1.（1）若二次根式$\sqrt{x-1}$有意义，则$x$的取值范围为（）.

A.$x≠1$
B.$x≥1$
C.$x＜1$
D.全体实数

B

二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此对于$\sqrt{x-1}$可列不等式$x-1≥0$，解得$x≥1$。

（2）下列式子中，$x$的取值范围为$x≠3$的是（）.

A.$x-3$
B.$\dfrac{1}{x-3}$
C.$\dfrac{1}{x+3}$
D.$\sqrt{x-3}$

B

分别分析各选项中x的取值范围：
1. 选项A：$x-3$是整式，x取全体实数，不符合$x≠3$的要求；
2. 选项B：分式有意义的条件是分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，符合要求；
3. 选项C：分式有意义的条件是分母不为0，即$x+3≠0$，解得$x≠-3$，不符合要求；
4. 选项D：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即$x-3≥0$，解得$x≥3$，不符合要求。
综上，符合条件的是选项B。

2. 计算:
(1) $\frac{5}{\sqrt{5}}$.
(2) $\sqrt{24} × \sqrt{3}$.
(3) $\sqrt{12} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{8}$.
(4) $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{48} ÷ \sqrt{\frac{1}{8}}$.

(1) $\sqrt{5}$；(2) $6\sqrt{2}$；(3) $4\sqrt{2}$；(4) $8\sqrt{3}$

本题考查二次根式的乘除运算，核心运算法则为：①二次根式乘法：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$；②二次根式除法：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$，运算结果需化为最简二次根式。
(1) 利用分母有理化计算：
$\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$
(2) 利用二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{24}×\sqrt{3}=\sqrt{24×3}=\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$
(3) 从左到右依次运算：
$\sqrt{12}÷\sqrt{3}×\sqrt{8}=\sqrt{12÷3}×\sqrt{8}=\sqrt{4}×2\sqrt{2}=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
(4) 将乘除运算统一归入根号内计算：
$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{48}÷\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1}{2}×48÷\frac{1}{8}}=\sqrt{24×8}=\sqrt{192}=\sqrt{64×3}=8\sqrt{3}$

3. 计算：$(\sqrt{3} - 2)^0 + (\dfrac{1}{3})^{-1} - |-\sqrt{12}|.$

$4-2\sqrt{3}$

我们分三步分别计算式子中的每一项，再合并得到最终结果：
1. 计算零指数幂：根据“非零实数的0次幂等于1”，因为$\sqrt{3}-2≠0$，所以$(\sqrt{3}-2)^0=1$；
2. 计算负整数指数幂：根据运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$；
3. 化简绝对值与二次根式：先去绝对值，$|-\sqrt{12}|=\sqrt{12}$，再将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$。
将三项结果代入原式计算：
原式$=1 + 3 - 2\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}$

4. 图甲是一位亿万富翁在湖泊地区的避暑山庄区域图.里面有三个正方形的湖泊——鸳鸯湖、杉湖和榕湖,其面积分别为26,20和18.已知别墅区所在的三角形区域面积与草地①,②,③的三角形区域面积都相等.这位富翁要身边的人算一算这座山庄的总面积,所有人苦思冥想,但没有人能算出来.后来聪明的“趣味数学大师”亨利·杜德耐想出了一个精妙绝伦的办法.他构造了如图乙所示的长方形$ABCD$,使其中的$△ DEF$的三边长正好是别墅区三角形的三边长,从而巧妙地算出了山庄的面积.你知道亨利是怎么算的吗?由此你想到了什么?

这座山庄的总面积为$\boldsymbol{100}$。

1. 计算别墅区三角形的面积：
观察图乙长方形$ABCD$，长$AD=5$，宽$CD=4$，因此长方形面积$S_{ABCD}=5×4=20$。
分别计算长方形内三个直角三角形的面积：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×1×5=2.5$，
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}×3×3=4.5$，
$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}×2×4=4$。
通过割补法得$△ DEF$的面积：
$S_{△ DEF}=S_{ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BEF}-S_{△ CDF}=20-2.5-4.5-4=9$。
验证$△ DEF$的三边平方：
$DE^2=1^2+5^2=26$，$EF^2=3^2+3^2=18$，$DF^2=2^2+4^2=20$，正好对应三个正方形湖泊的边长平方，因此$△ DEF$就是别墅区的三角形，即别墅区面积为9。
2. 计算山庄总面积：
由题意，草地①、②、③的面积都和别墅区相等，均为9。
山庄总面积 = 三个湖泊面积和 + 别墅区面积 + 三块草地面积和：
$26+18+20 + 9×4=64+36=100$。
得到的结论：已知三角形三边长的平方值时，可以通过构造矩形用割补法快速求三角形面积，无需使用超纲的海伦公式。