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一、选择题
1. 下列无理数在－2与1之间的是 （
A.$-\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$
1. 下列无理数在－2与1之间的是 （
B
）A.$-\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个无理数在-2与1之间，解题思路为先利用相邻整数的平方估算各选项中无理数的取值范围，再结合实数大小比较的规则，判断每个选项是否落在$(-2,1)$区间内。首先回忆平方数：$1^2=1$，$2^2=4$，据此可先估算$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$的大小，再对带负号的无理数调整大小方向即可完成判断。
【解析】
先利用平方数估算各根式的范围：
∵ $2^2=4$，$1^2=1$，
∴ $1＜3＜4$，可得 $1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同乘$-1$得 $-2＜-\sqrt{3}＜-1$；
又
∵ $4＜5$，可得 $\sqrt{5}＞2$，不等式两边同乘$-1$得 $-\sqrt{5}＜-2$。
逐个判断选项：
A. $-\sqrt{5}＜-2$，不在-2与1之间，不符合要求；
B. $-2＜-\sqrt{3}＜-1＜1$，落在-2与1之间，符合要求；
C. $\sqrt{3}＞1$，不在-2与1之间，不符合要求；
D. $\sqrt{5}＞2＞1$，不在-2与1之间，不符合要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查对无理数取值范围的估算能力，解题的关键是借助平方数确定算术平方根的范围，再结合负数比较大小的规则判断即可。
【难度系数】
0.8
要判断哪个无理数在-2与1之间，解题思路为先利用相邻整数的平方估算各选项中无理数的取值范围，再结合实数大小比较的规则，判断每个选项是否落在$(-2,1)$区间内。首先回忆平方数：$1^2=1$，$2^2=4$，据此可先估算$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$的大小，再对带负号的无理数调整大小方向即可完成判断。
【解析】
先利用平方数估算各根式的范围：
∵ $2^2=4$，$1^2=1$，
∴ $1＜3＜4$，可得 $1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同乘$-1$得 $-2＜-\sqrt{3}＜-1$；
又
∵ $4＜5$，可得 $\sqrt{5}＞2$，不等式两边同乘$-1$得 $-\sqrt{5}＜-2$。
逐个判断选项：
A. $-\sqrt{5}＜-2$，不在-2与1之间，不符合要求；
B. $-2＜-\sqrt{3}＜-1＜1$，落在-2与1之间，符合要求；
C. $\sqrt{3}＞1$，不在-2与1之间，不符合要求；
D. $\sqrt{5}＞2＞1$，不在-2与1之间，不符合要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查对无理数取值范围的估算能力，解题的关键是借助平方数确定算术平方根的范围，再结合负数比较大小的规则判断即可。
【难度系数】
0.8
2. 在下列四组数中,属于勾股数的是 (
A.0.3,0.4,0.5
B.9,40,41
C.2,3,4
D.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
B
)A.0.3,0.4,0.5
B.9,40,41
C.2,3,4
D.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断哪组数是勾股数，首先要明确勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除不符合正整数要求的选项，再对剩余选项验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：0.3、0.4、0.5都是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项D：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项C：计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不满足勾股定理，排除；
选项B：9、40、41都是正整数，且$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，即$9^2+40^2=41^2$，满足勾股数的定义。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题的易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅通过平方和关系判定而误选A或D。解题时优先判断数的类型，再验证平方和关系，可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
要判断哪组数是勾股数，首先要明确勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除不符合正整数要求的选项，再对剩余选项验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：0.3、0.4、0.5都是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项D：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项C：计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不满足勾股定理，排除；
选项B：9、40、41都是正整数，且$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，即$9^2+40^2=41^2$，满足勾股数的定义。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题的易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅通过平方和关系判定而误选A或D。解题时优先判断数的类型，再验证平方和关系，可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
3. 若点$A(m,n)$在第二象限,则点$A'(m,-n)$在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3. C 解析:
∵点A(m,n)在第二象限,
∴m＜0,n＞0,
∴-n＜0,
∴点A'(m,-n)在第三象限.
∵点A(m,n)在第二象限,
∴m＜0,n＞0,
∴-n＜0,
∴点A'(m,-n)在第三象限.
解析
【分析】
解题首先要明确平面直角坐标系中四个象限的点的横、纵坐标符号规律：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）。先根据点A在第二象限的条件，推导得出m、n的正负性，再判断点A'的横、纵坐标的符号，最后对应符号规律即可确定点A'所在的象限。
【解析】
∵点A(m,n)在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴m＜0，n＞0，
∴-n＜0，
即点A'(m,-n)的横坐标为负，纵坐标也为负，符合第三象限内点的坐标特征，因此点A'在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 有理数符号判断
【点评】
本题是基础题型，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握程度，只要熟练记忆各象限坐标的符号特点，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确平面直角坐标系中四个象限的点的横、纵坐标符号规律：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）。先根据点A在第二象限的条件，推导得出m、n的正负性，再判断点A'的横、纵坐标的符号，最后对应符号规律即可确定点A'所在的象限。
【解析】
∵点A(m,n)在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴m＜0，n＞0，
∴-n＜0，
即点A'(m,-n)的横坐标为负，纵坐标也为负，符合第三象限内点的坐标特征，因此点A'在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 有理数符号判断
【点评】
本题是基础题型，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握程度，只要熟练记忆各象限坐标的符号特点，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
4. 如图,用一根长 14 cm 的吸管弯折两次做一个等腰三角形,第一次弯折在 5 cm 处,第二次弯折的位置可以是
（
A.④
B.③
C.②
D.①
（
B
）A.④
B.③
C.②
D.①
答案
4. B
解析
【分析】
解题首先明确吸管总长14cm，第一次在5cm处弯折，因此三角形三边长分别为5cm、（第二次弯折刻度-5）cm、（14-第二次弯折刻度）cm。要构成等腰三角形需要同时满足两个条件：一是有两条边长度相等，二是符合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）。我们可以先分情况讨论两边相等的可能，计算对应第二次弯折的刻度，再结合选项验证即可。
【解析】
设第二次弯折的位置对应的刻度为$x\mathrm{cm}$（$x＞5$，弯折顺序在第一次之后），则三角形三边长分别为$5\mathrm{cm}$、$(x-5)\mathrm{cm}$、$(14-x)\mathrm{cm}$。
根据等腰三角形两边相等的性质，分三种情况讨论：
1. 若$5=x-5$，解得$x=10$，不在选项给出的位置中，排除；
2. 若$5=14-x$，解得$x=9$，对应刻度9是③的位置，此时三边长为$5\mathrm{cm}$、$4\mathrm{cm}$、$5\mathrm{cm}$，验证三边关系：$4+5＞5$、$5+5＞4$，满足三角形构成条件，符合要求；
3. 若$x-5=14-x$，解得$x=9.5$，不在选项给出的位置中，排除。
验证其余选项：A选项④对应11，三边长为5、6、3，无相等边，不是等腰三角形；C选项②对应6，三边长为5、1、8，$1+5＜8$，不能构成三角形；D选项①对应2，不符合弯折顺序，且三边2、3、9无法构成三角形，均排除。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义，三角形三边关系
【点评】
本题结合实际操作考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题时需要注意分情况讨论，不要忽略三角形三边关系的隐含限制条件，避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
解题首先明确吸管总长14cm，第一次在5cm处弯折，因此三角形三边长分别为5cm、（第二次弯折刻度-5）cm、（14-第二次弯折刻度）cm。要构成等腰三角形需要同时满足两个条件：一是有两条边长度相等，二是符合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）。我们可以先分情况讨论两边相等的可能，计算对应第二次弯折的刻度，再结合选项验证即可。
【解析】
设第二次弯折的位置对应的刻度为$x\mathrm{cm}$（$x＞5$，弯折顺序在第一次之后），则三角形三边长分别为$5\mathrm{cm}$、$(x-5)\mathrm{cm}$、$(14-x)\mathrm{cm}$。
根据等腰三角形两边相等的性质，分三种情况讨论：
1. 若$5=x-5$，解得$x=10$，不在选项给出的位置中，排除；
2. 若$5=14-x$，解得$x=9$，对应刻度9是③的位置，此时三边长为$5\mathrm{cm}$、$4\mathrm{cm}$、$5\mathrm{cm}$，验证三边关系：$4+5＞5$、$5+5＞4$，满足三角形构成条件，符合要求；
3. 若$x-5=14-x$，解得$x=9.5$，不在选项给出的位置中，排除。
验证其余选项：A选项④对应11，三边长为5、6、3，无相等边，不是等腰三角形；C选项②对应6，三边长为5、1、8，$1+5＜8$，不能构成三角形；D选项①对应2，不符合弯折顺序，且三边2、3、9无法构成三角形，均排除。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义，三角形三边关系
【点评】
本题结合实际操作考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题时需要注意分情况讨论，不要忽略三角形三边关系的隐含限制条件，避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
5. 已知一次函数$y=(k-2)x+2(0＜k＜2)$，则当$1≤ x≤ 2$时，$y$的最小值是（
A.$2k-2$
B.$k-1$
C.$k$
D.$k+1$
A
）A.$2k-2$
B.$k-1$
C.$k$
D.$k+1$
答案
5. A 解析:
∵0＜k＜2,
∴k-2＜0,
∴一次函数y=(k-2)x+2中,y的值随x的增大而减小.
∵1≤x≤2,
∴当x=2时,y取得最小值,最小值为2(k-2)+2=2k-2.
∵0＜k＜2,
∴k-2＜0,
∴一次函数y=(k-2)x+2中,y的值随x的增大而减小.
∵1≤x≤2,
∴当x=2时,y取得最小值,最小值为2(k-2)+2=2k-2.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=ax+b$中，一次项系数$a$的正负决定函数的增减性，$a＞0$时$y$随$x$增大而增大，$a＜0$时$y$随$x$增大而减小。解题第一步先根据已知的$k$的取值范围，判断一次项系数$k-2$的正负，确定函数的增减性；再结合自变量$x$的取值范围$1≤x≤2$，找到使$y$取最小值对应的$x$的值；最后将该$x$代入函数解析式计算，即可得到$y$的最小值。
【解析】
解：$\because 0＜k＜2$，
$\therefore k-2＜0$，
$\therefore$一次函数$y=(k-2)x+2$中，$y$的值随$x$的增大而减小，
$\because 1≤x≤2$，
$\therefore$当$x$取最大值2时，$y$取得最小值，
将$x=2$代入解析式得：
$y_{\mathrm{最小}}=2(k-2)+2=2k-4+2=2k-2$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数最值计算
【点评】
本题是一次函数性质应用的基础题，解题核心是先通过一次项系数的正负判断函数增减性，再结合自变量的取值范围确定取最值的自变量取值，计算过程简单，考查对一次函数基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=ax+b$中，一次项系数$a$的正负决定函数的增减性，$a＞0$时$y$随$x$增大而增大，$a＜0$时$y$随$x$增大而减小。解题第一步先根据已知的$k$的取值范围，判断一次项系数$k-2$的正负，确定函数的增减性；再结合自变量$x$的取值范围$1≤x≤2$，找到使$y$取最小值对应的$x$的值；最后将该$x$代入函数解析式计算，即可得到$y$的最小值。
【解析】
解：$\because 0＜k＜2$，
$\therefore k-2＜0$，
$\therefore$一次函数$y=(k-2)x+2$中，$y$的值随$x$的增大而减小，
$\because 1≤x≤2$，
$\therefore$当$x$取最大值2时，$y$取得最小值，
将$x=2$代入解析式得：
$y_{\mathrm{最小}}=2(k-2)+2=2k-4+2=2k-2$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数最值计算
【点评】
本题是一次函数性质应用的基础题，解题核心是先通过一次项系数的正负判断函数增减性，再结合自变量的取值范围确定取最值的自变量取值，计算过程简单，考查对一次函数基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
6. 由四舍五入法得到的近似数 $ 8.5 × 10^{3} $ 是精确到
百
位.答案
6. 百
解析
【分析】
要判断用科学计数法表示的近似数精确到哪一位，核心思路是：先把科学计数法还原为普通数字，再找到近似数的最后一位有效数字，看它对应还原后原数的哪一个数位，这个数位就是近似数精确到的位置。本题我们先还原$8.5 × 10^{3}$，再定位数字5对应的原数数位即可。
【解析】
1. 先将科学计数法的数还原为原数：
$8.5 × 10^3 = 8.5 × 1000 = 8500$
2. 找有效数字对应的数位：$8.5 × 10^{3}$的最后一位有效数字是5，在还原后的数8500中，5处于百位的位置，因此该近似数精确到百位。
【答案】
百
【知识点】
近似数的精确度；科学计数法
【点评】
本题是近似数相关的基础常考题，易错点是直接看$8.5$的数位误判为精确到十分位，解题的关键是牢记要将科学计数法还原后再对应数位判断。
【难度系数】
0.7
要判断用科学计数法表示的近似数精确到哪一位，核心思路是：先把科学计数法还原为普通数字，再找到近似数的最后一位有效数字，看它对应还原后原数的哪一个数位，这个数位就是近似数精确到的位置。本题我们先还原$8.5 × 10^{3}$，再定位数字5对应的原数数位即可。
【解析】
1. 先将科学计数法的数还原为原数：
$8.5 × 10^3 = 8.5 × 1000 = 8500$
2. 找有效数字对应的数位：$8.5 × 10^{3}$的最后一位有效数字是5，在还原后的数8500中，5处于百位的位置，因此该近似数精确到百位。
【答案】
百
【知识点】
近似数的精确度；科学计数法
【点评】
本题是近似数相关的基础常考题，易错点是直接看$8.5$的数位误判为精确到十分位，解题的关键是牢记要将科学计数法还原后再对应数位判断。
【难度系数】
0.7
7. 已知点 $ P $ 在第二象限，且到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离分别为 2、3，则点 $ P $ 的坐标是
(-3,2)
.答案
7. (-3,2)
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心依据：一是第二象限内点的坐标符号特征为横坐标负、纵坐标正；二是点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值。先根据距离求出横、纵坐标的绝对值，再结合第二象限的符号特征就能确定点P的最终坐标。
【解析】
解：
∵点P在第二象限
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0
∵点P到x轴的距离为2，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值
∴点P的纵坐标为2
∵点P到y轴的距离为3，点到y轴的距离是横坐标的绝对值
∴点P的横坐标为-3
综上，点P的坐标为(-3,2)
【答案】
(-3,2)
【知识点】
象限坐标符号；点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题，易错点是混淆点到x轴、y轴的距离对应的坐标类型，或忽略象限对应的坐标符号，只要掌握基础定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确两个核心依据：一是第二象限内点的坐标符号特征为横坐标负、纵坐标正；二是点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值。先根据距离求出横、纵坐标的绝对值，再结合第二象限的符号特征就能确定点P的最终坐标。
【解析】
解：
∵点P在第二象限
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0
∵点P到x轴的距离为2，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值
∴点P的纵坐标为2
∵点P到y轴的距离为3，点到y轴的距离是横坐标的绝对值
∴点P的横坐标为-3
综上，点P的坐标为(-3,2)
【答案】
(-3,2)
【知识点】
象限坐标符号；点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题，易错点是混淆点到x轴、y轴的距离对应的坐标类型，或忽略象限对应的坐标符号，只要掌握基础定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
8. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是中线,$BF⊥$直线$AD$于点$F$,$CE⊥ AD$于点$E$.若$AE=7$,$AF=17$,则中线$AD$的长为________.
答案
8. 12 解析:
∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴∠BFD=∠CED=90°.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.在△BDF和△CDE中,
$\{\begin{array}{l}∠BFD=∠CED,\\∠BDF=∠CDE,\\BD=CD,\end{array} $
∴△BDF≌△CDE(AAS),
∴DF=DE,
∴AF-AD=AD-AE,
∵AF=17,AE=7,
∴17-AD=AD-7,
∴AD=12.
∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴∠BFD=∠CED=90°.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.在△BDF和△CDE中,
$\{\begin{array}{l}∠BFD=∠CED,\\∠BDF=∠CDE,\\BD=CD,\end{array} $
∴△BDF≌△CDE(AAS),
∴DF=DE,
∴AF-AD=AD-AE,
∵AF=17,AE=7,
∴17-AD=AD-7,
∴AD=12.
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：AD是△ABC的中线可推出BD=CD，BF、CE均垂直于AD可得两个直角相等，再结合对顶角相等的性质，可证明△BDF和△CDE全等，得到DF=DE；接下来根据线段和差关系，DF=AF-AD，DE=AD-AE，结合DF=DE即可列出关于AD的等式，代入已知数值计算就能求出AD的长度。
【解析】
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠BFD=∠CED\\∠BDF=∠CDE\\BD=CD\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴DF=DE，
∴AF - AD = AD - AE，
∵AE=7，AF=17，
∴17 - AD = AD - 7，
解得AD=12。
【答案】
12
【知识点】
三角形中线的定义；AAS证全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何线段长度计算的典型题型，解题核心是通过中线、垂直、对顶角的条件证明三角形全等，将未知线段与已知线段建立关联，结合线段和差关系列等式求解，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：AD是△ABC的中线可推出BD=CD，BF、CE均垂直于AD可得两个直角相等，再结合对顶角相等的性质，可证明△BDF和△CDE全等，得到DF=DE；接下来根据线段和差关系，DF=AF-AD，DE=AD-AE，结合DF=DE即可列出关于AD的等式，代入已知数值计算就能求出AD的长度。
【解析】
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠BFD=∠CED\\∠BDF=∠CDE\\BD=CD\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴DF=DE，
∴AF - AD = AD - AE，
∵AE=7，AF=17，
∴17 - AD = AD - 7，
解得AD=12。
【答案】
12
【知识点】
三角形中线的定义；AAS证全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何线段长度计算的典型题型，解题核心是通过中线、垂直、对顶角的条件证明三角形全等，将未知线段与已知线段建立关联，结合线段和差关系列等式求解，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,一次函数$y=x+2$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$B$两点,以$OB$为边在$y$轴的左侧作等边三角形$OBC$,将$△ OBC$沿$x$轴向右平移,使点$C$的对应点$C'$恰好落在直线$AB$上,则点$C'$的坐标为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
9. (-1,1) 解析:
∵直线y=x+2与y轴交于点B,
∴B(0,2).
∵以OB为边在y轴的左侧作等边三角形OBC,
∴点C在线段OB的垂直平分线上,
∴点C的纵坐标为1.将y=1代入y=x+2,得1=x+2,解得x=-1,
∴点C'的坐标为(-1,1).
∵直线y=x+2与y轴交于点B,
∴B(0,2).
∵以OB为边在y轴的左侧作等边三角形OBC,
∴点C在线段OB的垂直平分线上,
∴点C的纵坐标为1.将y=1代入y=x+2,得1=x+2,解得x=-1,
∴点C'的坐标为(-1,1).
解析
【分析】
解题时首先可以先根据一次函数解析式求出与y轴交点B的坐标，再结合等边三角形的性质确定点C的纵坐标；由于平移是沿x轴方向进行，平移过程中点的纵坐标保持不变，因此点C'的纵坐标与点C相同，最后将纵坐标代入一次函数解析式即可求出对应的横坐标，得到点C'的坐标。
【解析】
解：
∵一次函数$y=x+2$与y轴交于点B，
∴当$x=0$时，$y=0+2=2$，即$B(0,2)$，$OB=2$。
∵$△ OBC$是等边三角形，OB为边且在y轴上，
∴点C在线段OB的垂直平分线上，可得点C的纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$。
∵$△ OBC$沿x轴向右平移，平移过程中点的纵坐标不变，
∴点C的对应点$C'$的纵坐标仍为1。
又
∵$C'$落在直线$AB$上，将$y=1$代入$y=x+2$，得：
$1=x+2$，解得$x=-1$。
∴点$C'$的坐标为$(-1,1)$。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
一次函数的图象与性质，等边三角形的性质，平移的性质
【点评】
本题综合考查了多个基础几何性质与一次函数的结合应用，解题的核心是抓住平移沿x轴进行、纵坐标不变的特点，减少不必要的计算，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先可以先根据一次函数解析式求出与y轴交点B的坐标，再结合等边三角形的性质确定点C的纵坐标；由于平移是沿x轴方向进行，平移过程中点的纵坐标保持不变，因此点C'的纵坐标与点C相同，最后将纵坐标代入一次函数解析式即可求出对应的横坐标，得到点C'的坐标。
【解析】
解：
∵一次函数$y=x+2$与y轴交于点B，
∴当$x=0$时，$y=0+2=2$，即$B(0,2)$，$OB=2$。
∵$△ OBC$是等边三角形，OB为边且在y轴上，
∴点C在线段OB的垂直平分线上，可得点C的纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$。
∵$△ OBC$沿x轴向右平移，平移过程中点的纵坐标不变，
∴点C的对应点$C'$的纵坐标仍为1。
又
∵$C'$落在直线$AB$上，将$y=1$代入$y=x+2$，得：
$1=x+2$，解得$x=-1$。
∴点$C'$的坐标为$(-1,1)$。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
一次函数的图象与性质，等边三角形的性质，平移的性质
【点评】
本题综合考查了多个基础几何性质与一次函数的结合应用，解题的核心是抓住平移沿x轴进行、纵坐标不变的特点，减少不必要的计算，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图,一次函数$y=-2x+4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$、$B$,将直线$AB$绕点$B$顺时针旋转$45°$,交$x$轴于点$C$,则直线$BC$的函数表达式为________.
答案
10. y=3x+4 解析:如图,过点A作AF⊥AB交BC于点F,过点F作FE⊥x轴于点E.
∵一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴点A(2,0),B(0,4),
∴OA=2,BO=4.
∵∠ABC=45°,
∴∠AFB=45°,
∴AB=AF.
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠FAE=90°,
∴∠ABO=∠FAE.在△ABO和△FAE中,
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠FEA,\\∠ABO=∠FAE,\\AB=FA,\end{array} $
∴△ABO≌△FAE(AAS),
∴AE=BO=4,EF=OA=2,
∴点F(-2,-2).设直线BC的函数表达式为y=kx+4,把点F(-2,-2)代入,得-2=-2k+4,解得k=3,
∴直线BC的函数表达式为y=3x+4.
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路思考：首先求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标；遇到直线旋转45°的问题，可构造等腰直角三角形，过A作AF⊥AB交BC于F，可得AB=AF；再利用同角的余角相等推导角相等，证明△ABO和△FAE全等，进而得到点F的坐标；最后结合点B的坐标，用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：对于一次函数$y=-2x+4$，令$y=0$，解得$x=2$，即$A(2,0)$，$OA=2$；令$x=0$，解得$y=4$，即$B(0,4)$，$OB=4$。
2. 作辅助线：过点A作$AF⊥AB$交BC于点F，过点F作$FE⊥x$轴于点E。
3. 推导等腰直角三角形性质：
∵直线AB绕B顺时针旋转$45°$得到BC，
∴$∠ ABC=45°$，又$∠ BAF=90°$，
∴$△ ABF$为等腰直角三角形，即$AB=AF$。
4. 证明三角形全等：
∵$∠ OAB+∠ ABO=90°$，$∠ OAB+∠ FAE=90°$，
∴$∠ ABO=∠ FAE$。
在$△ ABO$和$△ FAE$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ FEA=90° \\∠ ABO=∠ FAE \\AB=FA\end{cases}$
∴$△ ABO≌△ FAE(AAS)$。
5. 求点F的坐标：由全等性质可得$AE=BO=4$，$EF=OA=2$，
∴点F的横坐标为$2-4=-2$，纵坐标为$0-2=-2$，即$F(-2,-2)$。
6. 求直线BC的解析式：设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将$B(0,4)$代入得$b=4$，即解析式为$y=kx+4$；再将$F(-2,-2)$代入得$-2=-2k+4$，解得$k=3$。
【答案】
$y=3x+4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数图象旋转
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，解题关键是通过构造全等三角形得到旋转后直线上的未知点坐标，能够有效考查学生对一次函数基础性质的掌握程度，以及几何辅助线构造、数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，可按以下思路思考：首先求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标；遇到直线旋转45°的问题，可构造等腰直角三角形，过A作AF⊥AB交BC于F，可得AB=AF；再利用同角的余角相等推导角相等，证明△ABO和△FAE全等，进而得到点F的坐标；最后结合点B的坐标，用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：对于一次函数$y=-2x+4$，令$y=0$，解得$x=2$，即$A(2,0)$，$OA=2$；令$x=0$，解得$y=4$，即$B(0,4)$，$OB=4$。
2. 作辅助线：过点A作$AF⊥AB$交BC于点F，过点F作$FE⊥x$轴于点E。
3. 推导等腰直角三角形性质：
∵直线AB绕B顺时针旋转$45°$得到BC，
∴$∠ ABC=45°$，又$∠ BAF=90°$，
∴$△ ABF$为等腰直角三角形，即$AB=AF$。
4. 证明三角形全等：
∵$∠ OAB+∠ ABO=90°$，$∠ OAB+∠ FAE=90°$，
∴$∠ ABO=∠ FAE$。
在$△ ABO$和$△ FAE$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ FEA=90° \\∠ ABO=∠ FAE \\AB=FA\end{cases}$
∴$△ ABO≌△ FAE(AAS)$。
5. 求点F的坐标：由全等性质可得$AE=BO=4$，$EF=OA=2$，
∴点F的横坐标为$2-4=-2$，纵坐标为$0-2=-2$，即$F(-2,-2)$。
6. 求直线BC的解析式：设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将$B(0,4)$代入得$b=4$，即解析式为$y=kx+4$；再将$F(-2,-2)$代入得$-2=-2k+4$，解得$k=3$。
【答案】
$y=3x+4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数图象旋转
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，解题关键是通过构造全等三角形得到旋转后直线上的未知点坐标，能够有效考查学生对一次函数基础性质的掌握程度，以及几何辅助线构造、数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
