14. 为倡导垃圾分类，某学校需购买两种类型的垃圾桶共 20 个. 已知可回收垃圾桶每个 100 元，不可回收垃圾桶每个 200 元. 若购买垃圾桶总费用不超过 3 100 元，且不低于 2 920 元，购买垃圾桶至少要多少元？

14. 3 000元［提示：设购买可回收垃圾桶$x$个，得$2\ 920≤ 100x+200(20-x)≤ 3\ 100$］

【分析】
本题是一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：首先设购买可回收垃圾桶的数量为未知数，用总数量表示出另一种垃圾桶的数量；再根据总费用的计算方式列出总费用的代数式，结合题目给出的总费用范围列出不等式；解不等式得到未知数的取值范围，注意垃圾桶个数为正整数，筛选出符合要求的未知数取值；最后观察总费用代数式与未知数的变化关系，找到使总费用最少的未知数取值，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：设购买可回收垃圾桶$x$个，则购买不可回收垃圾桶$(20-x)$个，购买总费用为$100x+200(20-x)$元。
根据题意列不等式：
$2920 ≤ 100x + 200(20-x) ≤ 3100$
化简中间代数式得：
$2920 ≤ 4000 - 100x ≤ 3100$
拆分为不等式组：
$\begin{cases}4000 - 100x ≥ 2920 \\4000 - 100x ≤ 3100\end{cases}$
解第一个不等式：
$-100x ≥ -1080$，即$x ≤ 10.8$
解第二个不等式：
$-100x ≤ -900$，即$x ≥ 9$
所以不等式组的解集为$9 ≤ x ≤ 10.8$。
因为$x$表示垃圾桶个数，必须是正整数，所以$x$的取值为9或10。
总费用$=4000-100x$，$x$越大总费用越低，因此要使总费用最少，取$x=10$。
代入计算得总费用：$4000 - 100×10 = 3000$（元）
【答案】
3000元
【知识点】
1. 一元一次不等式组应用
2. 实际问题整数解
【点评】
本题结合垃圾分类的生活热点考查不等式组的实际应用，解题的关键是准确抓住总费用的不等关系列出不等式，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，再根据代数式的增减规律找到最优方案。
【难度系数】
0.7

15. 定义: 对于实数 $ a $，符号 $[a]$ 表示不大于 $ a $ 的最大整数. 例如: $[5.7]=5$，$[5]=5$，$[-π]=-4$.
（1）如果 $[a]=-2$，那么 $ a $ 的取值范围是 ______；
（2）如果 $[\dfrac{x + 1}{2}]=3$，求满足条件的所有正整数 $ x $.

15. (1) $-2≤ a ＜ -1$ (2) $5≤ x ＜ 7$，则满足条件的所有正整数为5，6

【分析】
本题是新定义类题目，核心是理解符号$[a]$的含义：不大于$a$的最大整数，也就是小于等于$a$的最大整数。
（1）已知$[a]=-2$，说明不大于$a$的最大整数是$-2$，首先$a$不能小于$-2$，否则对应的最大整数会小于$-2$；同时$a$不能等于或大于$-1$，否则对应的最大整数会大于等于$-1$，据此可确定$a$的取值范围。
（2）同理，$[\dfrac{x + 1}{2}]=3$说明不大于$\dfrac{x+1}{2}$的最大整数是3，因此$\dfrac{x+1}{2}$要满足大于等于3，且小于4，将其转化为一元一次不等式求解，再从解集中筛选出正整数即可。
【解析】
（1）根据$[a]$的定义，$[a]=-2$表示不大于$a$的最大整数是$-2$，因此$a$的取值范围是$\boldsymbol{-2≤ a ＜ -1}$。
（2）因为$[\dfrac{x + 1}{2}]=3$，根据定义可得不等式：
$3≤ \dfrac{x+1}{2}＜4$
不等式三边同时乘2，得：
$6≤ x+1＜8$
不等式三边同时减1，得：
$5≤ x＜7$
$x$为正整数，因此符合条件的$x$为5、6。
【答案】
（1）$-2≤ a ＜ -1$；（2）满足条件的所有正整数为5，6
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式，不等式的整数解
【点评】
本题解题的关键是准确理解取整符号的含义，将新定义问题转化为常规的不等式求解问题，要特别注意不等号端点的取值是否符合要求，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.7