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1. x 的 5 倍在 3 和 7 之间(不包括 3 和 7)用不等式(组)表示为$\underline{5＜5x＜7}$.
答案
1. $3＜5x＜7$
解析
【分析】
解题时首先要将文字描述转化为对应的数学表达：第一步，先翻译“x的5倍”，得到代数式5x；第二步，理解“在3和7之间（不包括3和7）”的含义，即这个代数式的取值要同时满足大于3、小于7两个条件，不需要拆分不等式组，直接用连写的不等式表示即可，注意不要误将左端的3写成其他数值。
【解析】
1. 先用代数式表示“x的5倍”：x的5倍即$5 × x = 5x$；
2. 根据“在3和7之间（不包括3和7）”的要求，可知$5x$需要同时满足大于3、小于7；
3. 组合两个不等关系，得到连不等式：$3＜5x＜7$。
【答案】
$3＜5x＜7$
【知识点】
列不等式、代数式表示数量关系
【点评】
本题考察将文字语言转化为数学不等式的能力，解题核心是准确理解取值范围的边界要求，做题时要注意看清题目给出的边界数值，避免因粗心写错不等式两端的数。
【难度系数】
0.9
解题时首先要将文字描述转化为对应的数学表达：第一步，先翻译“x的5倍”，得到代数式5x；第二步，理解“在3和7之间（不包括3和7）”的含义，即这个代数式的取值要同时满足大于3、小于7两个条件，不需要拆分不等式组，直接用连写的不等式表示即可，注意不要误将左端的3写成其他数值。
【解析】
1. 先用代数式表示“x的5倍”：x的5倍即$5 × x = 5x$；
2. 根据“在3和7之间（不包括3和7）”的要求，可知$5x$需要同时满足大于3、小于7；
3. 组合两个不等关系，得到连不等式：$3＜5x＜7$。
【答案】
$3＜5x＜7$
【知识点】
列不等式、代数式表示数量关系
【点评】
本题考察将文字语言转化为数学不等式的能力，解题核心是准确理解取值范围的边界要求，做题时要注意看清题目给出的边界数值，避免因粗心写错不等式两端的数。
【难度系数】
0.9
2. “有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小3. 已知这个两位数大于40而小于60，求这个两位数.”若设十位上的数字为$ x $，则可列的不等式(组)为
40＜10x＋(x＋3)＜60
.答案
2. $40＜10x+(x+3)＜60$
解析
【分析】
解题时按照“明确数量关系→表示两位数→结合范围列式”的思路推导：首先，已知十位数字为x，根据“十位上的数字比个位上的数字小3”，可推出个位数字为x+3；其次，牢记两位数的表示规则为“10×十位数字+个位数字”，就能用含x的代数式表示出这个两位数；最后结合“两位数大于40且小于60”的取值要求，即可列出对应的不等式。
【解析】
解：设十位上的数字为$x$，
∵ 十位上的数字比个位上的数字小3，
∴ 个位上的数字为$x+3$，
根据两位数的表示方法，这个两位数可写为$10x+(x+3)$，
又
∵ 这个两位数大于40且小于60，
∴ 可列不等式为：$40＜10x+(x+3)＜60$。
【答案】
$40＜10x+(x+3)＜60$
【知识点】
两位数的表示；列一元一次不等式
【点评】
本题属于数字类不等式应用的基础题，解题的关键是正确掌握两位数的代数式表示方法，理清十位和个位数字的大小关系，再结合题干给出的数值范围列式即可，整体易错点较低。
【难度系数】
0.8
解题时按照“明确数量关系→表示两位数→结合范围列式”的思路推导：首先，已知十位数字为x，根据“十位上的数字比个位上的数字小3”，可推出个位数字为x+3；其次，牢记两位数的表示规则为“10×十位数字+个位数字”，就能用含x的代数式表示出这个两位数；最后结合“两位数大于40且小于60”的取值要求，即可列出对应的不等式。
【解析】
解：设十位上的数字为$x$，
∵ 十位上的数字比个位上的数字小3，
∴ 个位上的数字为$x+3$，
根据两位数的表示方法，这个两位数可写为$10x+(x+3)$，
又
∵ 这个两位数大于40且小于60，
∴ 可列不等式为：$40＜10x+(x+3)＜60$。
【答案】
$40＜10x+(x+3)＜60$
【知识点】
两位数的表示；列一元一次不等式
【点评】
本题属于数字类不等式应用的基础题，解题的关键是正确掌握两位数的代数式表示方法，理清十位和个位数字的大小关系，再结合题干给出的数值范围列式即可，整体易错点较低。
【难度系数】
0.8
3. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases} x ＜ 2m + 1, \\ x ＜ m - 2 \end{cases}$的解集是$x ＜ m - 2$，则$m$的取值范围是________.
答案
3. $m≥ -3$
解析
【分析】
首先回忆一元一次不等式组解集的确定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。本题中两个不等式都是“x小于某个数”，属于“同小”的情况，解集应取更小的那个数对应的不等式。已知解集是$x＜m-2$，说明$m-2$小于或等于$2m+1$（若两者相等，两个不等式解集相同，最终解集也是$x＜m-2$，注意不要漏掉等号的情况），接下来解这个关于m的不等式即可得到取值范围。
【解析】
解：已知不等式组$\begin{cases} x ＜ 2m + 1, \\ x ＜ m - 2 \end{cases}$，两个不等式均为小于号，根据“同小取小”的解集确定规则，
因为该不等式组的解集是$x ＜ m-2$，
所以可得：$m-2 ≤ 2m+1$，
移项得：$m - 2m ≤ 1 + 2$，
合并同类项得：$-m ≤ 3$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ≥ -3$。
【答案】
$m≥ -3$
【知识点】
不等式组解集的确定；解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式组解集应用的基础常考题，核心考查“同小取小”的解集规律，解题的易错点是容易遗漏两个边界值相等的情况，漏掉等号导致出错。
【难度系数】
0.7
首先回忆一元一次不等式组解集的确定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。本题中两个不等式都是“x小于某个数”，属于“同小”的情况，解集应取更小的那个数对应的不等式。已知解集是$x＜m-2$，说明$m-2$小于或等于$2m+1$（若两者相等，两个不等式解集相同，最终解集也是$x＜m-2$，注意不要漏掉等号的情况），接下来解这个关于m的不等式即可得到取值范围。
【解析】
解：已知不等式组$\begin{cases} x ＜ 2m + 1, \\ x ＜ m - 2 \end{cases}$，两个不等式均为小于号，根据“同小取小”的解集确定规则，
因为该不等式组的解集是$x ＜ m-2$，
所以可得：$m-2 ≤ 2m+1$，
移项得：$m - 2m ≤ 1 + 2$，
合并同类项得：$-m ≤ 3$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ≥ -3$。
【答案】
$m≥ -3$
【知识点】
不等式组解集的确定；解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式组解集应用的基础常考题，核心考查“同小取小”的解集规律，解题的易错点是容易遗漏两个边界值相等的情况，漏掉等号导致出错。
【难度系数】
0.7
4. 小明家到学校的路程是2400 m. 如果小明步行上学,早上7点离家,要在7点30分到7点40分之间(不包括7点30分和7点40分)到达学校,小明的平均步行速度范围是
60 m/min＜平均步行速度＜80 m/min
.答案
4. $60\ \mathrm{m/min} ＜ 平均步行速度 ＜ 80\ \mathrm{m/min}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先明确已知条件：总路程固定为2400m，小明7点出发，到达学校的时间不包括7点30分和7点40分，因此步行时间的范围是大于30分钟、小于40分钟。第二步回忆行程问题基本关系：路程=速度×时间，可变形为时间=路程÷速度。第三步将时间用路程和速度的表达式替换，得到关于速度的不等式，再根据不等式的性质解出速度的范围即可，注意速度是正数，解不等式时要遵循不等号方向的变化规则。
【解析】
解：小明步行的时间t的取值范围为：
$30\ \mathrm{min} ＜ t ＜ 40\ \mathrm{min}$
根据行程公式$s=vt$（$s$为路程，$v$为速度，$t$为时间），已知$s=2400\ \mathrm{m}$，可得$t=\frac{2400}{v}$（$v＞0$），将其代入时间范围的不等式得：
$30 ＜ \frac{2400}{v} ＜ 40$
因为$v$是正数，不等式两边同时乘$v$，不等号方向不变：
解左边的不等式：$30v ＜ 2400$，得$v ＜ 80$
解右边的不等式：$2400 ＜ 40v$，得$v ＞ 60$
因此速度的取值范围为$60\ \mathrm{m/min} ＜ v ＜ 80\ \mathrm{m/min}$。
【答案】
$60\ \mathrm{m/min} ＜ 平均步行速度 ＜ 80\ \mathrm{m/min}$
【知识点】
行程问题公式；不等式的性质；不等式的实际应用
【点评】
这道题结合生活场景考察不等式的实际应用，解题核心是先确定时间的取值范围，再结合行程公式转化为速度的不等式求解，要注意实际问题中速度为正数的隐含条件，避免解不等式时出错。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先明确已知条件：总路程固定为2400m，小明7点出发，到达学校的时间不包括7点30分和7点40分，因此步行时间的范围是大于30分钟、小于40分钟。第二步回忆行程问题基本关系：路程=速度×时间，可变形为时间=路程÷速度。第三步将时间用路程和速度的表达式替换，得到关于速度的不等式，再根据不等式的性质解出速度的范围即可，注意速度是正数，解不等式时要遵循不等号方向的变化规则。
【解析】
解：小明步行的时间t的取值范围为：
$30\ \mathrm{min} ＜ t ＜ 40\ \mathrm{min}$
根据行程公式$s=vt$（$s$为路程，$v$为速度，$t$为时间），已知$s=2400\ \mathrm{m}$，可得$t=\frac{2400}{v}$（$v＞0$），将其代入时间范围的不等式得：
$30 ＜ \frac{2400}{v} ＜ 40$
因为$v$是正数，不等式两边同时乘$v$，不等号方向不变：
解左边的不等式：$30v ＜ 2400$，得$v ＜ 80$
解右边的不等式：$2400 ＜ 40v$，得$v ＞ 60$
因此速度的取值范围为$60\ \mathrm{m/min} ＜ v ＜ 80\ \mathrm{m/min}$。
【答案】
$60\ \mathrm{m/min} ＜ 平均步行速度 ＜ 80\ \mathrm{m/min}$
【知识点】
行程问题公式；不等式的性质；不等式的实际应用
【点评】
这道题结合生活场景考察不等式的实际应用，解题核心是先确定时间的取值范围，再结合行程公式转化为速度的不等式求解，要注意实际问题中速度为正数的隐含条件，避免解不等式时出错。
【难度系数】
0.7
5. 某商品进价4元，标价5元. 商家准备打折销售，其利润率不能低于$10\%$，则最低可打
8.8
折.答案
5. 8.8
解析
【分析】
这是销售类不等式应用题，解题时先明确各数量关系：打折后售价=标价×折扣数÷10，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%。题目要求利润率不低于10%，即利润率≥10%，我们可以设最低打x折，根据不等关系列不等式求解即可。
【解析】
设最低可打x折，根据题意，打折后的售价为$ 5× \frac{x}{10} $元，商品利润为$ 5× \frac{x}{10} -4 $元。
由利润率不能低于10%，可列不等式：
$ \frac{5× \frac{x}{10} -4}{4} ≥ 10\% $
化简计算：
$ 0.5x -4 ≥ 4× 0.1 $
$ 0.5x -4 ≥ 0.4 $
$ 0.5x ≥ 4.4 $
$ x ≥ 8.8 $
【答案】
8.8
【知识点】
一元一次不等式应用；销售问题计算；利润率公式
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是理清进价、标价、折扣、售价、利润、利润率之间的数量关系，准确找到题干中的不等关系列出不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
这是销售类不等式应用题，解题时先明确各数量关系：打折后售价=标价×折扣数÷10，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%。题目要求利润率不低于10%，即利润率≥10%，我们可以设最低打x折，根据不等关系列不等式求解即可。
【解析】
设最低可打x折，根据题意，打折后的售价为$ 5× \frac{x}{10} $元，商品利润为$ 5× \frac{x}{10} -4 $元。
由利润率不能低于10%，可列不等式：
$ \frac{5× \frac{x}{10} -4}{4} ≥ 10\% $
化简计算：
$ 0.5x -4 ≥ 4× 0.1 $
$ 0.5x -4 ≥ 0.4 $
$ 0.5x ≥ 4.4 $
$ x ≥ 8.8 $
【答案】
8.8
【知识点】
一元一次不等式应用；销售问题计算；利润率公式
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是理清进价、标价、折扣、售价、利润、利润率之间的数量关系，准确找到题干中的不等关系列出不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
6. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是(
A.$\begin{cases} x - 1 ＞ 0, \\ x + 2 ≤ 0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - 1 ≤ 0, \\ x + 2 ＜ 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + 1 ≥ 0, \\ x - 2 ＜ 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + 1 ＞ 0, \\ x - 2 ≤ 0 \end{cases}$
D
).A.$\begin{cases} x - 1 ＞ 0, \\ x + 2 ≤ 0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - 1 ≤ 0, \\ x + 2 ＜ 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + 1 ≥ 0, \\ x - 2 ＜ 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + 1 ＞ 0, \\ x - 2 ≤ 0 \end{cases}$
答案
6. D
解析
【分析】
解决这类题可分两步思考：第一步先从数轴读取对应的解集，牢记空心圆圈表示不包含该点，对应不等号无等号，实心圆点表示包含该点，对应不等号带等号，折线向右对应“大于”，向左对应“小于”。第二步分别求解每个选项的不等式组，将得到的解集和数轴读取的解集对比，一致的即为正确答案。
【解析】
首先分析数轴：-1处是空心圆圈、折线向右，对应$x＞-1$；2处是实心圆点、折线向左，对应$x≤2$，因此数轴表示的解集为$\boldsymbol{-1 ＜ x ≤ 2}$。
逐一计算各选项的解集：
A选项：解$x-1＞0$得$x＞1$，解$x+2≤0$得$x≤-2$，该不等式组无解，不符合要求。
B选项：解$x-1≤0$得$x≤1$，解$x+2＜0$得$x＜-2$，解集为$x＜-2$，不符合要求。
C选项：解$x+1≥0$得$x≥-1$，解$x-2＜0$得$x＜2$，解集为$-1≤ x＜2$，不符合要求。
D选项：解$x+1＞0$得$x＞-1$，解$x-2≤0$得$x≤2$，解集为$-1 ＜ x ≤ 2$，和数轴表示的解集一致。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示不等式解集；解一元一次不等式组
【点评】
本题考查不等式组解集的判断，核心是掌握数轴表示解集的规则和一元一次不等式的解法，属于基础题型，掌握相关规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
解决这类题可分两步思考：第一步先从数轴读取对应的解集，牢记空心圆圈表示不包含该点，对应不等号无等号，实心圆点表示包含该点，对应不等号带等号，折线向右对应“大于”，向左对应“小于”。第二步分别求解每个选项的不等式组，将得到的解集和数轴读取的解集对比，一致的即为正确答案。
【解析】
首先分析数轴：-1处是空心圆圈、折线向右，对应$x＞-1$；2处是实心圆点、折线向左，对应$x≤2$，因此数轴表示的解集为$\boldsymbol{-1 ＜ x ≤ 2}$。
逐一计算各选项的解集：
A选项：解$x-1＞0$得$x＞1$，解$x+2≤0$得$x≤-2$，该不等式组无解，不符合要求。
B选项：解$x-1≤0$得$x≤1$，解$x+2＜0$得$x＜-2$，解集为$x＜-2$，不符合要求。
C选项：解$x+1≥0$得$x≥-1$，解$x-2＜0$得$x＜2$，解集为$-1≤ x＜2$，不符合要求。
D选项：解$x+1＞0$得$x＞-1$，解$x-2≤0$得$x≤2$，解集为$-1 ＜ x ≤ 2$，和数轴表示的解集一致。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示不等式解集；解一元一次不等式组
【点评】
本题考查不等式组解集的判断，核心是掌握数轴表示解集的规则和一元一次不等式的解法，属于基础题型，掌握相关规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
7. 不等式组$\begin{cases}3 - 3x ＞ 0, \\ 2x - 4 ≤ 0\end{cases}$的解集在数轴上表示为( ).
答案
7. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，最后根据数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，含等号用实心点、不含等号用空心圈）匹配正确选项即可。
【解析】
第一步：解不等式$3-3x＞0$
移项得：$-3x ＞ -3$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：$x ＜ 1$
第二步：解不等式$2x-4≤0$
移项得：$2x ≤ 4$
不等式两边同时除以$2$，得：$x ≤ 2$
第三步：确定不等式组的解集
两个解集的公共部分为$x ＜ 1$
第四步：匹配数轴表示
$x＜1$表示在数轴上1的位置画空心圈，向左延伸；$x≤2$表示在2的位置画实心点，向左延伸，公共部分对应选项B的数轴表示。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；不等式组解集的确定；解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，解题时要注意解不等式时两边同乘除负数要改变不等号方向，数轴表示解集时要准确区分实心点和空心圈的用法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，最后根据数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，含等号用实心点、不含等号用空心圈）匹配正确选项即可。
【解析】
第一步：解不等式$3-3x＞0$
移项得：$-3x ＞ -3$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：$x ＜ 1$
第二步：解不等式$2x-4≤0$
移项得：$2x ≤ 4$
不等式两边同时除以$2$，得：$x ≤ 2$
第三步：确定不等式组的解集
两个解集的公共部分为$x ＜ 1$
第四步：匹配数轴表示
$x＜1$表示在数轴上1的位置画空心圈，向左延伸；$x≤2$表示在2的位置画实心点，向左延伸，公共部分对应选项B的数轴表示。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；不等式组解集的确定；解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，解题时要注意解不等式时两边同乘除负数要改变不等号方向，数轴表示解集时要准确区分实心点和空心圈的用法。
【难度系数】
0.8
8. 已知非负数$a$，$b$，$c$满足$a + b = 7$，$c - a = 5$，设$S = a + b + c$的最小值为$m$，最大值为$n$，则$n - m$的值是（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先把S转化为仅含单个变量的代数式，再结合非负数的约束条件确定变量的取值范围，就能求出S的最值，最后计算最值的差即可。第一步，根据已知的a+b=7，将S替换为7+c，再由c-a=5得到c=a+5，即可把S用a表示；第二步，根据a、b均为非负数，推导a的取值范围；第三步，结合a的范围求出S的最大值n和最小值m，计算n-m即可。
【解析】
解：
∵a、b、c是非负数，
∴a≥0，b≥0，c≥0。
由a+b=7可得b=7-a≥0，解得a≤7；
由c-a=5可得c=a+5，
∵a≥0，
∴c=a+5≥5＞0，自动满足c≥0的要求。
综上，a的取值范围为$0≤ a≤7$。
将a+b=7、c=a+5代入S=a+b+c，得：
$S=7+(a+5)=12+a$
当a取最小值0时，S取得最小值m：$m=12+0=12$
当a取最大值7时，S取得最大值n：$n=12+7=19$
∴$n-m=19-12=7$
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，一元一次不等式的应用
【点评】
本题核心是将待求的S转化为单一变量的表达式，结合非负数的约束条件确定变量的取值范围即可求出最值，属于常规的最值求解题型，解题时注意不要遗漏非负数的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时先把S转化为仅含单个变量的代数式，再结合非负数的约束条件确定变量的取值范围，就能求出S的最值，最后计算最值的差即可。第一步，根据已知的a+b=7，将S替换为7+c，再由c-a=5得到c=a+5，即可把S用a表示；第二步，根据a、b均为非负数，推导a的取值范围；第三步，结合a的范围求出S的最大值n和最小值m，计算n-m即可。
【解析】
解：
∵a、b、c是非负数，
∴a≥0，b≥0，c≥0。
由a+b=7可得b=7-a≥0，解得a≤7；
由c-a=5可得c=a+5，
∵a≥0，
∴c=a+5≥5＞0，自动满足c≥0的要求。
综上，a的取值范围为$0≤ a≤7$。
将a+b=7、c=a+5代入S=a+b+c，得：
$S=7+(a+5)=12+a$
当a取最小值0时，S取得最小值m：$m=12+0=12$
当a取最大值7时，S取得最大值n：$n=12+7=19$
∴$n-m=19-12=7$
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，一元一次不等式的应用
【点评】
本题核心是将待求的S转化为单一变量的表达式，结合非负数的约束条件确定变量的取值范围即可求出最值，属于常规的最值求解题型，解题时注意不要遗漏非负数的限制条件。
【难度系数】
0.7
