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2. 通常情况下,用两种不同的方法计算一个图形的面积,可以得到一个数学等式.如图4,在①中边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,再将阴影部分沿虚线剪开,可拼成②中的长方形.
(1)写出图4所表示的数学等式:________;如图5,大正方形的面积有两种表示方法,由此可以说明________(填公式).
【问题探究】
(2)①已知$3m-n=2$,$3m+n=6$,则$9m^2-n^2$的值为________;
②如图5,若$a+b+c=12$,$ab+ac+bc=35$,则$a^2+b^2+c^2=\_\_\_\_\_\_$.
【拓展计算】
(3)$(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})···(1-\dfrac{1}{2023^2})(1-\dfrac{1}{2024^2})$.
(1)写出图4所表示的数学等式:________;如图5,大正方形的面积有两种表示方法,由此可以说明________(填公式).
【问题探究】
(2)①已知$3m-n=2$,$3m+n=6$,则$9m^2-n^2$的值为________;
②如图5,若$a+b+c=12$,$ab+ac+bc=35$,则$a^2+b^2+c^2=\_\_\_\_\_\_$.
【拓展计算】
(3)$(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})···(1-\dfrac{1}{2023^2})(1-\dfrac{1}{2024^2})$.
答案
2. (1)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2,(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ (2)①12 ②74 (3)$\dfrac{2025}{4048}$
解析
【分析】
第(1)问：分别计算图①阴影部分的面积和图②拼接后长方形的面积，二者相等即可得到对应数学等式；图5的大正方形边长为$a+b+c$，分别用边长平方直接表示面积、拆分为小图形求和表示面积，二者相等即可推导三项完全平方公式。
第(2)问①：观察$9m^2-n^2$可变形为$(3m)^2-n^2$，符合平方差公式结构，分解后代入已知数值即可计算。②利用第(1)问得到的三项完全平方公式变形，将$a^2+b^2+c^2$用$(a+b+c)^2$和$ab+ac+bc$表示，代入数值计算即可。
第(3)问：每个因式$1-\frac{1}{n^2}$都可利用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，拆分后中间的分数可相互约分，仅保留首尾两项相乘即可得到结果。
【解析】
(1) 图①阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2-b^2$；图②拼接的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者面积相等，故等式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
图5中大正方形边长为$a+b+c$，面积为$(a+b+c)^2$；拆分后面积包含3个边长为$a、b、c$的小正方形，以及2个$ab$、2个$ac$、2个$bc$的矩形，总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，故可说明公式$\boldsymbol{(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$。
(2) ① 由平方差公式可得：$9m^2-n^2=(3m)^2-n^2=(3m-n)(3m+n)$，代入$3m-n=2$，$3m+n=6$，得原式$=2×6=12$。
② 由三项完全平方公式变形得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$，代入$a+b+c=12$，$ab+ac+bc=35$，得原式$=12^2-2×35=144-70=74$。
(3) 利用平方差公式拆分每个因式：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×···×(1-\frac{1}{2024})(1+\frac{1}{2024})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}\\&=\frac{1}{2}×\frac{2025}{2024}\\&=\frac{2025}{4048}\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2)①$12$；②$74$
(3)$\dfrac{2025}{4048}$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题结合图形面积推导乘法公式，考查对平方差公式和完全平方公式的理解与灵活应用，解题关键是掌握公式的结构特征，能根据所求代数式的特征选择合适的公式变形计算，第三问的规律计算需注意拆分后中间项的约分技巧。
【难度系数】
0.7
第(1)问：分别计算图①阴影部分的面积和图②拼接后长方形的面积，二者相等即可得到对应数学等式；图5的大正方形边长为$a+b+c$，分别用边长平方直接表示面积、拆分为小图形求和表示面积，二者相等即可推导三项完全平方公式。
第(2)问①：观察$9m^2-n^2$可变形为$(3m)^2-n^2$，符合平方差公式结构，分解后代入已知数值即可计算。②利用第(1)问得到的三项完全平方公式变形，将$a^2+b^2+c^2$用$(a+b+c)^2$和$ab+ac+bc$表示，代入数值计算即可。
第(3)问：每个因式$1-\frac{1}{n^2}$都可利用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，拆分后中间的分数可相互约分，仅保留首尾两项相乘即可得到结果。
【解析】
(1) 图①阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2-b^2$；图②拼接的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者面积相等，故等式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
图5中大正方形边长为$a+b+c$，面积为$(a+b+c)^2$；拆分后面积包含3个边长为$a、b、c$的小正方形，以及2个$ab$、2个$ac$、2个$bc$的矩形，总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，故可说明公式$\boldsymbol{(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$。
(2) ① 由平方差公式可得：$9m^2-n^2=(3m)^2-n^2=(3m-n)(3m+n)$，代入$3m-n=2$，$3m+n=6$，得原式$=2×6=12$。
② 由三项完全平方公式变形得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$，代入$a+b+c=12$，$ab+ac+bc=35$，得原式$=12^2-2×35=144-70=74$。
(3) 利用平方差公式拆分每个因式：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×···×(1-\frac{1}{2024})(1+\frac{1}{2024})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}\\&=\frac{1}{2}×\frac{2025}{2024}\\&=\frac{2025}{4048}\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2)①$12$；②$74$
(3)$\dfrac{2025}{4048}$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题结合图形面积推导乘法公式，考查对平方差公式和完全平方公式的理解与灵活应用，解题关键是掌握公式的结构特征，能根据所求代数式的特征选择合适的公式变形计算，第三问的规律计算需注意拆分后中间项的约分技巧。
【难度系数】
0.7
已知$a=x+2025$，$b=x+2023$，$c=x+2024$，若$a^2+b^2=8$，则$c^2$的值是
3
。答案
3
解析
【分析】
观察已知的a、b、c的代数式，三者均含有相同的x项，常数项依次相差1，因此可先找到a、b与c的数量关系：a比c大1，b比c小1，即可将a、b转化为含c的表达式，再代入$a^2+b^2=8$的等式中，利用完全平方公式展开化简，不需要求解x就能直接算出$c^2$的值，简化计算过程。
【解析】
解：由题意得：
$a = x+2025 = (x+2024) + 1 = c+1$
$b = x+2023 = (x+2024) - 1 = c-1$
将$a=c+1$，$b=c-1$代入$a^2+b^2=8$，得：
$(c+1)^2 + (c-1)^2 = 8$
根据完全平方公式展开得：
$c^2 + 2c + 1 + c^2 - 2c + 1 = 8$
合并同类项得：
$2c^2 + 2 = 8$
移项计算得：
$2c^2 = 6$
两边同时除以2得：
$c^2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式；代数式化简；整体代入
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题的关键是观察出三个含x的代数式之间的数量关系，通过换元消去未知参数x，避免直接求解x的繁琐计算，能够有效提升解题效率。
【难度系数】
0.75
观察已知的a、b、c的代数式，三者均含有相同的x项，常数项依次相差1，因此可先找到a、b与c的数量关系：a比c大1，b比c小1，即可将a、b转化为含c的表达式，再代入$a^2+b^2=8$的等式中，利用完全平方公式展开化简，不需要求解x就能直接算出$c^2$的值，简化计算过程。
【解析】
解：由题意得：
$a = x+2025 = (x+2024) + 1 = c+1$
$b = x+2023 = (x+2024) - 1 = c-1$
将$a=c+1$，$b=c-1$代入$a^2+b^2=8$，得：
$(c+1)^2 + (c-1)^2 = 8$
根据完全平方公式展开得：
$c^2 + 2c + 1 + c^2 - 2c + 1 = 8$
合并同类项得：
$2c^2 + 2 = 8$
移项计算得：
$2c^2 = 6$
两边同时除以2得：
$c^2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式；代数式化简；整体代入
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题的关键是观察出三个含x的代数式之间的数量关系，通过换元消去未知参数x，避免直接求解x的繁琐计算，能够有效提升解题效率。
【难度系数】
0.75
