1. 下列算式计算错误的是________（填序号）.
①$2+\sqrt{7}=2\sqrt{7}$；②$\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{14}$；③$\sqrt{2}+\sqrt{7}=3$；④$2÷\sqrt{7}=\dfrac{2}{7}\sqrt{7}$.

①③

我们逐个分析各算式：
1. 算式①：2是有理数，$\sqrt{7}$是无理数，二者不是同类二次根式，不能直接合并，$2+\sqrt{7}≠2\sqrt{7}$，该式计算错误。
2. 算式②：根据二次根式乘法运算法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{2×7}=\sqrt{14}$，该式计算正确。
3. 算式③：$\sqrt{2}$和$\sqrt{7}$的被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，且$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{7}\approx2.646$，二者相加约为4.06，不等于3，该式计算错误。
4. 算式④：通过分母有理化计算可得$2÷\sqrt{7}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2×\sqrt{7}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{2}{7}\sqrt{7}$，该式计算正确。
因此计算错误的是①③。

2. 如图,矩形$ABCD$中,$E$,$F$分别是$AB$,$CD$的中点,连结$DE$和$BF$. 分别取$DE$,$BF$的中点$M$,$N$,连结$AM$,$CN$,$MN$. 若$AB=2\sqrt{2}$,$BC=2\sqrt{3}$,则图中阴影部分的面积为$\underline{\hspace{3cm}}$.

$2\sqrt{6}$

根据矩形的性质，矩形是中心对称图形，对称中心为其对角线的交点，将图形绕该对称中心旋转180°后，阴影部分与空白部分完全重合，因此阴影部分的面积等于矩形面积的一半。
首先计算矩形ABCD的面积：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=2\sqrt{2}×2\sqrt{3}=4\sqrt{6}$
因此阴影部分的面积为：
$\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{6}=2\sqrt{6}$

3. 计算:
(1) $\sqrt{2} + \sqrt{6} × \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8}$.
(2) $\sqrt{(-\frac{32}{3})^2} ÷ \sqrt{(0.2)^2 × 5^2}$.
(3) $3\sqrt{5} ÷ \sqrt{15} - \frac{5}{\sqrt{3}}$.
(4) $\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{125} × (-\sqrt{50})$.
B
C

(1) $0$；(2) $\frac{32}{3}$；(3) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(4) $\frac{51\sqrt{10}}{2}$

本题为二次根式的混合运算题，遵循先乘除后加减的运算顺序，结合二次根式的运算法则化简计算：
(1) 先计算乘法、化简二次根式：
$\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{6×\frac{1}{3}}=\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
代入原式得：原式$=\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0$
(2) 利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简根号项：
$\sqrt{(-\frac{32}{3})^2}=\left|-\frac{32}{3}\right|=\frac{32}{3}$，$\sqrt{(0.2)^2×5^2}=\sqrt{(0.2×5)^2}=\sqrt{1^2}=1$
代入原式得：原式$=\frac{32}{3}÷1=\frac{32}{3}$
(3) 先计算除法，再对根式分母有理化：
$3\sqrt{5}÷\sqrt{15}=3\sqrt{\frac{5}{15}}=3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$，$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
代入原式得：原式$=\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(4) 先化简各项，再计算乘法项：
$\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\sqrt{125}×\sqrt{50}=\sqrt{125×50}=\sqrt{6250}=25\sqrt{10}$
代入原式得：原式$=\frac{\sqrt{10}}{2}+25\sqrt{10}=\frac{51\sqrt{10}}{2}$

4. 图中组成网格的每个小正方形的边长均为1,求点B到直线AC的距离.

点B到直线AC的距离为$\frac{10\sqrt{13}}{13}$。

我们利用面积法求解点B到直线AC的距离，步骤如下：
1. 建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得三点坐标：A(3,4)，B(1,2)，C(5,1)。
2. 由勾股定理计算AC的长度：$AC=\sqrt{(5-3)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
3. 用割补法计算△ABC的面积：将△ABC置于长为4、宽为3的矩形内，减去周围3个直角三角形的面积，得$S_{△ ABC}=4×3 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×4×1 - \frac{1}{2}×2×3=5$。
4. 设点B到直线AC的距离为h，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· h$，代入得$5=\frac{1}{2}×\sqrt{13}× h$，解得$h=\frac{10\sqrt{13}}{13}$。

5. 在科幻电影或电视里,我们经常会看到一些穿越时空的场景. 有些场景在理论上是可能存在的. 根据爱因斯坦的相对论,地球上过了1秒,宇宙飞船内只过了$\sqrt{1-(\dfrac{v}{c})^2}$秒,其中$c$是光速($3×10^8$米/秒),$v$是宇宙飞船的速度. 大宝和小宝是一对双胞胎兄弟. 在20岁这一年,大宝乘坐速度为$2.94×10^8$米/秒的宇宙飞船到太空中寻找外星人. 在小宝80岁这一年,大宝飞回了地球. 当这对兄弟走到一起时,人们不敢相信这是一对双胞胎兄弟. 按照爱因斯坦的相对论,此时大宝大约是多少岁?

32岁

1. 计算地球经过的总时长：小宝从20岁到80岁，地球上一共经过的时间为 $ 80 - 20 = 60 $ 年。
2. 代入数值计算速度比：已知 $ v=2.94×10^8 \, \mathrm{m/s} $，$ c=3×10^8 \, \mathrm{m/s} $，可得 $ \frac{v}{c} = \frac{2.94×10^8}{3×10^8} = 0.98 $。
3. 计算飞船内的时间比例：将速度比代入相对论时间公式，得
$ \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2} = \sqrt{1 - 0.98^2} = \sqrt{1 - 0.9604} = \sqrt{0.0396} \approx 0.2 $
4. 计算飞船上经过的总时长：$ 60 × 0.2 = 12 $ 年。
5. 计算大宝的年龄：大宝出发时为20岁，因此返回时年龄为 $ 20 + 12 = 32 $ 岁。