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三、解答题
11. 如图，已知点$A(12,0)$、$B(0,-4)$。
(1)求直线$AB$的函数表达式。
(2)在$x$轴上找一点$P$，使其满足$PA=PB$，求$△ PAB$的面积。
11. 如图，已知点$A(12,0)$、$B(0,-4)$。
(1)求直线$AB$的函数表达式。
(2)在$x$轴上找一点$P$，使其满足$PA=PB$，求$△ PAB$的面积。
答案
11. (1)设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$,根据题意,得$\begin{cases} 12k+b=0, \\ b=-4, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{3}, \\ b=-4, \end{cases}$
∴直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-4$。(2)如图,作线段AB的垂直平分线交x轴于点P,交AB于点Q,则$AP=BP$,
∴$OP+PB=12$,$OB=4$,设$OP=x$,则$BP=12-x$,在$Rt△OPB$中,$PB^2=OP^2+OB^2$,即$(12-x)^2=x^2+4^2$,解得$x=\frac{16}{3}$,
∴$OP=\frac{16}{3}$,
∴$S_{△PAB}=S_{△AOB}-S_{△POB}=\frac{1}{2}×12×4-\frac{1}{2}×4×\frac{16}{3}=\frac{40}{3}$。
解析
【分析】
(1) 已知直线经过两个已知坐标的点A、B，选择待定系数法求解析式：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将两点坐标分别代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值就能得到直线AB的函数表达式。
(2) 要满足$PA=PB$，根据线段垂直平分线的性质，点P在线段AB的垂直平分线上。设OP的长度为x，可得$PB=PA=OA-OP=12-x$，$△ OPB$是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求出x的值，再通过两个三角形的面积差就能算出$△ PAB$的面积。
【解析】
(1) 设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，根据题意，得
$\begin{cases} 12k+b=0, \\ b=-4, \end{cases}$
把$b=-4$代入$12k+b=0$，解得$k=\frac{1}{3}$，
∴直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-4$。
(2) 如图，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，交AB于点Q，则$AP=BP$，
设$OP=x$，则$BP=PA=12-x$，
在$Rt△OPB$中，根据勾股定理$PB^2=OP^2+OB^2$，代入得
$(12-x)^2=x^2+4^2$，
展开化简得$144-24x=16$，解得$x=\frac{16}{3}$，
∴$OP=\frac{16}{3}$，
∴$S_{△PAB}=S_{△AOB}-S_{△POB}=\frac{1}{2}×12×4-\frac{1}{2}×4×\frac{16}{3}=\frac{40}{3}$。
【答案】
(1) 直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-4$；
(2) $△ PAB$的面积为$\frac{40}{3}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，考查了一次函数解析式的常规求解方法，以及结合几何性质列方程求线段长、计算三角形面积的能力，解题关键是理清线段间的数量关系，灵活运用相关定理列式计算。
【难度系数】
0.7
(1) 已知直线经过两个已知坐标的点A、B，选择待定系数法求解析式：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将两点坐标分别代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值就能得到直线AB的函数表达式。
(2) 要满足$PA=PB$，根据线段垂直平分线的性质，点P在线段AB的垂直平分线上。设OP的长度为x，可得$PB=PA=OA-OP=12-x$，$△ OPB$是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求出x的值，再通过两个三角形的面积差就能算出$△ PAB$的面积。
【解析】
(1) 设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，根据题意，得
$\begin{cases} 12k+b=0, \\ b=-4, \end{cases}$
把$b=-4$代入$12k+b=0$，解得$k=\frac{1}{3}$，
∴直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-4$。
(2) 如图，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，交AB于点Q，则$AP=BP$，
设$OP=x$，则$BP=PA=12-x$，
在$Rt△OPB$中，根据勾股定理$PB^2=OP^2+OB^2$，代入得
$(12-x)^2=x^2+4^2$，
展开化简得$144-24x=16$，解得$x=\frac{16}{3}$，
∴$OP=\frac{16}{3}$，
∴$S_{△PAB}=S_{△AOB}-S_{△POB}=\frac{1}{2}×12×4-\frac{1}{2}×4×\frac{16}{3}=\frac{40}{3}$。
【答案】
(1) 直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-4$；
(2) $△ PAB$的面积为$\frac{40}{3}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，考查了一次函数解析式的常规求解方法，以及结合几何性质列方程求线段长、计算三角形面积的能力，解题关键是理清线段间的数量关系，灵活运用相关定理列式计算。
【难度系数】
0.7
12. 现有甲、乙两个容器，均装有进水管和出水管，甲容器原来没有水，乙容器原有一定量的水.首先打开甲容器的进水管注水，第10 min同时打开甲、乙两容器的出水管排水，第15 min关闭甲容器的进水管，直到甲、乙两容器水排完.
甲、乙两容器中的水量$y_1$、$y_2$（单位：L）与时间$x$（从甲容器注水开始计时，单位：min）的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲容器进水管的注水速度是
(2)求甲容器出水管的排水速度及AB段对应的函数表达式.
(3)当$x=$
甲、乙两容器中的水量$y_1$、$y_2$（单位：L）与时间$x$（从甲容器注水开始计时，单位：min）的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲容器进水管的注水速度是
60
L/min，乙容器出水管的排水速度是40
L/min.(2)求甲容器出水管的排水速度及AB段对应的函数表达式.
(3)当$x=$
$\frac{13}{3}$或12或$\frac{78}{5}$
min时，两容器中的水量差为180 L.答案
12. (1)60 40 解析:甲容器进水管的注水速度是$\frac{600}{10}=60$(L/min);乙容器出水管的排水速度是$\frac{440}{21-10}=40$(L/min)。(2)设甲容器出水管的排水速度为a L/min,根据题意,得$600+5×60-(20-10)a=0$,解得$a=90$,
∴甲容器出水管的排水速度为90 L/min;设AB段的函数表达式为$y=kx+b(10≤x≤15)$,由k的实际意义可得,$k=60-90=-30$,将A$(10,600)$代入,得$600=-30×10+b$,解得$b=900$,
∴AB段的函数表达式为$y=-30x+900(10≤x≤15)$。(3)$\frac{13}{3}$或12或$\frac{78}{5}$ 解析:①当$0≤x＜10$时,根据题意,得$440-60x=180$,解得$x=\frac{13}{3}$;②当$10≤x＜15$时,如图,
∵AB段的函数表达式为$y=-30x+900$,
∴当$x=15$时,$y=-30×15+900=450$,
∴点B$(15,450)$,设BC段的函数表达式为$y=mx+n(15≤x≤20)$,把B$(15,450)$、C$(20,0)$代入,得$\begin{cases} 15m+n=450, \\ 20m+n=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-90, \\ n=1800, \end{cases}$
∴BC段的函数表达式为$y=-90x+1800(15≤x≤20)$,设DE段的函数表达式为$y=ex+f(10≤x≤21)$,把D$(10,440)$、E$(21,0)$代入,得$\begin{cases} 10e+f=440, \\ 21e+f=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} e=-40, \\ f=840, \end{cases}$
∴DE段的函数表达式为$y=-40x+840(10≤x≤21)$,根据题意,得$-30x+900-(-40x+840)=180$,解得$x=12$;③解方程组$\begin{cases} y=-90x+1800, \\ y=-40x+840, \end{cases}$得$\begin{cases} x=\frac{96}{5}, \\ y=72, \end{cases}$
∴BC段与DE段的交点坐标为$(\frac{96}{5},72)$,当$15≤x＜21$时,根据题意,得$(-90x+1800)-(-40x+840)=180$,解得$x=\frac{78}{5}$.综上所述,当$x=\frac{13}{3}$ min或12 min或$\frac{78}{5}$ min时,两容器中的水量差为180 L。
解析
【分析】
(1) 求甲进水管速度：观察图象可知甲前10min只进水，水量从0升至600L，根据速度=总水量÷时间即可计算；乙容器原有440L水，从第10min开始排水到21min全部排完，总排水时长11min，排水速度=原有水量÷总排水时长即可求解。
(2) 求甲出水管排水速度：10~15min甲同时开进水管和出水管，15min后关闭进水管只开出水管，到20min甲容器水排完，根据20min时甲水量为0列方程即可求解；AB段对应10≤x≤15时甲的水量，是一次函数，先由进水、排水的速度差得函数斜率，再代入A点坐标用待定系数法即可求解析式。
(3) 分三个时间段讨论水量差为180L的情况：①0≤x＜10时，甲水量随时间匀速上升，乙水量恒为440L，列水量差为180的方程求解；②10≤x＜15时，甲水量为AB段函数，乙水量为排水阶段的一次函数，列水量差为180的方程求解；③15≤x＜21时，甲水量为关闭进水管后的排水函数，乙水量仍为排水阶段函数，列水量差为180的方程求解，所有解需要验证是否在对应自变量取值范围内。
【解析】
(1) 甲容器进水管注水速度为$\frac{600}{10}=60$（L/min）；乙容器总排水时长为$21-10=11$（min），出水管排水速度为$\frac{440}{11}=40$（L/min）。
(2) 设甲容器出水管的排水速度为$a$ L/min，根据题意得：
$600+5×60-(20-10)a=0$
解得$a=90$，即甲容器出水管的排水速度为90 L/min。
设AB段的函数表达式为$y=kx+b(10≤ x≤15)$，10~15min甲的水量变化速度为进水速度减排水速度，即$k=60-90=-30$，将$A(10,600)$代入得：
$600=-30×10+b$，解得$b=900$
故AB段的函数表达式为$y=-30x+900(10≤ x≤15)$。
(3) 分三种情况讨论：
①当$0≤ x＜10$时，甲水量为$60x$，乙水量为440L，由水量差为180L得：
$440-60x=180$，解得$x=\frac{13}{3}$，符合取值范围。
②当$10≤ x＜15$时，先求乙容器排水阶段的函数：设$y=ex+f(10≤ x≤21)$，代入$D(10,440)$、$E(21,0)$得：
$\begin{cases}10e+f=440 \\21e+f=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}e=-40 \\f=840 \end{cases}$，即乙水量函数为$y=-40x+840(10≤ x≤21)$。
结合AB段甲的水量函数，由水量差为180L得：
$(-30x+900)-(-40x+840)=180$，解得$x=12$，符合取值范围。
③当$15≤ x＜21$时，先求甲关闭进水管后的排水函数：当$x=15$时，甲水量为$-30×15+900=450$，即$B(15,450)$，又$C(20,0)$，设BC段函数为$y=mx+n(15≤ x≤20)$，代入得：
$\begin{cases}15m+n=450 \\20m+n=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-90 \\n=1800 \end{cases}$，即甲BC段函数为$y=-90x+1800(15≤ x≤20)$。
由水量差为180L得：$(-90x+1800)-(-40x+840)=180$，解得$x=\frac{78}{5}$，符合取值范围。
综上，满足条件的$x$为$\frac{13}{3}$或12或$\frac{78}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{40}$
(2) 甲容器出水管的排水速度为$\boxed{90\ \mathrm{L/min}}$；AB段对应的函数表达式为$\boxed{y=-30x+900(10≤ x≤15)}$
(3) $\boxed{\frac{13}{3}}$或$\boxed{12}$或$\boxed{\frac{78}{5}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；分段函数
【点评】
本题结合进出水的实际场景考查一次函数的综合应用，解题的核心是理清不同时间段水管开闭状态对应的水量变化规律，分段讨论时要注意自变量的取值范围，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.3
(1) 求甲进水管速度：观察图象可知甲前10min只进水，水量从0升至600L，根据速度=总水量÷时间即可计算；乙容器原有440L水，从第10min开始排水到21min全部排完，总排水时长11min，排水速度=原有水量÷总排水时长即可求解。
(2) 求甲出水管排水速度：10~15min甲同时开进水管和出水管，15min后关闭进水管只开出水管，到20min甲容器水排完，根据20min时甲水量为0列方程即可求解；AB段对应10≤x≤15时甲的水量，是一次函数，先由进水、排水的速度差得函数斜率，再代入A点坐标用待定系数法即可求解析式。
(3) 分三个时间段讨论水量差为180L的情况：①0≤x＜10时，甲水量随时间匀速上升，乙水量恒为440L，列水量差为180的方程求解；②10≤x＜15时，甲水量为AB段函数，乙水量为排水阶段的一次函数，列水量差为180的方程求解；③15≤x＜21时，甲水量为关闭进水管后的排水函数，乙水量仍为排水阶段函数，列水量差为180的方程求解，所有解需要验证是否在对应自变量取值范围内。
【解析】
(1) 甲容器进水管注水速度为$\frac{600}{10}=60$（L/min）；乙容器总排水时长为$21-10=11$（min），出水管排水速度为$\frac{440}{11}=40$（L/min）。
(2) 设甲容器出水管的排水速度为$a$ L/min，根据题意得：
$600+5×60-(20-10)a=0$
解得$a=90$，即甲容器出水管的排水速度为90 L/min。
设AB段的函数表达式为$y=kx+b(10≤ x≤15)$，10~15min甲的水量变化速度为进水速度减排水速度，即$k=60-90=-30$，将$A(10,600)$代入得：
$600=-30×10+b$，解得$b=900$
故AB段的函数表达式为$y=-30x+900(10≤ x≤15)$。
(3) 分三种情况讨论：
①当$0≤ x＜10$时，甲水量为$60x$，乙水量为440L，由水量差为180L得：
$440-60x=180$，解得$x=\frac{13}{3}$，符合取值范围。
②当$10≤ x＜15$时，先求乙容器排水阶段的函数：设$y=ex+f(10≤ x≤21)$，代入$D(10,440)$、$E(21,0)$得：
$\begin{cases}10e+f=440 \\21e+f=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}e=-40 \\f=840 \end{cases}$，即乙水量函数为$y=-40x+840(10≤ x≤21)$。
结合AB段甲的水量函数，由水量差为180L得：
$(-30x+900)-(-40x+840)=180$，解得$x=12$，符合取值范围。
③当$15≤ x＜21$时，先求甲关闭进水管后的排水函数：当$x=15$时，甲水量为$-30×15+900=450$，即$B(15,450)$，又$C(20,0)$，设BC段函数为$y=mx+n(15≤ x≤20)$，代入得：
$\begin{cases}15m+n=450 \\20m+n=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-90 \\n=1800 \end{cases}$，即甲BC段函数为$y=-90x+1800(15≤ x≤20)$。
由水量差为180L得：$(-90x+1800)-(-40x+840)=180$，解得$x=\frac{78}{5}$，符合取值范围。
综上，满足条件的$x$为$\frac{13}{3}$或12或$\frac{78}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{40}$
(2) 甲容器出水管的排水速度为$\boxed{90\ \mathrm{L/min}}$；AB段对应的函数表达式为$\boxed{y=-30x+900(10≤ x≤15)}$
(3) $\boxed{\frac{13}{3}}$或$\boxed{12}$或$\boxed{\frac{78}{5}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；分段函数
【点评】
本题结合进出水的实际场景考查一次函数的综合应用，解题的核心是理清不同时间段水管开闭状态对应的水量变化规律，分段讨论时要注意自变量的取值范围，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.3
13. 如图,在平面直角坐标系中,已知直线$ l:y=kx-4k $（$ k $为常数,$ k≠0 $）与$ x $轴交于点$ A $,与$ y $轴的负半轴交于点$ B $,以$ AB $为边、$ B $为直角顶点作等腰直角三角形$ ABC $.
(1)无论$ k $取什么值,直线$ l $一定经过一个定点,求这个定点的坐标.
(2)若直线$ l $经过点$(2,-3)$,当点$ C $在第三象限时,求点$ C $的坐标.
(3)若$ k＞0 $,点$ C $在直线$ l $的左侧,则$ OC+AC $的最小值为________.
(1)无论$ k $取什么值,直线$ l $一定经过一个定点,求这个定点的坐标.
(2)若直线$ l $经过点$(2,-3)$,当点$ C $在第三象限时,求点$ C $的坐标.
(3)若$ k＞0 $,点$ C $在直线$ l $的左侧,则$ OC+AC $的最小值为________.
答案
13. (1)
∵$y=kx-4k=k(x-4)$,
∴无论k取什么值,直线l一定经过定点$(4,0)$。(2)
∵直线l经过点$(2,-3)$,
∴$-3=2k-4k$,解得$k=\frac{3}{2}$,
∴直线l:$y=\frac{3}{2}x-6$.令$x=0$,得$y=-6$;令$y=0$,得$\frac{3}{2}x-6=0$,解得$x=4$,
∴点A$(4,0)$,B$(0,-6)$,
∴$AO=4$,$BO=6$。
过点C作$CD⊥y$轴于点D.∵等腰直角三角形ABC以AB为边、B为直角顶点,
∴$∠ABC=90°$,$AB=BC$,
∴$∠ABO+∠CBD=90°$.
∵$∠ABO+∠BAO=90°$,
∴$∠CBD=∠BAO$.在$△CBD$和$△BAO$中,$\begin{cases} ∠CDB=∠BOA, \\ ∠CBD=∠BAO, \\ CB=BA, \end{cases}$
∴$△CBD≌△BAO(AAS)$,
∴$CD=BO=6$,$BD=AO=4$,
∴$OD=BO-BD=6-4=2$,
∴点C的坐标为$(-6,-2)$。(3)$4\sqrt{5}$ 解析:由(1)知,直线l一定经过定点$(4,0)$,
∴A$(4,0)$,
∴$AO=4$.由(2)知,$△CBD≌△BAO$,
∴$CD=BO=4k$,$BD=AO=4$,
∴点C的坐标为$(-4k,4-4k)$,
∴点C在直线$y=x+4$上运动。
作点O关于直线$y=x+4$对称的点E,连接AE、OC、CE,则点E$(-4,4)$.∵$OC=CE$,
∴$OC+AC=CE+AC$,
∴当A、C、E三点共线,即点C在AE上时,$OC+AC$的值最小,最小值为AE的长,此时$AE=\sqrt{(4+4)^2+4^2}=4\sqrt{5}$,即$OC+AC$的最小值为$4\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 求直线过的定点，即该点坐标与k的取值无关，因此将直线解析式变形提取公因式k，令k的系数为0即可求出定点坐标。
(2) 先将已知点坐标代入直线解析式求出k值，得到直线l的表达式，再分别令x=0、y=0求出A、B两点坐标；结合等腰直角三角形的性质，过C作CD垂直y轴构造全等三角形，用AAS证明△CBD≌△BAO，根据全等三角形对应边相等求出CD、BD的长度，即可得到C点坐标。
(3) 根据(2)的全等结论用k表示出C点坐标，推导得出C点在定直线上运动；要求OC+AC的最小值，利用轴对称性质作O关于该定直线的对称点E，将OC转化为CE，根据两点之间线段最短，当A、C、E三点共线时，OC+AC的值最小，计算AE的长度即可得到最小值。
【解析】
(1) 对直线$l$的解析式变形：
$y=kx-4k=k(x-4)$，
当$x-4=0$即$x=4$时，无论$k$取何值，$y=0$恒成立，因此直线$l$过定点$(4,0)$。
(2)
∵直线$l$经过点$(2,-3)$，代入解析式得：
$-3=2k-4k$，解得$k=\frac{3}{2}$，
∴直线$l$的解析式为$y=\frac{3}{2}x-6$。
令$x=0$，得$y=-6$，即$B(0,-6)$；
令$y=0$，得$\frac{3}{2}x-6=0$，解得$x=4$，即$A(4,0)$，
∴$AO=4$，$BO=6$。
过点$C$作$CD⊥y$轴于点$D$，
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，$B$为直角顶点，
∴$∠ABC=90°$，$AB=BC$，
∴$∠ABO+∠CBD=90°$，
又
∵$∠ABO+∠BAO=90°$，
∴$∠CBD=∠BAO$。
在$△ CBD$和$△ BAO$中：
$\begin{cases} ∠CDB=∠BOA=90° \\ ∠CBD=∠BAO \\ CB=BA \end{cases}$
∴$△ CBD≌△ BAO(AAS)$，
∴$CD=BO=6$，$BD=AO=4$，
∴$OD=BO-BD=6-4=2$，结合点$C$在第三象限，得$C(-6,-2)$。
(3) 由(1)知$A(4,0)$，$AO=4$，直线$l$与$y$轴交点$B(0,-4k)$，故$BO=4k$。
由(2)的全等结论得$CD=BO=4k$，$BD=AO=4$，结合$C$在直线$l$左侧，得$C(-4k,4-4k)$，消去参数$k$可得点$C$在直线$y=x+4$上运动。
作点$O$关于直线$y=x+4$的对称点$E(-4,4)$，连接$AE$、$OC$、$CE$，由轴对称性质得$OC=CE$，
∴$OC+AC=CE+AC$，当$A$、$C$、$E$三点共线时，$CE+AC$取最小值，即$AE$的长度。
计算得$AE=\sqrt{(4+4)^2+(0-4)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，即$OC+AC$的最小值为$4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{(4,0)}$
(2) $\boxed{(-6,-2)}$
(3) $\boxed{4\sqrt{5}}$
【知识点】
一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数综合题，结合了等腰直角三角形性质、全等证明、最短路径求解等考点，侧重考查数形结合思想和转化思想的运用，对综合运用知识解决动点问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 求直线过的定点，即该点坐标与k的取值无关，因此将直线解析式变形提取公因式k，令k的系数为0即可求出定点坐标。
(2) 先将已知点坐标代入直线解析式求出k值，得到直线l的表达式，再分别令x=0、y=0求出A、B两点坐标；结合等腰直角三角形的性质，过C作CD垂直y轴构造全等三角形，用AAS证明△CBD≌△BAO，根据全等三角形对应边相等求出CD、BD的长度，即可得到C点坐标。
(3) 根据(2)的全等结论用k表示出C点坐标，推导得出C点在定直线上运动；要求OC+AC的最小值，利用轴对称性质作O关于该定直线的对称点E，将OC转化为CE，根据两点之间线段最短，当A、C、E三点共线时，OC+AC的值最小，计算AE的长度即可得到最小值。
【解析】
(1) 对直线$l$的解析式变形：
$y=kx-4k=k(x-4)$，
当$x-4=0$即$x=4$时，无论$k$取何值，$y=0$恒成立，因此直线$l$过定点$(4,0)$。
(2)
∵直线$l$经过点$(2,-3)$，代入解析式得：
$-3=2k-4k$，解得$k=\frac{3}{2}$，
∴直线$l$的解析式为$y=\frac{3}{2}x-6$。
令$x=0$，得$y=-6$，即$B(0,-6)$；
令$y=0$，得$\frac{3}{2}x-6=0$，解得$x=4$，即$A(4,0)$，
∴$AO=4$，$BO=6$。
过点$C$作$CD⊥y$轴于点$D$，∵$△ ABC$是等腰直角三角形，$B$为直角顶点，
∴$∠ABC=90°$，$AB=BC$，
∴$∠ABO+∠CBD=90°$，
又
∵$∠ABO+∠BAO=90°$，
∴$∠CBD=∠BAO$。
在$△ CBD$和$△ BAO$中：
$\begin{cases} ∠CDB=∠BOA=90° \\ ∠CBD=∠BAO \\ CB=BA \end{cases}$
∴$△ CBD≌△ BAO(AAS)$，
∴$CD=BO=6$，$BD=AO=4$，
∴$OD=BO-BD=6-4=2$，结合点$C$在第三象限，得$C(-6,-2)$。
(3) 由(1)知$A(4,0)$，$AO=4$，直线$l$与$y$轴交点$B(0,-4k)$，故$BO=4k$。
由(2)的全等结论得$CD=BO=4k$，$BD=AO=4$，结合$C$在直线$l$左侧，得$C(-4k,4-4k)$，消去参数$k$可得点$C$在直线$y=x+4$上运动。
作点$O$关于直线$y=x+4$的对称点$E(-4,4)$，连接$AE$、$OC$、$CE$，由轴对称性质得$OC=CE$，∴$OC+AC=CE+AC$，当$A$、$C$、$E$三点共线时，$CE+AC$取最小值，即$AE$的长度。
计算得$AE=\sqrt{(4+4)^2+(0-4)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，即$OC+AC$的最小值为$4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{(4,0)}$
(2) $\boxed{(-6,-2)}$
(3) $\boxed{4\sqrt{5}}$
【知识点】
一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数综合题，结合了等腰直角三角形性质、全等证明、最短路径求解等考点，侧重考查数形结合思想和转化思想的运用，对综合运用知识解决动点问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
