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二、勾股定理的逆定理及其应用
答案
解：
勾股定理的逆定理内容
如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，边长为$c$的边所对的角为直角。
---
判定直角三角形示例
判断三边长分别为6，8，10的三角形是否为直角三角形。
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
$\therefore 6^2 + 8^2 = 10^2$
$\therefore$ 该三角形是直角三角形。
---
实际应用示例
已知四边形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ B=90°$，$CD=12$，$AD=13$，求四边形$ABCD$的面积。
连接$AC$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，即$AC=5$
在$△ ACD$中：
$\because AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$AD^2 = 13^2 = 169$
$\therefore AC^2 + CD^2 = AD^2$
由勾股定理的逆定理可得$△ ACD$是直角三角形，$∠ ACD=90°$
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12 = 6 + 30 = 36$
答：四边形$ABCD$的面积为36。
勾股定理的逆定理内容
如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，边长为$c$的边所对的角为直角。
---
判定直角三角形示例
判断三边长分别为6，8，10的三角形是否为直角三角形。
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
$\therefore 6^2 + 8^2 = 10^2$
$\therefore$ 该三角形是直角三角形。
---
实际应用示例
已知四边形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ B=90°$，$CD=12$，$AD=13$，求四边形$ABCD$的面积。
连接$AC$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，即$AC=5$
在$△ ACD$中：
$\because AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$AD^2 = 13^2 = 169$
$\therefore AC^2 + CD^2 = AD^2$
由勾股定理的逆定理可得$△ ACD$是直角三角形，$∠ ACD=90°$
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12 = 6 + 30 = 36$
答：四边形$ABCD$的面积为36。
解析
【分析】
学习本部分内容首先要牢记勾股定理逆定理的具体内容，明确其核心作用是通过三角形三边的数量关系判定三角形是否为直角三角形。解题时若为直接判断三边构成的三角形类型，只需计算较短两边的平方和与最长边的平方，验证二者是否相等即可；若为求不规则几何图形面积类问题，通常先通过辅助线将图形拆分为多个三角形，先用勾股定理求出未知边的长度，再用勾股定理逆定理判定对应三角形是否为直角三角形，最后分别计算各部分面积求和得到最终结果。
【解析】
一、勾股定理的逆定理内容
如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，边长为$c$的边所对的角为直角。
二、判定直角三角形示例
判断三边长分别为6，8，10的三角形是否为直角三角形。
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
$\therefore 6^2 + 8^2 = 10^2$，符合勾股定理逆定理的条件
$\therefore$ 该三角形是直角三角形。
三、实际应用示例
已知四边形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ B=90°$，$CD=12$，$AD=13$，求四边形$ABCD$的面积。
1. 连接辅助线$AC$
2. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，即$AC=5$
3. 在$△ ACD$中验证三边关系：
$\because AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$AD^2 = 13^2 = 169$
$\therefore AC^2 + CD^2 = AD^2$，由勾股定理的逆定理可得$△ ACD$是直角三角形，$∠ ACD=90°$
4. 计算四边形面积：
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12 = 6 + 30 = 36$
【答案】
勾股定理逆定理：如果三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，$c$边所对的角为直角；三边长为6、8、10的三角形是直角三角形；四边形$ABCD$的面积为36。
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形判定，不规则图形面积计算
【点评】
勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，常与勾股定理结合使用，解题时需注意区分二者的使用场景：已知直角求边长用勾股定理，已知三边关系判定直角用逆定理，求解不规则图形面积时常用割补法将其转化为直角三角形求解。
【难度系数】
0.7
学习本部分内容首先要牢记勾股定理逆定理的具体内容，明确其核心作用是通过三角形三边的数量关系判定三角形是否为直角三角形。解题时若为直接判断三边构成的三角形类型，只需计算较短两边的平方和与最长边的平方，验证二者是否相等即可；若为求不规则几何图形面积类问题，通常先通过辅助线将图形拆分为多个三角形，先用勾股定理求出未知边的长度，再用勾股定理逆定理判定对应三角形是否为直角三角形，最后分别计算各部分面积求和得到最终结果。
【解析】
一、勾股定理的逆定理内容
如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，边长为$c$的边所对的角为直角。
二、判定直角三角形示例
判断三边长分别为6，8，10的三角形是否为直角三角形。
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
$\therefore 6^2 + 8^2 = 10^2$，符合勾股定理逆定理的条件
$\therefore$ 该三角形是直角三角形。
三、实际应用示例
已知四边形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ B=90°$，$CD=12$，$AD=13$，求四边形$ABCD$的面积。
1. 连接辅助线$AC$
2. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，即$AC=5$
3. 在$△ ACD$中验证三边关系：
$\because AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$AD^2 = 13^2 = 169$
$\therefore AC^2 + CD^2 = AD^2$，由勾股定理的逆定理可得$△ ACD$是直角三角形，$∠ ACD=90°$
4. 计算四边形面积：
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12 = 6 + 30 = 36$
【答案】
勾股定理逆定理：如果三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，$c$边所对的角为直角；三边长为6、8、10的三角形是直角三角形；四边形$ABCD$的面积为36。
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形判定，不规则图形面积计算
【点评】
勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，常与勾股定理结合使用，解题时需注意区分二者的使用场景：已知直角求边长用勾股定理，已知三边关系判定直角用逆定理，求解不规则图形面积时常用割补法将其转化为直角三角形求解。
【难度系数】
0.7
1. 下列条件能判定$△ ABC$为直角三角形的是（
A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:4$
C.$a=3^2,b=4^2,c=5^2$
D.$a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{1}{4},c=\dfrac{1}{5}$
A
）A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:4$
C.$a=3^2,b=4^2,c=5^2$
D.$a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{1}{4},c=\dfrac{1}{5}$
答案
1.A
解析
【分析】
判定三角形为直角三角形有两种核心思路：一是利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；二是利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。解题时我们只需对四个选项逐一用对应方法验证，即可得出正确结论。
【解析】
结合直角三角形的判定方法逐一分析选项：
1. 验证选项A
根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入可得：
$∠ C + ∠ C = 180°$，即$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，符合要求。
2. 验证选项B
已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:4$，设三个角分别为$x$、$2x$、$4x$，根据内角和列方程：
$x + 2x + 4x = 180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ C=4x=\frac{720°}{7}\approx102.9°≠90°$，不是直角三角形，不符合要求。
3. 验证选项C
由题意得$a=3^2=9$，$b=4^2=16$，$c=5^2=25$，最长边为$c=25$。
计算短边平方和：$a^2 + b^2 = 9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，
长边平方：$c^2=25^2=625$，
$337≠625$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合要求。
4. 验证选项D
三条边中最长边为$a=\frac{1}{3}$，
计算短边平方和：$b^2 + c^2 = (\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{41}{400}=0.1025$，
长边平方：$a^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\approx0.111$，
$0.1025≠0.111$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合要求。
综上只有选项A能判定$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题时要熟练掌握两种判定方法的应用，注意辨析易错点，比如不要误将选项C中的$3^2、4^2、5^2$直接当作3、4、5判断，计算边长平方时要仔细。
【难度系数】
0.75
判定三角形为直角三角形有两种核心思路：一是利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；二是利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。解题时我们只需对四个选项逐一用对应方法验证，即可得出正确结论。
【解析】
结合直角三角形的判定方法逐一分析选项：
1. 验证选项A
根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入可得：
$∠ C + ∠ C = 180°$，即$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，符合要求。
2. 验证选项B
已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:4$，设三个角分别为$x$、$2x$、$4x$，根据内角和列方程：
$x + 2x + 4x = 180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ C=4x=\frac{720°}{7}\approx102.9°≠90°$，不是直角三角形，不符合要求。
3. 验证选项C
由题意得$a=3^2=9$，$b=4^2=16$，$c=5^2=25$，最长边为$c=25$。
计算短边平方和：$a^2 + b^2 = 9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，
长边平方：$c^2=25^2=625$，
$337≠625$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合要求。
4. 验证选项D
三条边中最长边为$a=\frac{1}{3}$，
计算短边平方和：$b^2 + c^2 = (\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{41}{400}=0.1025$，
长边平方：$a^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\approx0.111$，
$0.1025≠0.111$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合要求。
综上只有选项A能判定$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题时要熟练掌握两种判定方法的应用，注意辨析易错点，比如不要误将选项C中的$3^2、4^2、5^2$直接当作3、4、5判断，计算边长平方时要仔细。
【难度系数】
0.75
2. 三角形的三边长分别为 $a,b,c$，且满足等式 $(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，则此三角形是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
2.B
解析
【分析】
拿到这道题首先观察已知等式含有边长的平方和乘积项，解题思路分三步：第一步利用完全平方公式展开等式左边的式子，第二步通过移项、合并同类项化简等式，得到三边的平方关系，第三步结合勾股定理的逆定理判断三角形的类型即可。
【解析】
首先对给定的等式进行化简：
1. 展开等式左边的完全平方项：
$(a+b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$
2. 结合原等式$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，代入展开式可得：
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$
3. 等式两边同时减去$2ab$，整理得：
$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，即$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长$a、b、c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形为直角三角形。因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是正确运用完全平方公式化简等式，侧重考察基础公式的掌握和简单代数变形能力。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察已知等式含有边长的平方和乘积项，解题思路分三步：第一步利用完全平方公式展开等式左边的式子，第二步通过移项、合并同类项化简等式，得到三边的平方关系，第三步结合勾股定理的逆定理判断三角形的类型即可。
【解析】
首先对给定的等式进行化简：
1. 展开等式左边的完全平方项：
$(a+b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$
2. 结合原等式$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，代入展开式可得：
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$
3. 等式两边同时减去$2ab$，整理得：
$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，即$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长$a、b、c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形为直角三角形。因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是正确运用完全平方公式化简等式，侧重考察基础公式的掌握和简单代数变形能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图20-7,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为 (
A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
C
)A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
3.C
解析
【分析】
要求∠ABC的度数，我们可以先连接AC构造△ABC，利用网格小正方形边长为1的特点，结合勾股定理分别计算△ABC三边的长度，再通过三边的数量关系判断三角形的形状，进而求出∠ABC的度数。
【解析】
连接AC，已知每个小正方形的边长为1：
1. 根据勾股定理计算各边长度：
计算AC：AC所在直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此$AC^2=1^2+2^2=5$，即$AC=\sqrt{5}$；
计算BC：BC所在直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此$BC^2=1^2+2^2=5$，即$BC=\sqrt{5}$；
计算AB：AB所在直角三角形的两条直角边长分别为1、3，因此$AB^2=1^2+3^2=10$，即$AB=\sqrt{10}$。
2. 判断三角形形状：
由上述计算可得$AC=BC$，且$AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，因此△ABC是等腰直角三角形。
3. 求角度：
等腰直角三角形的两个底角相等，因此$∠ ABC=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是网格类角度计算的典型习题，解题核心是通过构造三角形，将角度求解问题转化为边长计算问题，结合三角形的性质得到结果，能有效考查对勾股定理相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠ABC的度数，我们可以先连接AC构造△ABC，利用网格小正方形边长为1的特点，结合勾股定理分别计算△ABC三边的长度，再通过三边的数量关系判断三角形的形状，进而求出∠ABC的度数。
【解析】
连接AC，已知每个小正方形的边长为1：
1. 根据勾股定理计算各边长度：
计算AC：AC所在直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此$AC^2=1^2+2^2=5$，即$AC=\sqrt{5}$；
计算BC：BC所在直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此$BC^2=1^2+2^2=5$，即$BC=\sqrt{5}$；
计算AB：AB所在直角三角形的两条直角边长分别为1、3，因此$AB^2=1^2+3^2=10$，即$AB=\sqrt{10}$。
2. 判断三角形形状：
由上述计算可得$AC=BC$，且$AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，因此△ABC是等腰直角三角形。
3. 求角度：
等腰直角三角形的两个底角相等，因此$∠ ABC=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是网格类角度计算的典型习题，解题核心是通过构造三角形，将角度求解问题转化为边长计算问题，结合三角形的性质得到结果，能有效考查对勾股定理相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 一个三角形的三边长为 5,12,13,
则最短边上的高为
则最短边上的高为
12
.答案
4.12
解析
【分析】
解题时首先根据给出的三边长，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算三边平方后可发现5²+12²=13²，因此该三角形是直角三角形，斜边为13，两条直角边为5和12。接下来确定最短边为长度是5的直角边，求该边上的高时，既可以利用直角三角形两条直角边互为对方边上高的性质直接推导，也可以通过三角形面积公式列方程计算，两种方法都能得出结果。
【解析】
解：第一步判断三角形形状：
∵ $5^2=25$，$12^2=144$，$13^2=169$
∴ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形，斜边长为13，两条直角边的长度分别为5和12。
该三角形的最短边为长度是5的直角边，直角三角形中一条直角边上的高等于另一条直角边的长度，因此最短边上的高为12。
（也可用面积法验证：三角形面积$S=\frac{1}{2}×5×12=30$，设最短边上的高为$h$，则$S=\frac{1}{2}×5×h=30$，解得$h=12$）
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题的核心突破点是先通过边长特征判断三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特性或面积法求解对应高，属于常规基础题，解题时需注意先明确最短边对应的是哪条边，避免混淆高的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据给出的三边长，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算三边平方后可发现5²+12²=13²，因此该三角形是直角三角形，斜边为13，两条直角边为5和12。接下来确定最短边为长度是5的直角边，求该边上的高时，既可以利用直角三角形两条直角边互为对方边上高的性质直接推导，也可以通过三角形面积公式列方程计算，两种方法都能得出结果。
【解析】
解：第一步判断三角形形状：
∵ $5^2=25$，$12^2=144$，$13^2=169$
∴ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形，斜边长为13，两条直角边的长度分别为5和12。
该三角形的最短边为长度是5的直角边，直角三角形中一条直角边上的高等于另一条直角边的长度，因此最短边上的高为12。
（也可用面积法验证：三角形面积$S=\frac{1}{2}×5×12=30$，设最短边上的高为$h$，则$S=\frac{1}{2}×5×h=30$，解得$h=12$）
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题的核心突破点是先通过边长特征判断三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特性或面积法求解对应高，属于常规基础题，解题时需注意先明确最短边对应的是哪条边，避免混淆高的对应关系。
【难度系数】
0.8
5. 已知在$△ ABC$中，$∠ A, ∠ B, ∠ C$的对边分别是$a,b,c$，满足$a^2+b^2+c^2+338=10a+24b+26c$. 试判断$△ ABC$的形状.
答案
5.由题意,可得 $a=5$,$b=12$,$c=13$.
∵ $a^2+b^2=c^2$,
∴ $△ ABC$的形状是直角三角形.
∵ $a^2+b^2=c^2$,
∴ $△ ABC$的形状是直角三角形.
解析
【分析】
首先观察给出的等式，等式中同时含有三边的平方项和一次项，还有常数项，我们可以通过移项、配方的方法，将等式转化为几个完全平方式的和等于0的形式。根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，就可以求出a、b、c的具体长度。最后再利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边的平方和等于第三边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：对已知等式进行移项，得：
$a^2 -10a + b^2 -24b + c^2 -26c + 338 = 0$
将常数项338拆分为25、144、169的和，分别和对应二次项、一次项凑完全平方：
$(a^2 -10a +25) + (b^2 -24b +144) + (c^2 -26c +169) = 0$
即：
$(a-5)^2 + (b-12)^2 + (c-13)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-5)^2≥0$，$(b-12)^2≥0$，$(c-13)^2≥0$
∴ 只有当每个平方项都为0时，和才为0，即：
$a-5=0$，$b-12=0$，$c-13=0$
解得：$a=5$，$b=12$，$c=13$
验证三边关系：
$a^2 + b^2 = 5^2 +12^2 =25 +144=169$，$c^2=13^2=169$
∴ $a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
完全平方公式、非负数的性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题的核心是通过配方将给定等式转化为非负数和为0的形式，求出三边长度后再利用勾股逆定理判断形状，对学生的公式应用能力和综合计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的等式，等式中同时含有三边的平方项和一次项，还有常数项，我们可以通过移项、配方的方法，将等式转化为几个完全平方式的和等于0的形式。根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，就可以求出a、b、c的具体长度。最后再利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边的平方和等于第三边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：对已知等式进行移项，得：
$a^2 -10a + b^2 -24b + c^2 -26c + 338 = 0$
将常数项338拆分为25、144、169的和，分别和对应二次项、一次项凑完全平方：
$(a^2 -10a +25) + (b^2 -24b +144) + (c^2 -26c +169) = 0$
即：
$(a-5)^2 + (b-12)^2 + (c-13)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-5)^2≥0$，$(b-12)^2≥0$，$(c-13)^2≥0$
∴ 只有当每个平方项都为0时，和才为0，即：
$a-5=0$，$b-12=0$，$c-13=0$
解得：$a=5$，$b=12$，$c=13$
验证三边关系：
$a^2 + b^2 = 5^2 +12^2 =25 +144=169$，$c^2=13^2=169$
∴ $a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
完全平方公式、非负数的性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题的核心是通过配方将给定等式转化为非负数和为0的形式，求出三边长度后再利用勾股逆定理判断形状，对学生的公式应用能力和综合计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
6. 如图20-8,在$△ ABC$中,$∠ A, ∠ B$, $∠ C$所对的边长分别为$a=n^2-1,b=2n,c= n^2+1$,且$n＞1$.
(1)判断该三角形的形状,并说明理由；
(2)若$∠ B=60°$,求$△ ABC$的三边长.
图20-8
C. $6\ \mathrm{cm}^2$
D. $12\ \mathrm{cm}^2$
(1)判断该三角形的形状,并说明理由；
(2)若$∠ B=60°$,求$△ ABC$的三边长.
图20-8
C. $6\ \mathrm{cm}^2$
D. $12\ \mathrm{cm}^2$
答案
6.(1)$△ ABC$是直角三角形.理由如下:
∵ $a=n^2-1$,$b=2n$,$c=n^2+1$,
∴ $a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,$c^2=(n^2+1)^2$.
∴ $a^2+b^2=c^2$.
∴ $△ ABC$是直角三角形,且$∠C=90°$.
(2)
∵ $∠B=60°$,$∠C=90°$,
∴ $c=2a$,即$n^2+1=2(n^2-1)$.
∴ $n^2=3$,解得$n=\sqrt{3}$或$n=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去).当$n=\sqrt{3}$时,$a=n^2-1=(\sqrt{3})^2-1=3-1=2$,$b=2n=2\sqrt{3}$,$c=2a=4$.
∵ $a=n^2-1$,$b=2n$,$c=n^2+1$,
∴ $a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,$c^2=(n^2+1)^2$.
∴ $a^2+b^2=c^2$.
∴ $△ ABC$是直角三角形,且$∠C=90°$.
(2)
∵ $∠B=60°$,$∠C=90°$,
∴ $c=2a$,即$n^2+1=2(n^2-1)$.
∴ $n^2=3$,解得$n=\sqrt{3}$或$n=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去).当$n=\sqrt{3}$时,$a=n^2-1=(\sqrt{3})^2-1=3-1=2$,$b=2n=2\sqrt{3}$,$c=2a=4$.
解析
【分析】
(1)要判断三角形的形状，已知三边的代数式，优先考虑勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先判断最长边：n＞1时，c=n²+1是三边中最长的边，因此只需计算a²+b²是否等于c²即可判断形状。
(2)结合第(1)问的结论，已知△ABC是∠C=90°的直角三角形，又已知∠B=60°，可得∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得c=2a，代入三边的代数式列方程求解n，再代入计算三边长即可，注意n＞1，要舍去不符合题意的负根。
【解析】
(1)△ABC是直角三角形，理由如下：
已知$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$，$n＞1$，
计算$a^2+b^2$得：
$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2$
$=n^4-2n^2+1+4n^2$
$=n^4+2n^2+1$
$=(n^2+1)^2$
又$c^2=(n^2+1)^2$，
因此$a^2+b^2=c^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且最长边c所对的角$∠ C=90°$。
(2)由(1)知$∠ C=90°$，又已知$∠ B=60°$，
则$∠ A=180°-90°-60°=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边$c=2a$，
代入a和c的代数式得：
$n^2+1=2(n^2-1)$
整理得$n^2=3$，
解得$n=\sqrt{3}$或$n=-\sqrt{3}$，
因为$n＞1$，所以$n=-\sqrt{3}$不符合题意，舍去，
将$n=\sqrt{3}$代入三边的代数式：
$a=n^2-1=(\sqrt{3})^2-1=2$，
$b=2n=2\sqrt{3}$，
$c=n^2+1=3+1=4$。
【答案】
(1)$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$；
(2)$△ ABC$的三边长为$a=2$，$b=2\sqrt{3}$，$c=4$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的性质；代数式化简求值
【点评】
本题是勾股定理章节的典型基础题，第一问需要熟练运用完全平方公式化简代数式，结合勾股定理逆定理判断三角形形状；第二问需要结合直角三角形特殊角度的边角关系建立方程求解，解题时需注意未知数的取值范围，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
(1)要判断三角形的形状，已知三边的代数式，优先考虑勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先判断最长边：n＞1时，c=n²+1是三边中最长的边，因此只需计算a²+b²是否等于c²即可判断形状。
(2)结合第(1)问的结论，已知△ABC是∠C=90°的直角三角形，又已知∠B=60°，可得∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得c=2a，代入三边的代数式列方程求解n，再代入计算三边长即可，注意n＞1，要舍去不符合题意的负根。
【解析】
(1)△ABC是直角三角形，理由如下：
已知$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$，$n＞1$，
计算$a^2+b^2$得：
$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2$
$=n^4-2n^2+1+4n^2$
$=n^4+2n^2+1$
$=(n^2+1)^2$
又$c^2=(n^2+1)^2$，
因此$a^2+b^2=c^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且最长边c所对的角$∠ C=90°$。
(2)由(1)知$∠ C=90°$，又已知$∠ B=60°$，
则$∠ A=180°-90°-60°=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边$c=2a$，
代入a和c的代数式得：
$n^2+1=2(n^2-1)$
整理得$n^2=3$，
解得$n=\sqrt{3}$或$n=-\sqrt{3}$，
因为$n＞1$，所以$n=-\sqrt{3}$不符合题意，舍去，
将$n=\sqrt{3}$代入三边的代数式：
$a=n^2-1=(\sqrt{3})^2-1=2$，
$b=2n=2\sqrt{3}$，
$c=n^2+1=3+1=4$。
【答案】
(1)$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$；
(2)$△ ABC$的三边长为$a=2$，$b=2\sqrt{3}$，$c=4$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的性质；代数式化简求值
【点评】
本题是勾股定理章节的典型基础题，第一问需要熟练运用完全平方公式化简代数式，结合勾股定理逆定理判断三角形形状；第二问需要结合直角三角形特殊角度的边角关系建立方程求解，解题时需注意未知数的取值范围，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
