压：$U=2.2×100=220$
【答案】
220
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是利用因式分解简化代数式求值的运算过程，熟练掌握提公因式的方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
观察电压公式$U=IR_1+IR_2+IR_3$，可发现式子的每一项都含有公因式$I$，因此可以先利用提公因式法对式子变形，简化计算步骤：先提取公因式$I$，将式子转化为$U=I(R_1+R_2+R_3)$，再代入数值计算，既减少运算量，也能降低出错概率。
【解析】
解：对公式$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，可得：
$U=I(R_1+R_2+R_3)$
将$R_1=19$，$R_2=36$，$R_3=45$，$I=2.2$代入式子：
第一步计算电阻和：$R_1+R_2+R_3=19+36+45=100$
第二步计算电压：$U=2.2×100=220$
【答案】
220
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是利用因式分解简化代数式求值的运算过程，熟练掌握提公因式的方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 若多项式$mx+A$可因式分解为$m(x-y)$，则$A$代表的单项式为
$-my$
。答案
3.$-my$
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，反过来，将分解得到的乘积式展开，所得结果应与原多项式完全相等。因此我们只需将$m(x-y)$按照单项式乘多项式的法则展开，再与原多项式$mx+A$对比同类项，即可求出$A$的表达式。
【解析】
∵ 多项式$mx+A$因式分解的结果为$m(x-y)$
∴ $mx+A = m(x-y)$
根据单项式乘多项式的运算法则展开等式右侧：
$m(x-y) = m· x - m· y = mx - my$
因此可得：$mx+A = mx - my$
等式两边同时减去$mx$，得：$A = -my$
【答案】
$-my$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性；单项式乘多项式运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解概念的理解和整式乘法运算法则的掌握，明确因式分解和整式乘法是互逆运算是解题的核心，熟练掌握相关运算规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，反过来，将分解得到的乘积式展开，所得结果应与原多项式完全相等。因此我们只需将$m(x-y)$按照单项式乘多项式的法则展开，再与原多项式$mx+A$对比同类项，即可求出$A$的表达式。
【解析】
∵ 多项式$mx+A$因式分解的结果为$m(x-y)$
∴ $mx+A = m(x-y)$
根据单项式乘多项式的运算法则展开等式右侧：
$m(x-y) = m· x - m· y = mx - my$
因此可得：$mx+A = mx - my$
等式两边同时减去$mx$，得：$A = -my$
【答案】
$-my$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性；单项式乘多项式运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解概念的理解和整式乘法运算法则的掌握，明确因式分解和整式乘法是互逆运算是解题的核心，熟练掌握相关运算规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 已知$x^2=4$，$x-3y=5$，则代数式$x^3-3x^2y$的值是
20
.答案
4.20
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现代数式两项中都含有公因式$x^2$，因此首先用提公因式法对所求代数式因式分解，分解后可发现结果恰好是已知条件$x^2$与$x-3y$的乘积，此时不需要单独计算$x$、$y$的取值，直接将已知条件整体代入即可快速算出结果，简化计算过程。
【解析】
首先对代数式$x^3-3x^2y$提公因式$x^2$，可得：
$x^3-3x^2y=x^2(x-3y)$
已知$x^2=4$，$x-3y=5$，将两个已知条件整体代入上式：
原式$=4×5=20$
【答案】
20
【知识点】
提公因式法分解因式、整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是通过提公因式将所求代数式转化为含已知条件的形式，借助整体代入思想避免了求解未知数的繁琐，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，发现代数式两项中都含有公因式$x^2$，因此首先用提公因式法对所求代数式因式分解，分解后可发现结果恰好是已知条件$x^2$与$x-3y$的乘积，此时不需要单独计算$x$、$y$的取值，直接将已知条件整体代入即可快速算出结果，简化计算过程。
【解析】
首先对代数式$x^3-3x^2y$提公因式$x^2$，可得：
$x^3-3x^2y=x^2(x-3y)$
已知$x^2=4$，$x-3y=5$，将两个已知条件整体代入上式：
原式$=4×5=20$
【答案】
20
【知识点】
提公因式法分解因式、整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是通过提公因式将所求代数式转化为含已知条件的形式，借助整体代入思想避免了求解未知数的繁琐，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 用提公因式法将下列各式分解因式:
(1) $x^3 - 2x^2y$
(2) $15x^4y^3 - 3x^3y^2$
(3) $-4x^3 + 8x^2 - 2x$
(4) $5a^2b^2 - 10ab^2 + 25ab$
1. 用提公因式法将下列各式分解因式:
(1) $x^3 - 2x^2y$
(2) $15x^4y^3 - 3x^3y^2$
(3) $-4x^3 + 8x^2 - 2x$
(4) $5a^2b^2 - 10ab^2 + 25ab$
答案
1.(1)$x^2(x-2y)$ (2)$3x^3y^2(5xy-1)$ (3)$-2x(2x^2-4x+1)$ (4)$5ab(ab-2b+5)$
解析
【分析】
用提公因式法分解因式的核心是先准确找出多项式各项的公因式，找公因式遵循三个步骤：①找系数：取各项系数的最大公约数；②找字母：取各项都含有的相同字母；③找指数：取相同字母的最低次幂。若多项式首项系数为负，要先提取负号，使括号内首项系数为正。提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式，将所得的商作为括号内的因式，注意不要漏写系数为±1的项。
【解析】
(1) 首先确定公因式：两项系数的最大公约数是1，都含有的相同字母是x，x的最低次幂是$x^2$，因此公因式为$x^2$。
提取公因式得：$x^3 - 2x^2y = x^2 · x - x^2 · 2y = x^2(x - 2y)$。
(2) 确定公因式：两项系数15和-3的最大公约数是3，都含有的相同字母是x、y，x的最低次幂是$x^3$，y的最低次幂是$y^2$，因此公因式为$3x^3y^2$。
提取公因式得：$15x^4y^3 - 3x^3y^2 = 3x^3y^2 · 5xy - 3x^3y^2 · 1 = 3x^3y^2(5xy - 1)$。
(3) 多项式首项系数为负，先提取负号，再确定公因式：各项系数4、8、2的最大公约数是2，都含有的相同字母是x，x的最低次幂是x，因此公因式为$-2x$。
提取公因式得：$-4x^3 + 8x^2 - 2x = -2x · 2x^2 + (-2x) · (-4x) + (-2x) · 1 = -2x(2x^2 - 4x + 1)$，注意最后一项提取公因式后剩余1，不可漏写。
(4) 确定公因式：各项系数5、-10、25的最大公约数是5，都含有的相同字母是a、b，a的最低次幂是a，b的最低次幂是b，因此公因式为$5ab$。
提取公因式得：$5a^2b^2 - 10ab^2 + 25ab = 5ab · ab - 5ab · 2b + 5ab · 5 = 5ab(ab - 2b + 5)$。
【答案】
(1)$x^2(x-2y)$ (2)$3x^3y^2(5xy-1)$ (3)$-2x(2x^2-4x+1)$ (4)$5ab(ab-2b+5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式除法运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，重点考查公因式的确定方法，解题时需注意：若首项系数为负要先提取负号，提取公因式后要检查括号内的项数是否和原多项式项数一致，避免漏写常数项1这类易忽略的项。
【难度系数】
0.8
用提公因式法分解因式的核心是先准确找出多项式各项的公因式，找公因式遵循三个步骤：①找系数：取各项系数的最大公约数；②找字母：取各项都含有的相同字母；③找指数：取相同字母的最低次幂。若多项式首项系数为负，要先提取负号，使括号内首项系数为正。提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式，将所得的商作为括号内的因式，注意不要漏写系数为±1的项。
【解析】
(1) 首先确定公因式：两项系数的最大公约数是1，都含有的相同字母是x，x的最低次幂是$x^2$，因此公因式为$x^2$。
提取公因式得：$x^3 - 2x^2y = x^2 · x - x^2 · 2y = x^2(x - 2y)$。
(2) 确定公因式：两项系数15和-3的最大公约数是3，都含有的相同字母是x、y，x的最低次幂是$x^3$，y的最低次幂是$y^2$，因此公因式为$3x^3y^2$。
提取公因式得：$15x^4y^3 - 3x^3y^2 = 3x^3y^2 · 5xy - 3x^3y^2 · 1 = 3x^3y^2(5xy - 1)$。
(3) 多项式首项系数为负，先提取负号，再确定公因式：各项系数4、8、2的最大公约数是2，都含有的相同字母是x，x的最低次幂是x，因此公因式为$-2x$。
提取公因式得：$-4x^3 + 8x^2 - 2x = -2x · 2x^2 + (-2x) · (-4x) + (-2x) · 1 = -2x(2x^2 - 4x + 1)$，注意最后一项提取公因式后剩余1，不可漏写。
(4) 确定公因式：各项系数5、-10、25的最大公约数是5，都含有的相同字母是a、b，a的最低次幂是a，b的最低次幂是b，因此公因式为$5ab$。
提取公因式得：$5a^2b^2 - 10ab^2 + 25ab = 5ab · ab - 5ab · 2b + 5ab · 5 = 5ab(ab - 2b + 5)$。
【答案】
(1)$x^2(x-2y)$ (2)$3x^3y^2(5xy-1)$ (3)$-2x(2x^2-4x+1)$ (4)$5ab(ab-2b+5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式除法运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，重点考查公因式的确定方法，解题时需注意：若首项系数为负要先提取负号，提取公因式后要检查括号内的项数是否和原多项式项数一致，避免漏写常数项1这类易忽略的项。
【难度系数】
0.8
