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4. 如图 20-3, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC=$ 5,$BC=6$.若点 $P$ 在直线 $AC$ 上移动,则 $BP$ 的最小值是________.
答案
4.4.8
解析
【分析】
要找到BP的最小值，根据“垂线段最短”的性质，可知当BP垂直于AC时，BP的长度最小。首先我们可以利用等腰三角形三线合一的性质，作出底边BC的高，用勾股定理求出该高的长度，进而得到△ABC的面积，再通过等面积法，以AC为底、最短的BP为高列出等式，即可计算出BP的最小值。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=5，△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一），
∵BC=6，
∴BD=BC÷2=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP的长度最小，此时△ABC的面积也可表示为$S=\frac{1}{2}×AC×BP$，代入得：
$12=\frac{1}{2}×5×BP$，
解得$BP=\frac{24}{5}=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于三角形应用的经典题型，解题关键是先判断出BP最短的位置，再灵活运用三角形面积的两种计算方法求解，能很好地考查学生对几何性质和面积公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要找到BP的最小值，根据“垂线段最短”的性质，可知当BP垂直于AC时，BP的长度最小。首先我们可以利用等腰三角形三线合一的性质，作出底边BC的高，用勾股定理求出该高的长度，进而得到△ABC的面积，再通过等面积法，以AC为底、最短的BP为高列出等式，即可计算出BP的最小值。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=5，△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一），
∵BC=6，
∴BD=BC÷2=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP的长度最小，此时△ABC的面积也可表示为$S=\frac{1}{2}×AC×BP$，代入得：
$12=\frac{1}{2}×5×BP$，
解得$BP=\frac{24}{5}=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于三角形应用的经典题型，解题关键是先判断出BP最短的位置，再灵活运用三角形面积的两种计算方法求解，能很好地考查学生对几何性质和面积公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 图20-4①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能够组合得到图20-4②所示的四边形OABC.若OC$=\sqrt{5}$,BC=1,$∠ AOB=30°$,则OA的值为________.
答案
5.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先观察图形，四边形OABC由两个相邻直角三角形组成，存在公共边OB。我们可以先在已知两条边长的Rt△OBC中，用勾股定理算出OB的长度；再在Rt△OAB中，结合30°直角三角形的性质和勾股定理，就能求出OA的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，$OC=\sqrt{5}$，$BC=1$，根据勾股定理：
$OB^2 + BC^2 = OC^2$
代入数值得：$OB=\sqrt{OC^2-BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=\sqrt{5-1}=2$
2. 在$Rt△ OAB$中，$∠ A=90°$，$∠ AOB=30°$，根据含30°角的直角三角形性质，30°角对的直角边等于斜边的一半：
$AB=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1$
再根据勾股定理：
$OA^2 + AB^2 = OB^2$
代入数值得：$OA=\sqrt{OB^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是先求出两个直角三角形的公共边OB，再结合特殊直角三角形的边长关系计算待求线段，主要考查对基础几何定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，四边形OABC由两个相邻直角三角形组成，存在公共边OB。我们可以先在已知两条边长的Rt△OBC中，用勾股定理算出OB的长度；再在Rt△OAB中，结合30°直角三角形的性质和勾股定理，就能求出OA的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，$OC=\sqrt{5}$，$BC=1$，根据勾股定理：
$OB^2 + BC^2 = OC^2$
代入数值得：$OB=\sqrt{OC^2-BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=\sqrt{5-1}=2$
2. 在$Rt△ OAB$中，$∠ A=90°$，$∠ AOB=30°$，根据含30°角的直角三角形性质，30°角对的直角边等于斜边的一半：
$AB=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1$
再根据勾股定理：
$OA^2 + AB^2 = OB^2$
代入数值得：$OA=\sqrt{OB^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是先求出两个直角三角形的公共边OB，再结合特殊直角三角形的边长关系计算待求线段，主要考查对基础几何定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问：葛藤之长几何？”题意是：如图20-5所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处. 则问题中葛藤的最短长度是 ______ 尺.
图20-5
(说明:1尺$=\frac{1}{3}$米$=0.\dot{3}\dot{3}$米)
图20-5
(说明:1尺$=\frac{1}{3}$米$=0.\dot{3}\dot{3}$米)
答案
6.25
解析
【分析】
要计算葛藤的最短长度，属于立体图形上的最短路径问题，需先将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”把曲线路径转化为直线段，再结合勾股定理计算。葛藤绕圆柱5周，展开后水平方向总长度为5倍底面周长，竖直方向长度等于圆柱的高，葛藤长度就是对应直角三角形的斜边长。
【解析】
解：将圆柱侧面沿AB剪开展开得到长方形，
葛藤缠绕5周，因此长方形的长 = 5×底面周长 = 5×3 = 15尺，
长方形的宽等于圆柱的高，为20尺。
葛藤的最短长度为该长方形的对角线长，根据勾股定理：
设葛藤长为$ L $，则
$ L^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 $
解得$ L = \sqrt{625} = 25 $（尺）
【答案】
25
【知识点】
立体图形展开图，勾股定理应用，最短路径计算
【点评】
本题结合古代数学问题考查最短路径求解，核心是通过侧面展开将立体问题转化为平面问题，再用勾股定理计算，很好地体现了转化的数学思想，需要熟练掌握立体图形展开的规律。
【难度系数】
0.6
要计算葛藤的最短长度，属于立体图形上的最短路径问题，需先将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”把曲线路径转化为直线段，再结合勾股定理计算。葛藤绕圆柱5周，展开后水平方向总长度为5倍底面周长，竖直方向长度等于圆柱的高，葛藤长度就是对应直角三角形的斜边长。
【解析】
解：将圆柱侧面沿AB剪开展开得到长方形，
葛藤缠绕5周，因此长方形的长 = 5×底面周长 = 5×3 = 15尺，
长方形的宽等于圆柱的高，为20尺。
葛藤的最短长度为该长方形的对角线长，根据勾股定理：
设葛藤长为$ L $，则
$ L^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 $
解得$ L = \sqrt{625} = 25 $（尺）
【答案】
25
【知识点】
立体图形展开图，勾股定理应用，最短路径计算
【点评】
本题结合古代数学问题考查最短路径求解，核心是通过侧面展开将立体问题转化为平面问题，再用勾股定理计算，很好地体现了转化的数学思想，需要熟练掌握立体图形展开的规律。
【难度系数】
0.6
7. 请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图20-6①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理$c^2=a^2+b^2$；
（2）如图20-6①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求$(a+b)^2$的值$(a＜b)$；
（3）如图20-6②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的高，$AC=4$，$BC=3$，求$CD$的长度。
（1）如图20-6①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理$c^2=a^2+b^2$；
（2）如图20-6①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求$(a+b)^2$的值$(a＜b)$；
（3）如图20-6②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的高，$AC=4$，$BC=3$，求$CD$的长度。
答案
7.(1)大正方形的面积=$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,整理,得$c^2=a^2+b^2$.
(2)
∵ 大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,
∴ $c^2=13$,$(b-a)^2=1$.
∴ $a^2+b^2=13$,$a^2+b^2-2ab=1$.
∴ $2ab=12$.
∴ $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=13+12=25$,即$(a+b)^2$的值为25.
(3)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,
∴ $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
∴ $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12}{5}$.
(2)
∵ 大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,
∴ $c^2=13$,$(b-a)^2=1$.
∴ $a^2+b^2=13$,$a^2+b^2-2ab=1$.
∴ $2ab=12$.
∴ $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=13+12=25$,即$(a+b)^2$的值为25.
(3)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,
∴ $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
∴ $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12}{5}$.
解析
【分析】
（1）验证勾股定理可利用等面积法：大正方形的面积既可以用边长$c$直接计算，也可以表示为4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出等式整理即可得出勾股定理；
（2）已知大、小正方形的面积，可直接得到$c^2$和$(b-a)^2$的值，结合勾股定理和完全平方公式求出$ab$的值，再代入$(a+b)^2$的展开式计算即可；
（3）求$CD$的长可利用三角形面积的两种计算方式：直角三角形的面积既等于两条直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高乘积的一半，建立等式即可求出$CD$的长度。
【解析】
（1）大正方形的边长为$c$，因此大正方形的面积为$c^2$；
图中4个直角三角形全等，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，中间小正方形的边长为$b-a$，小正方形的面积为$(b-a)^2$；
由面积相等可得：$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$，
展开整理：$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$，即$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
（2）已知大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
因此$c^2=13$，$(b-a)^2=1$，
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=13$，
将$(b-a)^2=1$展开得：$a^2+b^2-2ab=1$，
代入$a^2+b^2=13$，得$13-2ab=1$，解得$2ab=12$，
因此$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=13+12=25$。
（3）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
三角形面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，
因此$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
（1）$c^2=a^2+b^2$，验证成立；
（2）$(a+b)^2=25$；
（3）$CD=\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，等面积法
【点评】
本题围绕等面积法展开考察，涉及勾股定理的验证、代数式求值和线段长度计算，核心是掌握“用两种不同方式表示同一个图形的面积，所得结果相等”这一逻辑，是几何中非常实用的解题方法，熟练掌握后可快速解决相关求值类问题。
【难度系数】
0.7
（1）验证勾股定理可利用等面积法：大正方形的面积既可以用边长$c$直接计算，也可以表示为4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出等式整理即可得出勾股定理；
（2）已知大、小正方形的面积，可直接得到$c^2$和$(b-a)^2$的值，结合勾股定理和完全平方公式求出$ab$的值，再代入$(a+b)^2$的展开式计算即可；
（3）求$CD$的长可利用三角形面积的两种计算方式：直角三角形的面积既等于两条直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高乘积的一半，建立等式即可求出$CD$的长度。
【解析】
（1）大正方形的边长为$c$，因此大正方形的面积为$c^2$；
图中4个直角三角形全等，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，中间小正方形的边长为$b-a$，小正方形的面积为$(b-a)^2$；
由面积相等可得：$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$，
展开整理：$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$，即$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
（2）已知大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
因此$c^2=13$，$(b-a)^2=1$，
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=13$，
将$(b-a)^2=1$展开得：$a^2+b^2-2ab=1$，
代入$a^2+b^2=13$，得$13-2ab=1$，解得$2ab=12$，
因此$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=13+12=25$。
（3）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
三角形面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，
因此$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
（1）$c^2=a^2+b^2$，验证成立；
（2）$(a+b)^2=25$；
（3）$CD=\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，等面积法
【点评】
本题围绕等面积法展开考察，涉及勾股定理的验证、代数式求值和线段长度计算，核心是掌握“用两种不同方式表示同一个图形的面积，所得结果相等”这一逻辑，是几何中非常实用的解题方法，熟练掌握后可快速解决相关求值类问题。
【难度系数】
0.7
