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9. 某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有(
A.29人
B.30人
C.31人
D.32人
B
).A.29人
B.30人
C.31人
D.32人
答案
9. B
解析
【分析】
这是一道分配类的不等式实际应用题，解题思路如下：首先设敬老院老人的人数为未知数，根据第一种分配方案用含未知数的式子表示出牛奶的总数量；再结合第二种分配方案中“最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”的不等关系，列出一元一次不等式组；求解不等式组得到人数的取值范围，最后结合人数为正整数的实际要求，找出最小的整数解即可。
【解析】
解：设这个敬老院的老人有$x$人，则牛奶的总盒数为$4x+28$盒。
分给每位老人5盒时，前$(x-1)$位老人共分得$5(x-1)$盒，最后一位老人分得的牛奶数量为$(4x+28)-5(x-1)$盒，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}(4x+28)-5(x-1) ≥ 1 \\(4x+28)-5(x-1) ＜ 4\end{cases}$
化简第一个不等式：
$4x+28-5x+5 ≥ 1$
$-x + 33 ≥ 1$
解得$x ≤ 32$
化简第二个不等式：
$4x+28-5x+5 ＜ 4$
$-x + 33 ＜ 4$
解得$x ＞ 29$
所以不等式组的解集为$29 ＜ x ≤ 32$，
因为$x$代表老人人数，必须为正整数，所以$x$可取30、31、32，最小取值为30。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 不等式组的整数解
【点评】
本题是典型的不等式实际应用问题，解题关键是准确提取题干中的不等关系列出不等式组，注意结合实际场景中未知数的取值为正整数的特性，筛选得到符合要求的解。
【难度系数】
0.6
这是一道分配类的不等式实际应用题，解题思路如下：首先设敬老院老人的人数为未知数，根据第一种分配方案用含未知数的式子表示出牛奶的总数量；再结合第二种分配方案中“最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”的不等关系，列出一元一次不等式组；求解不等式组得到人数的取值范围，最后结合人数为正整数的实际要求，找出最小的整数解即可。
【解析】
解：设这个敬老院的老人有$x$人，则牛奶的总盒数为$4x+28$盒。
分给每位老人5盒时，前$(x-1)$位老人共分得$5(x-1)$盒，最后一位老人分得的牛奶数量为$(4x+28)-5(x-1)$盒，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}(4x+28)-5(x-1) ≥ 1 \\(4x+28)-5(x-1) ＜ 4\end{cases}$
化简第一个不等式：
$4x+28-5x+5 ≥ 1$
$-x + 33 ≥ 1$
解得$x ≤ 32$
化简第二个不等式：
$4x+28-5x+5 ＜ 4$
$-x + 33 ＜ 4$
解得$x ＞ 29$
所以不等式组的解集为$29 ＜ x ≤ 32$，
因为$x$代表老人人数，必须为正整数，所以$x$可取30、31、32，最小取值为30。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 不等式组的整数解
【点评】
本题是典型的不等式实际应用问题，解题关键是准确提取题干中的不等关系列出不等式组，注意结合实际场景中未知数的取值为正整数的特性，筛选得到符合要求的解。
【难度系数】
0.6
10. 有含盐5%的盐水10 kg，要用15 kg的盐水和它混合，使混合后盐水中的盐的含量不低于8%，且不高于14%，则所选15 kg盐水中的盐的含量P的范围是(
A.$10\% ≤ P ≤ 20\%$
B.$10\% ≤ P ≤ 14\%$
C.$5\% ≤ P ≤ 8\%$
D.$8\% ≤ P ≤ 14\%$
A
).A.$10\% ≤ P ≤ 20\%$
B.$10\% ≤ P ≤ 14\%$
C.$5\% ≤ P ≤ 8\%$
D.$8\% ≤ P ≤ 14\%$
答案
10. A
解析
【分析】
解题时首先明确混合溶液浓度的计算逻辑：混合后溶液浓度=两种溶液的总含盐量÷两种溶液的总质量。首先先算出原有盐水的含盐量、混合后的总溶液质量，再根据混合后盐含量不低于8%、不高于14%的要求，分别列出两个不等式，组成一元一次不等式组，解出不等式组即可得到15kg盐水的含盐量P的范围。
【解析】
步骤1：计算相关基础量
原有10kg含盐5%的盐水中，含盐质量为：$10×5\%=0.5\ \mathrm{kg}$
混合后溶液的总质量为：$10+15=25\ \mathrm{kg}$
15kg待测盐水中的含盐质量为：$15P\ \mathrm{kg}$
步骤2：根据题意列不等式组
混合后盐含量不低于8%，即总含盐量≥总质量×8%；不高于14%，即总含盐量≤总质量×14%，可得：
$\begin{cases}0.5 + 15P ≥ 25×8\% \\0.5 + 15P ≤ 25×14\%\end{cases}$
步骤3：解不等式组
解第一个不等式：
$0.5 +15P ≥ 2$
$15P ≥ 1.5$
$P ≥ 0.1 = 10\%$
解第二个不等式：
$0.5 +15P ≤ 3.5$
$15P ≤ 3$
$P ≤ 0.2 = 20\%$
因此P的取值范围是$10\% ≤ P ≤ 20\%$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式组应用
2. 溶液浓度计算
【点评】
本题是不等式组在溶液混合问题中的典型应用，解题核心是抓住混合前后总盐量、总溶液量不变的特点，结合题目给出的浓度限制条件列不等式求解，注意题干中“不低于”“不高于”对应的不等号要带等号，边界值可正常取到。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确混合溶液浓度的计算逻辑：混合后溶液浓度=两种溶液的总含盐量÷两种溶液的总质量。首先先算出原有盐水的含盐量、混合后的总溶液质量，再根据混合后盐含量不低于8%、不高于14%的要求，分别列出两个不等式，组成一元一次不等式组，解出不等式组即可得到15kg盐水的含盐量P的范围。
【解析】
步骤1：计算相关基础量
原有10kg含盐5%的盐水中，含盐质量为：$10×5\%=0.5\ \mathrm{kg}$
混合后溶液的总质量为：$10+15=25\ \mathrm{kg}$
15kg待测盐水中的含盐质量为：$15P\ \mathrm{kg}$
步骤2：根据题意列不等式组
混合后盐含量不低于8%，即总含盐量≥总质量×8%；不高于14%，即总含盐量≤总质量×14%，可得：
$\begin{cases}0.5 + 15P ≥ 25×8\% \\0.5 + 15P ≤ 25×14\%\end{cases}$
步骤3：解不等式组
解第一个不等式：
$0.5 +15P ≥ 2$
$15P ≥ 1.5$
$P ≥ 0.1 = 10\%$
解第二个不等式：
$0.5 +15P ≤ 3.5$
$15P ≤ 3$
$P ≤ 0.2 = 20\%$
因此P的取值范围是$10\% ≤ P ≤ 20\%$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式组应用
2. 溶液浓度计算
【点评】
本题是不等式组在溶液混合问题中的典型应用，解题核心是抓住混合前后总盐量、总溶液量不变的特点，结合题目给出的浓度限制条件列不等式求解，注意题干中“不低于”“不高于”对应的不等号要带等号，边界值可正常取到。
【难度系数】
0.7
11. 求不等式组$\begin{cases} \dfrac{x+1}{3} ≥ 0, \\ 2(x+5) ≥ 6(x-1) \end{cases}$的解集，并把解集在数轴上表示出来.
答案
11. $-1≤ x≤ 4$（在数轴上表示略）
解析
【分析】
解一元一次不等式组的思路是先分别求出每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。解单个不等式时按照常规步骤计算即可，要注意当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\dfrac{x+1}{3} ≥ 0$：
不等式两边同时乘3，得$x+1 ≥ 0$，
移项可得$x ≥ -1$。
2. 解不等式$2(x+5) ≥ 6(x-1)$：
先去括号，得$2x + 10 ≥ 6x - 6$，
移项合并同类项，得$-4x ≥ -16$，
系数化为1（两边同时除以-4，不等号方向改变），得$x ≤ 4$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1 ≤ x ≤ 4$，数轴表示略。
【答案】
$-1≤ x≤ 4$（在数轴上表示略）
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于不等式组的基础题型，核心是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，确定公共解集时可结合“大小小大中间找”的口诀判断，要特别注意系数为负时不等号方向的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的思路是先分别求出每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。解单个不等式时按照常规步骤计算即可，要注意当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\dfrac{x+1}{3} ≥ 0$：
不等式两边同时乘3，得$x+1 ≥ 0$，
移项可得$x ≥ -1$。
2. 解不等式$2(x+5) ≥ 6(x-1)$：
先去括号，得$2x + 10 ≥ 6x - 6$，
移项合并同类项，得$-4x ≥ -16$，
系数化为1（两边同时除以-4，不等号方向改变），得$x ≤ 4$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1 ≤ x ≤ 4$，数轴表示略。
【答案】
$-1≤ x≤ 4$（在数轴上表示略）
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于不等式组的基础题型，核心是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，确定公共解集时可结合“大小小大中间找”的口诀判断，要特别注意系数为负时不等号方向的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
12. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组$\begin{cases}x + 2y = 4k, \\2x + y = 2k + 1\end{cases}$中，$ x $ 和 $ y $ 满足 $ 0 ＜ y - x ＜ 1 $，求 $ k $ 的取值范围.
答案
12. $\dfrac{1}{2} ＜ k ＜ 1$
解析
【分析】
解题时首先观察到所求范围的代数式是y-x，对比给出的二元一次方程组的两个方程，可直接将两个方程作差，整体得到y-x关于k的表达式，无需单独求解x和y的值，再将该表达式代入已知的不等式0＜y-x＜1，得到关于k的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到k的取值范围。如果没有想到整体作差，也可以先解方程组用k表示出x和y，再计算y-x后代入不等式求解。
【解析】
解：用方程组中第一个方程减去第二个方程，可得：
$\begin{aligned}(x+2y)-(2x+y)&=4k-(2k+1)\\x+2y-2x-y&=4k-2k-1\\y-x&=2k-1\end{aligned}$
已知$0 ＜ y-x ＜ 1$，将$y-x=2k-1$代入不等式，得：
$0 ＜ 2k - 1 ＜ 1$
分别解不等式：
左边：$2k-1＞0$，移项得$2k＞1$，解得$k＞\frac{1}{2}$；
右边：$2k-1＜1$，移项得$2k＜2$，解得$k＜1$。
综上，$k$的取值范围是$\frac{1}{2} ＜ k ＜ 1$。
【答案】
$\dfrac{1}{2} ＜ k ＜ 1$
【知识点】
二元一次方程组的运算、一元一次不等式组的解法、整体代入思想
【点评】
本题既可以用常规消元法求解x、y后代入计算，也可以通过观察代数式结构用整体作差的方法简化运算，考查学生的代数式变形能力和不等式求解能力，解题时优先观察所求式子与已知方程的关联，选择更简便的方法可提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到所求范围的代数式是y-x，对比给出的二元一次方程组的两个方程，可直接将两个方程作差，整体得到y-x关于k的表达式，无需单独求解x和y的值，再将该表达式代入已知的不等式0＜y-x＜1，得到关于k的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到k的取值范围。如果没有想到整体作差，也可以先解方程组用k表示出x和y，再计算y-x后代入不等式求解。
【解析】
解：用方程组中第一个方程减去第二个方程，可得：
$\begin{aligned}(x+2y)-(2x+y)&=4k-(2k+1)\\x+2y-2x-y&=4k-2k-1\\y-x&=2k-1\end{aligned}$
已知$0 ＜ y-x ＜ 1$，将$y-x=2k-1$代入不等式，得：
$0 ＜ 2k - 1 ＜ 1$
分别解不等式：
左边：$2k-1＞0$，移项得$2k＞1$，解得$k＞\frac{1}{2}$；
右边：$2k-1＜1$，移项得$2k＜2$，解得$k＜1$。
综上，$k$的取值范围是$\frac{1}{2} ＜ k ＜ 1$。
【答案】
$\dfrac{1}{2} ＜ k ＜ 1$
【知识点】
二元一次方程组的运算、一元一次不等式组的解法、整体代入思想
【点评】
本题既可以用常规消元法求解x、y后代入计算，也可以通过观察代数式结构用整体作差的方法简化运算，考查学生的代数式变形能力和不等式求解能力，解题时优先观察所求式子与已知方程的关联，选择更简便的方法可提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
